概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第三章習題課

1、一、重點與難點一、重點與難點二、主要內容二、主要內容三、典型例題三、典型例題第二章第三章隨機變量及其分布第二章第三章隨機變量及其分布習習 題題 課課一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點(0-1)分布、二項分布和泊松分布的分布律分布、二項分布和泊松分布的分布律正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關區(qū)間概率的計算密度函數(shù)及有關區(qū)間概率的計算二維隨機變量的分布、邊緣分布二維隨機變量的分布、邊緣分布有關概率的計算和隨機變量的獨立性有關概率的計算和隨機變量的獨立性2.難點難點一維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的求法一維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)

2、的求法條件概率分布條件概率分布二維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量函數(shù)的分布.02,87,45,23,1, 5, 2, 0 , 2 xxpaaaax試求概率試求概率相應的概率依次為相應的概率依次為的可能取值為的可能取值為已知離散型隨機變量已知離散型隨機變量思路思路 首先根據(jù)概率分布的性質求出常數(shù)首先根據(jù)概率分布的性質求出常數(shù) a 的的值值, 然后確定概率分布的具體形式然后確定概率分布的具體形式,最后再計算最后再計算條件概率條件概率. 利用概率分布律的性質利用概率分布律的性質解解, 1 iip二、典型例題二、典型例題例例1因此因此 x 的分布律為的分布律為xp5202 37837123710377

3、aaaapii87452311 有有,837a ,837 a故故從而從而00, 202 xpxxpxxp52020 xpxpxpxpxp.2922 .,212. 2, 21,32, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求試確定常數(shù)試確定常數(shù)且且的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設離散型隨機變量設離散型隨機變量xbaxpxbaxaxaxxfx 思路思路 首先利用分布函數(shù)的性質求出常數(shù)首先利用分布函數(shù)的性質求出常數(shù) a, b,再用已確定的分布函數(shù)來求分布律再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.解解:)(的性質的性質利用分布函數(shù)利用分布函數(shù)xf例例2),0()( iiixfxfxxp, 1)( f221 xp

4、知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxf因此有因此有從而從而 x 的分布律為的分布律為xp211 213161.,200,6001,):(,a概率概率至少有一只元件損壞的至少有一只元件損壞的內內小時小時試求在儀器使用的最初試求在儀器使用的最初中參數(shù)中參數(shù)其其都服從同一指數(shù)分布都服從同一指數(shù)分布小時小時單位單位其壽命其壽命元件元件立工作的同型號電子立工作的同型號電子設某儀器上裝有三只獨設某儀器上裝有三只獨 思路思路, 200 )3 , 2 , 1(的事件的事件小時內損壞”小時內損

5、壞”使用的最初使用的最初“在“在分別表示三個電子元件分別表示三個電子元件以以 iai321aaapa 于是于是)(1321aaap ),()()(1321apapap 例例3),3 , 2 , 1()( iappi令令.,便可得解便可得解由指數(shù)分布求出由指數(shù)分布求出 p解解的概率密度為的概率密度為由題設知由題設知個元件的使用壽命個元件的使用壽命表示第表示第用用)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1( ixiixii . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx,一分布一分布由三個電子元件服從同由三個電子元件服從同,)(200papxpii 又又因此所求概率為因此所求概率為)()(

6、)(1321apapap 31p 331)e (1 .e11 從而從而 200d)(200 xxfxpi 200600de6001xx,e31 . 3 , 2 , 1 i.,0)4(;)3(;,)2(;),()1(:.,310,7210的條件分布律的條件分布律的條件下的條件下在在是否獨立是否獨立和和的邊緣分布律的邊緣分布律的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律求求表示其中的二等品數(shù)表示其中的二等品數(shù)示其中的一等品數(shù)示其中的一等品數(shù)表表用用件件件產(chǎn)品中不放回地抽取件產(chǎn)品中不放回地抽取從從件次品件次品件二等品和一件二等品和一件一等品、件一等品、件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有在在yxyxyxyxyx 例例4有有時時或或當當

7、,32 jiji. 0, jyixp由古典概率知由古典概率知時時當當,32 ji,3103172, jijijyixp解解只能取只能取由題設知由題設知 x, 2, 1, 0只能取只能取y. 3, 2, 1, 0).3 , 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0( jiyx3210210120351202100012042120140001207121112042的分布律為的分布律為因此的因此的),(yx的邊緣分布律為的邊緣分布律為yx,)2(yx32102101203512021000120421201400012071201 ip12056120561208jp 1201120211206

8、3120351, 00, 0)3( yxp因為因為, 012011205600 ypxp.不相互獨立不相互獨立與與所以所以yx的條件概率為的條件概率為的條件下的條件下在在yx,0)4( . 3 , 2 , 1 , 0,0, 00 jxpjyxpxjyp的條件分布律為的條件分布律為因此因此 y0 xjyp328385.00)2(;)1(:. 4 , 3 , 2 , 1, 4 . 01, 6 . 00,2413221143214321只有零解的概率只有零解的概率方程組方程組的概率分布的概率分布行列式行列式求求且且獨立同分布獨立同分布設設 xxxxippii.0,的概率的概率列式列式而第二問就是求系

