上半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題初級中學(xué).doc

1、年上半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題（初級中學(xué) ）（滿分 ：分考試時間 ：分鐘）題號一二三四五六總分統(tǒng)分人簽字得分得分評卷人一、單項選擇題 （本大題共 小題 ，每小題 分，共 分。 在每小題給出，請將正確選項前的字母填入題后的四個選項中 ，只有一項是符合題目要求的的括號內(nèi) ）極限 （）。）的值是 （的是（）。下列級數(shù)中 ，不收斂? （） ！方程所確定的二次曲面是（）。 橢球面旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面若函數(shù) （）在，上黎曼可積 ，則 （）在，上（）。連續(xù)?單調(diào)可導(dǎo)有界?的牲值的個數(shù)為 （）。矩陣? ? 是（）。二次型 正定的半正定的負(fù)定的半負(fù)定的下面不屬于第三學(xué)段 “數(shù)與代數(shù)

2、”內(nèi)容的是 （）。?實數(shù)平均數(shù)代數(shù)式函數(shù) 創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)表述不適合 在教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的是 （，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中）。下面的?發(fā)現(xiàn)和提出問題規(guī)范數(shù)學(xué)書寫尋求解決問題的不同策略探索結(jié)論的新應(yīng)用得分評卷人二、簡答題 （本大題共 小題，每小題 分，共 分。），求質(zhì)點在時刻的速度的大小 。設(shè)質(zhì)點在平面上的運動軌跡為，設(shè)球面方程 ，求它在點 （，處的）切平面方程。設(shè)概率空間為 ，且，這六，個數(shù)的，出現(xiàn)概率均為。 設(shè)事件 ，事，件 ，請?；卮鹗录?是否獨立 ，并說明理由 。 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （年版 ）有兩類行為動詞 ，其中一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞 ，包括

3、“了解 ”“理解 ”“掌握 ”“運用 ”，請以 “平行四邊形 ”概念為例 ，說明 “理解 ”的基本含義 。以“三角形的中位線定理”教學(xué)為例 ，簡述數(shù)學(xué)定理教學(xué)的主要環(huán)節(jié)。得分評卷人三、解答題 （本大題 小題 ，分。）? ? 設(shè)，求子空間 （ ）的一組正交基 。? ? 得分評卷人四、論述題 （本大題 小題 ，分。）“嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合 ”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則 。 （簡）述嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合教學(xué)原則的內(nèi)涵 （分）；（初）中數(shù)學(xué)教學(xué)中 “負(fù)負(fù)得正 ”運算法則引入的方式有哪些 ？請寫出至少兩種 （分）；（在）初中 “負(fù)負(fù)得正 ”運算法則的教學(xué)中 ，如何體現(xiàn) “嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合 ” 的教學(xué)原則

4、？（分）得分評卷人五、案例分析題 （本大題 小題，分。）閱讀案例 ，并回答問題 。案例：在“有理數(shù)運算 ”的習(xí)題課上 ，有這樣一道題 ：?計算： （）?。學(xué)生甲的計算 ：? ? （）? 。學(xué)生乙的計算 ：? ?（） ? 學(xué)生丙的計算：? （）? （） 。問題：（判）斷學(xué)生甲 、乙、丙的運算過程是否正確；（分）（請）指出學(xué)生運算過程中的錯誤，并分析產(chǎn)生錯誤的原因；（分）（針）對有理數(shù)的運算，談?wù)勅绾翁岣邔W(xué)生的運算能力。（分） 得分評卷人六、教學(xué)設(shè)計題 （本大題 小題，分）。針對 “一元二次議程 ”起始課的教學(xué)，兩位老師給出了如下教學(xué)設(shè)計片段：【教師甲 】設(shè)置問題 ：請同學(xué)們根據(jù)下列問題，只列出含

