專題三：數(shù)列綜合題

1、.首都師范大學(xué)附屬麗澤中學(xué)培優(yōu)講座北京豐臺(tái)二中特級(jí)教師 張健專題三：數(shù)列綜合問題1. 如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針 上全部移到另一根針上 a每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片； b在每次移動(dòng)過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面將n個(gè)金 屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為f(n) 則f(3)_；f(n)_. 解析f(1)1，f(2)3，f(3)2f(2)17. 先把上面的n1個(gè)金屬片移到2號(hào)針，需要f(n1)次，然后把最下面的一個(gè)金屬片移到3號(hào)針，需要1次，再把2號(hào)針上的n1個(gè)金屬片移到3號(hào)針，需要f(n1)次，所以f(n)2f(n1)

2、1，得f(n)12f(n1)1，故數(shù)列f(n)1是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以f(n)12n，于是f(n)2n1.2.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第45行從左向右的第17個(gè)數(shù)為_解析觀察數(shù)陣，記第n行的第1個(gè)數(shù)為an，則有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan12(n1)將以上各等式兩邊分別相加，得ana124682(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，所以a451 981.又從第3行起數(shù)陣每一行的數(shù)都構(gòu)成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，則第45行從左向右的第17個(gè)數(shù)為1 9811622 013.3.等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、

3、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3. 故an23n1 (nN*)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)1

4、11(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21. 綜上所述，Sn4.(2013廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解當(dāng)n2時(shí)，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，

5、又1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2，nN*.(3)證明111，所以對(duì)一切正整數(shù)n，有.5.(2012廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*， (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，111， 即.6. 已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，證明：bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 證明：假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)mnp，而bnn1隨n的增大而減小，那么只能有2bnbmbp，可得

6、2n1m1p1，則2nm1pm.當(dāng)nm2時(shí)，2nm22，上式不可能成立，則只能有nm1，此時(shí)等式為1pm，即pm，那么pmlog，左邊為正整數(shù)，右邊為無理數(shù)，不可能相等所以假設(shè)不成立，那么數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列7. 已知數(shù)列an和bn滿足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù) (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明：數(shù)列an不是等比數(shù)列； (2)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列(1)證明假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比數(shù)列(2) 解因?yàn)閎n1(1)n1an13(n1)21(1)n1 (1)n(an3n2

7、1)bn，又b1(18)，所以當(dāng)18時(shí)，bn0 (nN*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，b1(18)0，由bn1bn，可知bn0，所以 (nN*)故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；綜上知，當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn構(gòu)不成等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列8.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差都是，其前項(xiàng)和記為等比數(shù)列的 各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，其前項(xiàng)和記為 （）寫出（）構(gòu)成的集合； （）若為正整數(shù)，是否存在大于的正整數(shù)，使得，同時(shí)為集合 中的元素?若存在，寫出所有符合條件的的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng) 說明理由； （）若將中的整數(shù)項(xiàng)按從小到依次排列構(gòu)成數(shù)列，求

8、的一個(gè)通項(xiàng) 公式 解：（）因?yàn)榈炔顢?shù)列共有5項(xiàng)，首項(xiàng)和公差都是，所以， -2分又，所以 -4分（）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，為的前項(xiàng)的和，若存在大于1的正整數(shù)，使同時(shí)為集合的元素，若，因?yàn)樗裕炙运?-6分若時(shí)，因?yàn)榍宜詣t或或或或若，則因?yàn)樗詿o解；若則因?yàn)?，所以無解；若則則 所以 -8分若則因?yàn)?，所以無解；若則則所以 -10分綜上所述，存在符合條件的數(shù)列，其通項(xiàng)公式分別為 （）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均為整數(shù)； 當(dāng)時(shí)，不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均為整數(shù)；當(dāng)時(shí)，不能被3整除，不是整數(shù)； -11分所以 9.（2013北京理科）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為 An

9、，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，的最小值記為Bn，dn=AnBn （I）若an為2，1，4，3，2，1，4，3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意nN*， )，寫出d1，d2，d3，d4的值； （II）設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=d (n=1,2,3)的充分必要條件為 an為公差為d的等差數(shù)列； （III）證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，則an的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1解：（1）；（2） 證明：（充分性）因?yàn)楣?，所以?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列或常數(shù)列， 即因此，所以。 （必要性）因?yàn)閐n=d，所以， 又因?yàn)椋?，即?shù)列an是遞增數(shù)列或常數(shù)列，于是，從而公差，即an是公差為d的等差數(shù)列。（3

10、） 因?yàn)?，所以，故?duì)任意。 假設(shè)數(shù)列an中存在大于2的項(xiàng)，設(shè)m是滿足的最小正整數(shù)，顯然. 由于，所以 則，而，所以，所以， 所以，這與矛盾.所以對(duì)于任意，有，即非負(fù)正數(shù)數(shù)列an的各項(xiàng)只能是1或2.因?yàn)閷?duì)任意，所以故，因此，對(duì)任意，存在滿足，且，即數(shù)列an有無窮多項(xiàng)為1.10.（東城期末）若無窮數(shù)列滿足：對(duì)任意，；存在常數(shù)， 對(duì)任意，則稱數(shù)列為“數(shù)列”. （）若數(shù)列的通項(xiàng)為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；（）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)任意， ；（）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在 ， 數(shù)列為等差數(shù)列.（）證明：由，可得，所以，所以對(duì)任意，又?jǐn)?shù)列為遞減數(shù)列，所以對(duì)任意，所以數(shù)列為“數(shù)列”5分（）證明：假設(shè)存在正整數(shù)，使得由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得由，可得且