9、數(shù)行而第二問就是求系數(shù)行出來出來些值的概率計算些值的概率計算然后利用獨立性將取這然后利用獨立性將取這能值找到能值找到的所有可的所有可先要將先要將的分布律的分布律要求行列式要求行列式 思路思路例例5解解,) 1 (322411記,213241 則則,214321也相互獨立也相互獨立故故相互獨立相互獨立由于由于,1, 0,21兩個值兩個值都只能取都只能取且且1, 1113221 ppp而而,16. 01132 pp.84. 016. 010021 pp. 1, 0, 1321 個可能取值個可能取值有有隨機變量隨機變量1, 0121 pp1021 pp,1344. 016. 084. 0 0, 11

10、21 pp0121 pp,1344. 084. 016. 0 1110 ppp.7312. 0 的分布律為的分布律為于是行列式于是行列式 p101 1344. 07312. 01344. 0由于齊次方程由于齊次方程)2(等價于等價于系數(shù)行列式不為系數(shù)行列式不為只有零解的充要條件是只有零解的充要條件是,00024132211 xxxx0 p01 p.2688. 07312. 01 .0,),(.3, 1,3, 0., 2,0, 1, 0, 0,1, 0),(),(22 uvpvuyxyxvyxyxxuvuyxyyxdyx并計算并計算的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布求求如下如下隨機變量隨機變量定義定義

11、上的均勻分布上的均勻分布服從服從設隨機變量設隨機變量.,),(概率概率布的特征計算其取值的布的特征計算其取值的并利用均勻分并利用均勻分的所有可能取值的所有可能取值寫出寫出vu例例6思路思路解解的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為由題設知由題設知),(yx .),(, 0,),(,2),(dyxdyxyxf:6),(個可能取值個可能取值有有vu)1 , 2()0 , 2()1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(, 0)(0, 0 pvup, 0)(0, 1 pvup3,01, 1yxyxpvup yxyxfyxpyxdd),(00 yxyxdd20 .41 3, 01, 0yxxpv

12、up 0 xp,21 3,0, 2yxxypvup 3yxp ,61 3,1, 2yxxypvup 3yxyp .121 的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為所以所以),(vuvu2101061001214121從而從而0 uvp1, 21, 1 vupvup12141 .31 ).(,10, 20),(),(sfsyxyxyxgyx的概率密度的概率密度的矩形面積的矩形面積和和試求邊長為試求邊長為上服從均勻分布上服從均勻分布在矩形在矩形設隨機變量設隨機變量 解解的概率密度為的概率密度為由題設知二維隨機變量由題設知二維隨機變量),(yx .),(, 0,),(,21),(gyxgyxyxf若若若若,

13、)(,的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為設設ssspsfyxs ,0 時時則當則當 s, 0)( sxypsf例例7,2時時當當 s, 1)( sxypsf,20時時當當 s)(sxypsspsf 1sxyp yxyxfsxydd),(1 yxxssd21d112 . )ln2ln1(2ss ., 0, 20),ln2(ln21)(其他其他故故sssf ., 0,0,e),( ),(其他其他的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為設隨機變量設隨機變量yxcxyxfyxy練習：練習：;1)6(;)5(;21)4();(),() 3(?)2(;) 1 (yxpyxzyxpxyfyxfyxcxyyx求的密度函數(shù)求求求

14、為什么是否獨立與求常數(shù)課后練習：課后練習：;),()9(.1),min()8(21)7(的聯(lián)合分布函數(shù)求求求yxyxpyxp ., 0,0,e),( ),(其他其他的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為設隨機變量設隨機變量yxcxyxfyxy練習練習.54321. 2);()2( ;) 1 (.,e)(. 1的分布率求表示數(shù)字重復的次數(shù)，數(shù)，中任取四個數(shù)構成四位，現(xiàn)從的分布函數(shù)求求系數(shù)的概率密度為已知隨機變量xxxfxaxaxfxx3測量某目標的距離時，誤差測量某目標的距離時，誤差x（m），且知），且知x n(20,1600),求三次測量中至少有一次誤差絕求三次測量中至少有一次誤差絕對值不超過對值不

15、超過30m的概率的概率. 0,211, 0,21)(.21,1)(,0,0,)(. 1|xexexfadxxfxaexaeaexfxxxxx得由解：x3210415424251414154242415445552/55cpcpccpccp2.解解p.)1 (1011), 3(,4931. 0)45()41(402030402040203030|. 3303pcypyppbypxpxp則解：四色猜想四色猜想 四色猜想是世界近代三大數(shù)學難題之一四色猜想是世界近代三大數(shù)學難題之一(另外另外兩個是費馬定理和哥德巴赫猜想兩個是費馬定理和哥德巴赫猜想)。 1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯年，畢業(yè)于倫敦

16、大學的弗南西斯格思里格思里(francis guthrie)來到一家科研單位搞地圖著色來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。國家著上不同的顏色?！?用數(shù)學語言表示，即用數(shù)學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區(qū)域，每一個將平面任意地細分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標記，這四個數(shù)字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字?！?

17、這是一個拓撲學問題這是一個拓撲學問題 。 1852年年10月月23日，他的弟弟就這個問題的證日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學家德明請教他的老師、著名數(shù)學家德摩爾根，摩摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓是寫信向自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正年，英國當

18、時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。 1878年肯普和泰勒宣布證明了此定理，年肯普和泰勒宣布證明了此定理，11年后，即年后，即1890年，數(shù)學家赫伍德以自己年，數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學家雖然對此絞盡腦汁，但越來越多的數(shù)學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題想相媲美的難題 。 1976年，在年，在j. koch的算法的支持下，美國的算法的支持下，美國數(shù)學家阿佩爾數(shù)學家阿佩爾(kenneth appel)與哈肯與哈肯(wolfgang haken)在美國伊利諾斯大學的兩在美國