5、未知數(shù)的方程 ：（一）個正方形的面積為，求正方形的邊長。 （長）度為 的線段 有一點 ，且滿足 ，求線段 的長 。預(yù)設(shè)：學(xué)生會分別列出兩個方程。教師要求學(xué)生分別整理成方程左側(cè)降冪排列 ，右側(cè)為零的形式 ，然后引導(dǎo)學(xué)生完成下面兩件事 ：對比 “一元一次方程 ”的定義 ，為這類議程定義一個名稱 一元二次方程 。 再請學(xué)生自行寫出幾個不同的一元二次議程，并提煉出一元二次方程的一般表達(dá)式?！窘處熞?】上課開始 。 提問 ：什么是 “一元一次方程 ”？請你根據(jù) “一元一次方程 ”的定義 ，給出 “一元二次方程 ”的定義 ，并舉出幾個 “一元二次方程 ”的例子 。 在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上 ，提煉出 “一元二次

6、方程 ”的一般表達(dá)式 。請完成下列任務(wù)：（請）分析兩位老師引入“一元二次方程 ”概念設(shè)計方案的各自的特點。（分）（在）教學(xué)中 ，當(dāng)引入一個新的數(shù)學(xué)概念之后，往往通過例題、習(xí)題加深對概念的理解。請針對 “一元二次方程 ”概念 ，設(shè)計不同難度的兩道例題和兩道習(xí)題，以加深學(xué)生對“一元二次方程 ”概念的理解 。（分 ） 年下半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題（初級中學(xué) ）（滿分 ：分考試時間 ：分鐘）題號一二三四五六總分統(tǒng)分人簽字得分得分 評卷人一、單項選擇題 （本大題共 小題 ，每小題 分，共 分。 在每小題給出，請將正確選項前的字母填入題后的四個選項中 ，只有一項是符合題目要求的的括

7、號內(nèi) ）?已知變換矩陣?，則 將空間曲面 （）（）變成 （）。圓橢圓拋物線雙曲線（）。已知數(shù)列 與數(shù)列 ，則下 列結(jié)論不正確的是 若對任意的正整數(shù) ，有且 ，則 則 若，且存在正整數(shù)，使得當(dāng) 時， 若，且 ，則對任意正整數(shù)， 若對任意的整數(shù) ，有 ，且 ，則 下列關(guān)系不正確的是（）。（） （） （） （） （）（ ）（ ）為研究 至 歲少年兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了某城市名和 名兩組調(diào)查樣本，若甲 、乙抽取的兩組樣本平均身高分別記為（單位 ：）則，和的大小關(guān)系為 （）。不能確定若多項式（） 和 （） ，則 （）（）的商和余式為（）。， ， 的收斂區(qū)間為 （）。是（函數(shù)級數(shù)

8、 （，）（，?，）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（年版 ）設(shè)定了九條基本事實）。，下列屬于基本事實的兩條平行線被一條直線所截，同位角相等兩平行線間距離相等兩條平行線被一條直線所截，內(nèi)錯角相等兩直線被平行線所截，對應(yīng)線段成比例四個圖形 ：相交直線 、等腰三角形 、平行四邊形 、正多邊形 ，既是軸對稱又是中心對稱的有（）個。得分評卷人二、簡答題 （本大題共 小題，每小題 分，共 分）一條光線斜射在一水平放置的平面鏡上 ，人射角為二求出反射光線的方程 。若將反射光線繞平面鏡的法線旋轉(zhuǎn)一周，請建立空間直角坐標(biāo)系，求所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并。有唯一解 ，當(dāng)且僅當(dāng)向量 （，），（，）求證：非齊次線性方程組：線性無關(guān)

9、 。 某飛行表演大隊由甲、乙兩隊組成 。 甲隊中恰好有噴紅色與綠色噴霧的飛機各架。乙隊中僅有架噴紅色煙霧的飛機。在一次飛行表演中，需要從甲隊中任意選出架飛機與乙隊飛機混合編隊進行表演，并任意確定一架飛機作為領(lǐng)飛飛機，求領(lǐng)飛飛機是噴綠色煙霧的概率 。闡述確定數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的依據(jù)。抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)的抽象性表現(xiàn)在哪些方面？請舉例 。 得分評卷人三、解答題 （本大題 小題 ，共 分）敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡述拉格朗日中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。得分評卷人四、論述題 （本大題 小題 ，共 分）敘述 “嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合例，說明在教學(xué)中如何體現(xiàn)該教學(xué)原則”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的內(nèi)涵。，并以

10、 “ 是無理數(shù) ”的教學(xué)過程為 得分評卷人五、案例分析題案例：某教師關(guān)于 “反比例函數(shù)圖象”教學(xué)過程中的三個步驟為：第一步 ：復(fù)習(xí)回顧提出問題 ：我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)的哪些內(nèi)容？是如何研究的 ？第二步 ：引人新課 。提出問題 ：反比例函數(shù)的圖象是什么形狀呢？引導(dǎo)學(xué)生利用描點法畫出的圖象 。列表：描點：連線：引導(dǎo)學(xué)生用光滑的曲線連接描點，并用計算機演示圖象的生成過程。在此過程中啟發(fā)學(xué)生思考 ，由于 ，都不能為 ，所以函數(shù)圖象與軸、軸不能有交點 （如下圖 ） （第三步過程省略）（該）教學(xué)過程的主要特點是什么？（分）（在）第二步的連線過程中，如果你是該老師，如何引導(dǎo)學(xué)生思考所連的線不是直線，而是光滑

11、曲線 （分）（對）于第三步的 ，如果你是該老師 ，如何引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)圖象在第一象限限）的變化 ？（分）（或第三象 得分評卷人六、教學(xué)設(shè)計題 （本大題共 分）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （年版 ）關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)的教學(xué)要求是 ：探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對邊以及對角相等 。 請基于該要求 ，完成下列教學(xué)設(shè)計任務(wù) ：（設(shè)）計平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)；（分）（設(shè)）計兩種讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)流程；（分）（設(shè)）計平行四邊形性質(zhì)證明的教學(xué)流程，使學(xué)生領(lǐng)悟證明過程中的數(shù)學(xué)思想方法。（分） 參考答案及解析年上半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題（初級中學(xué) ）參考答案及解

12、析一、單項選擇題（ ）（ ）【解析】（） 。故選 。收斂，記其和為 【解析】假設(shè)調(diào)和級數(shù)?？紤]該級數(shù)的部分和 ，即 ， ，則， 根據(jù)數(shù)列極限的保號性，有（）（ ）但是由假設(shè)可得 發(fā)散。（，這）與（式）矛盾 ，說明假設(shè)錯誤 ，因此調(diào)和級數(shù)【解析】旋轉(zhuǎn)雙曲面的一般公式為 （單葉雙曲面 ）， （雙葉雙曲面 ）?！窘馕觥扛鶕?jù)黎曼可積定義 ，即黎曼可積必有界 ?！窘馕觥坑删仃?的特征多項式 （）（）（）（），共三個 。（）（）（）（）可，得其特征值為【解析】由已知得其二次型矩陣的階順序主子式為，階順序主子式為正定。，故二次型 【解析】平均數(shù)是 “統(tǒng)計與概率 ”的內(nèi)容 ，因此選擇 ?！窘馕觥縿?chuàng)新意識是現(xiàn)代

13、數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考 、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證 是創(chuàng)新的重要方法 。二、簡答題，?，所以 時速度所以 速度大小 （）【參考答案 】因為 ，?，大小 。 （） 【參考答案 】因為球面方程為 ，故可設(shè) （，），有 （，），（，），（，），所以 （，），（，），所以在點 （，處，）（，是法）線的一個方向向量 。 由此可得球面在點（，處的）切平面方程為（）（）（），即（）（）（）?！緟⒖即鸢?】因為 （），（），即出現(xiàn) ，所以，而事件 ，同時發(fā)生只有一種情況（），所以 （）（）（），所以事件 和

14、事件 為獨立事件 。【參考答案 】行為動詞中的 “理解 ”就是把握內(nèi)在邏輯聯(lián)系 ，對知識作出解釋、擴展 、提供證據(jù) 、判斷等 。以 “平行四邊形概念 ”為例 ，教學(xué)目標(biāo)中理解平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì) 。這些都屬于 “理解 ”的目標(biāo)層次 。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中 ，能夠把握平行四邊形的概念，通過內(nèi)在邏輯聯(lián)系，以此為前提進行推導(dǎo) ，得到平行四邊形的對邊 、對角等的性質(zhì) ?！緟⒖即鸢?】教學(xué)過程 ：（情）境引人，他們決定把它平分吃掉，你能幫他們解決這個問題嗎？話說某天 ，有兩個小朋友得到了一塊三角形蛋糕若又來了兩個人呢 ？（從三角形的中線引人到三角形的中位線，可以和三角形的中線比較

15、，加深認(rèn)識 。）（探）索新知 學(xué)生自己動手畫一條三角形的中位線，通過觀察 、測量，猜測三角形中位線的性質(zhì)，把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用命題形式表示出來 。學(xué)生親身經(jīng)歷通過觀察 、實驗等數(shù)學(xué)活動 ，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程 ，這對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力有著重要意義 。 證明三角形的中位線定理，逐漸引導(dǎo)到利用平行四此處證明經(jīng)驗較少 ，難度較高 ，可以提示學(xué)生從線段倍分轉(zhuǎn)化為相等作為突破口邊形的相關(guān)知識解決問題 。 定理總結(jié)，以及探討定理有哪些用處。展示三角形的中位線定理用幾何語言如何表述（鞏）固練習(xí)智力過三關(guān)如圖，在 中，分別是 ，邊上的中點 。若 則，。若 的周長為 則， 的周長為。圖中有個全等三角形 ，有個

16、平行四邊形 ，若 的面積為 則，的面積為能力。通過三個題目練習(xí)加深對三角形中位線定理的認(rèn)識，由學(xué)生表述理由可以鍛煉口頭表達(dá)（綜）合應(yīng)用和知識拓展任意畫一個四邊形 ，順次連結(jié)四邊中點 ，得到一個什么四邊形？證明中點四邊形是一個平行四邊形 。定理學(xué)習(xí)的一般環(huán)節(jié)：（了）解定理的內(nèi)容，能夠解決什么問題（情境引人中體現(xiàn)）；（理）解定理的含義，認(rèn)識定理的條件和結(jié)論，如在公式推導(dǎo)過程中對條件引起注意，通過對結(jié)論從結(jié)構(gòu)，功能 ，性質(zhì)，使用步驟等角度分析以加深印象和理解（探索新知中體現(xiàn)）；（定）理的證明或推導(dǎo)過程：學(xué)生與老師一起研究證明方法，如 不需證明 ，學(xué)生根據(jù)老師提供的材料體會定理規(guī)定的合理性（探索新知中

17、體現(xiàn) ）；（熟）悉定理的使用。循序漸進地定理的應(yīng)用 ，將定理納人到已有的知識體系中去（鞏固練習(xí)中體現(xiàn) ）；（引）申和拓展定理的運用（知識拓展中體現(xiàn) ）。三、解答題上一組基 ：（，）（，）（，）。【參考答案 】取 于是有 （，），（，），（，），? 初等變換 ?（，） ?所以 （ 線性無關(guān) ，所以 （，）。又因為 ，）（，）將 進行 自交化可得 （，），（， ） (， ，)。（， ）所以子空間 （，）的一組正交基是。 （，()四、論述題【參考答案 】（數(shù)）學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性 ，是指數(shù)學(xué)具有很強的邏輯性和較高的精確性，即邏輯的嚴(yán)格性和結(jié)論的確定性。量力性是指學(xué)生的可接受性。這一原則 ，說明教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識

18、的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性與學(xué)生的可接受性之間相適應(yīng)的關(guān)系。理論知識的嚴(yán)謹(jǐn)程度要適合學(xué)生的一般知識結(jié)構(gòu)與智力發(fā)展水平，隨著學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的不斷完善，心理發(fā)展水平的提高 ，逐漸增強理論的嚴(yán)謹(jǐn)程度；反過來 ，又要通過恰當(dāng)?shù)睦碚搰?yán)謹(jǐn)性逐漸促進學(xué)生的接受能力。顯然，這一原則是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點及學(xué)生心理發(fā)展的特點提出的。但是 ，在學(xué)習(xí)過程中 ，學(xué)生的心理發(fā)展是逐步形成的 ，不同的年齡階段 ，其感知 、記憶、想象、思維、能力等心理因素都有不同的發(fā)展水平。這種心理發(fā)展的漸變性決定了在教學(xué)中不可能對數(shù)學(xué)理論的研究達(dá)到完全嚴(yán)密的程度，而應(yīng)該在不同的教學(xué)階段 ，依據(jù)不同的教學(xué)目的和內(nèi)容而提出不同的嚴(yán)謹(jǐn)性要求。即數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性

19、是相對的。（測）量模型 ：某氣象站測得海拔每升高千米，溫度降低度，觀察地的氣溫是度，問在觀察地點以下 千米的地方 ，氣溫是多少度 ？我們規(guī)定 ，氣溫升高為正 ，氣溫下降為負(fù) ，觀察地點以上為正，觀察地以下為負(fù)，易得出問題算式 （ ）（）。尋找模式法 ：由正數(shù)與負(fù)數(shù) ，負(fù)數(shù)與零相乘的法則，可以得出下列式子 ：（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（一 ）？；（）（）？；（）（）？；仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn) ，從上到下 ，被乘數(shù)是不變的 ，乘數(shù)每減少 ，積就增加 ，因此，增加 得到 ，然后是 和 所，以（）（）；（）（）；（）（）從；而引出 “負(fù)負(fù)得正 ”運算法則 。（在）初中 “負(fù)負(fù)得正 ”運算法

20、則的教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)生接受的難易程度人手，設(shè)法安排學(xué)生逐步適應(yīng)的過程與機會，從正數(shù)乘以負(fù)數(shù)積為負(fù)數(shù)人手，從上到下 ，被乘數(shù)是不變的，乘數(shù)每減少，積就增加一個數(shù)。然后再利用一些數(shù)學(xué)模型解析“負(fù)負(fù)得正 ”運算法則 ，達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合。五、案例分析題【參考答案 】（學(xué)）生丙正確 ，學(xué)生甲 、乙錯誤 。（學(xué)）生甲有兩處錯誤，一是前兩項相乘的符號錯誤，應(yīng)是兩數(shù)相乘同號為正；二是后面一項中的 一 ，原因是該同學(xué)沒有掌握兩數(shù)相乘同號為正，異號為負(fù) ，還有對整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的運算法則沒有掌握；學(xué)生乙有兩處錯誤 ，一是分?jǐn)?shù)中 ，一個數(shù)除以另一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，二是后面一項中的一 一

21、 ，原因是分?jǐn)?shù) 除以整數(shù)的運算法則理解不清，還有對整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的運算法則沒有掌握或者是粗心。（運）算能力是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。可見，運算能力的構(gòu)成并不只是簡單應(yīng)用機械重復(fù)已學(xué)的法則和公式，還包括學(xué)生對所學(xué)知識的體驗、選擇與主動建構(gòu)。為了有效提高學(xué)生有理數(shù)的運算能力，應(yīng)從以下幾個方面人手 ：第一，加強概念 、算理的教學(xué) ，重視展現(xiàn)知識發(fā)生與發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)突出“經(jīng)歷感受 ”，教師應(yīng)明確自己的角色轉(zhuǎn)換，不要囿于傳統(tǒng)教學(xué)方式中的“告訴 ”和 “講解 ”。第二，要認(rèn)真分析學(xué)生出錯的原因，找準(zhǔn)錯誤的

22、根源，對癥施治 。學(xué)生出錯的地方往往帶有普遍性，如在加減運算 、有理數(shù)的乘方中經(jīng)常發(fā)生符號錯誤，在數(shù)與多項式相乘的過程中出現(xiàn)運算錯誤，對乘方的概念理解錯誤等等 。教師要將學(xué)生出現(xiàn)的錯誤作為良好的教學(xué)資源，充分利用課堂的集成效應(yīng)，在學(xué)生注意力的黃金時段內(nèi)重點講解學(xué)生作業(yè)反饋中大面積出現(xiàn)的問題，爭取集中處理 。第三，教師要認(rèn)真地研究學(xué)生，樹立正確的學(xué)生觀。七年級的學(xué)生都經(jīng)歷了小學(xué)非負(fù)數(shù)的運算，頭腦中裝著“和不小于任一加數(shù)，差不大于被減數(shù)。運算不需考慮符號”等等一些計算經(jīng)驗。而在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算過程中，由于引人了負(fù)數(shù)，出現(xiàn)了新知識與原有知識不相吻合的情況，新知識的圖式結(jié)構(gòu)與原有圖式相沖突，必須通過順應(yīng)來完成。教師的教學(xué)必須尊重學(xué)生的實際經(jīng)驗，重視學(xué)生對知識的理解與實際學(xué)習(xí)，切不可急于求成。六、教學(xué)設(shè)