高等數(shù)學定積分課件

1、高等數(shù)學高等數(shù)學Advanced Mathematics第六章第六章 定積分定積分一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例二、定積分的定義二、定積分的定義三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì) 定積分和不定積分是積分學的兩個定積分和不定積分是積分學的兩個一種認識問題、分析問題、解決問題的一種認識問題、分析問題、解決問題的不定積分側(cè)重于基本積分法的訓練不定積分側(cè)重于基本積分法的訓練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想 主要組成部分主要組成部分.思想方法思想方法.第一節(jié)第一節(jié) 定積分定積分的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì)1.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面

2、積 定積分概念也是由大量的實際問題抽象出來的。定積分概念也是由大量的實際問題抽象出來的。 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線及及0)( xfy所所圍圍成成0, ybxax和和直線直線.A的曲邊梯形的面積的曲邊梯形的面積一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例ab)(xfy Oxy?A habAhxf)(,)()( 矩形面積公式為矩形面積公式為時時常數(shù)常數(shù)用用矩形面積矩形面積梯形面積梯形面積（五個小矩形）（五個小矩形）（十個小矩形）（十個小矩形）思想思想: :以直代曲以直代曲顯然顯然,小矩形越多小矩形越多, 矩形總面積越接近曲邊矩形總面積越接近曲邊近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積OxyOxyab)(x

3、fy 個個分成分成把區(qū)間把區(qū)間nba,1iixx 在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間 采取下列四個步驟來求面積采取下列四個步驟來求面積A.(1) 分割分割任任意意用用分分點點,1210bxxxxxann (2) 取近似取近似為為底底，以以,1iixx 的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積上上對對應應表表示示,1iiixxA ;1 iiixxx，小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 長度為長度為)(if 為高的小矩形為高的小矩形,面積近似代替面積近似代替Oxyix1x1ix 1 nx，上任取一點上任取一點i i iA (),1,2,iiiAfx in 有有,iA A1lim()niiiAfx (3) 求和求和 這些小

4、矩形面積之和可作為曲邊梯形這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積面積A的近似值的近似值.(4) 求極限求極限 為了得到為了得到A的精確值的精確值,時時，趨趨近近于于零零)0( 取極限取極限,形的面積形的面積:分割無限加細分割無限加細,iniixf )(1 極限值就是曲邊梯極限值就是曲邊梯,max21nxxx 即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度0 ab)(xfy Oxyi iA ix1x1ix 1 nx二、定積分的定義二、定積分的定義設函數(shù)設函數(shù)f (x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定義定義若干個分點若干個分點bxxxxxann 1210把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個小

5、區(qū)間個小區(qū)間, 各小區(qū)間長度依次為各小區(qū)間長度依次為), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點一點),(iiix 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 記記,max21nxxx 如果不論對如果不論對(1)(2)(3)(4),ba被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式記為記為積分和積分和怎樣的分法怎樣的分法,也不論在小區(qū)間也不論在小區(qū)間,1iixx 上點上點i 怎樣的取法怎樣的取法,只要當只要當,0時時 和和S總趨于確定的總趨于確定的極限極限I,稱這個稱這個極限極限I為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的定積

6、分定積分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 積分下限積分下限積分上限積分上限積分變量積分變量a,b積分區(qū)間積分區(qū)間 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是與是與 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 (2) 的結(jié)構(gòu)和上、下限的結(jié)構(gòu)和上、下限, 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關性今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關性進行推理進行推理.定積分是一個數(shù)定積分是一個數(shù),定積分數(shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分數(shù)值只依賴于被積函數(shù)取取法法上上i 有關有關; ;注注取取法法上上i 無關無關. .而與積

7、分變量的記號無關而與積分變量的記號無關.tt bafd)(u u, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值 baxxfd)(1. 幾何意義幾何意義2A 1A 3A 三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義Oxyab)(xf1A2A3A幾何意義：幾何意義： baxxfd)(各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和.取負號取負號.它是介于它是介于x軸、函數(shù)軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條直線直線 x = =a, x = = b之間的之間的在在 x 軸上方的面積取正號軸上方的面積取正號;在在

8、x 軸下方的面積軸下方的面積Oxyab)(xf 例例xx d1102 求求解解4 xx d110221xy oxy11定理定理1定理定理2或或記為記為.,baRf 黎曼黎曼 德國數(shù)學家德國數(shù)學家(18261866),)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設baxf上上在在則則,)(baxf可積可積. .,)(上上有有界界在在設設baxf且只有有限個間且只有有限個間上上在在則則,)(baxf可積可積. .當函數(shù)當函數(shù)上上在區(qū)間在區(qū)間,)(baxf的定積分存在時的定積分存在時,上上在區(qū)間在區(qū)間稱稱,)(baxf可積可積. .黎曼可積黎曼可積, , 斷點斷點, ,充分條件充分條件四、定積分的存在定理四、定積分的存在

9、定理解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定義計算由拋物線用定義計算由拋物線,2xy ,等分等分n,nixi 分分點點為為分分成成將將1 , 0和和x軸所圍成的曲邊梯形面積軸所圍成的曲邊梯形面積.直線直線1 xni2 , 1 小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度,1nxi ni2 , 1 取取,iix ni2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxin1n niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 niinixf )(1 nn

10、121161對于任一確定的自然數(shù)對于任一確定的自然數(shù),n積分和積分和 xx d102當當n取不同值時取不同值時,xx d102 近似值精度不同近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.,1nxi 對定積分的對定積分的補充規(guī)定：補充規(guī)定：,)1(時時當當ba baxxfd)(0,)2(時時當當ba baxxfd)( abxxfd)(在下面的性質(zhì)中在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim1

11、0 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)1 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)2 baxxkfd)( baxxfkd)()( 為常數(shù)為常數(shù)k性質(zhì)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2稱為稱為線性性質(zhì)線性性質(zhì). .cba,例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則則性質(zhì)性質(zhì)3 cbxxfd)( cbxxfd)(假設假設bca ba

12、xxfd)( axxfd)( bxxfd)(cc的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.不論不論證證0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx 01lim()niiifx 0 性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)性質(zhì)5 baxd1 baxdab 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba ( )dbaf xx 解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 xxd20 比較積分值比較積分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例性質(zhì)性

13、質(zhì)5的推論的推論1證證)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba),()(xgxf 則則 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba )(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf 說明說明性質(zhì)性質(zhì)5的推論的推論2性質(zhì)性質(zhì)5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfxxfd|

14、)(|d)( baxd baxd baxd可積性是顯然的可積性是顯然的.上上的的在在,| )(|baxf由由推論推論1證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)性質(zhì)6mM和和設設分別是函數(shù)分別是函數(shù)上上的的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 則則解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx估計積分估計積分.dsin3103

15、的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)( Cxf估計積分估計積分.dsin24的的值值xxx 例例上上在在 2,4)( xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 21證證Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）定積分中值定理）如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上,ba連

16、續(xù)連續(xù), ,則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間上上,ba至少存在一點至少存在一點 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 積分中值公式積分中值公式上上在在,ba至少存在一點至少存在一點 , baxxfabfd)(1)( 使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 定理用途定理用途 )( f注注性質(zhì)性質(zhì)7( (定積分中值定理）定積分中值定理） 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上,ba連續(xù)連續(xù), ,則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間上上,ba至少存在一點至少存在一點 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 無論從幾何上無論從幾何上, 還是從物理上還是從

17、物理上, 都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求連續(xù)變量的連續(xù)變量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉積分號來表示積分值如何去掉積分號來表示積分值. baxxfabfd)(1)( )(ba .,)(上的平均值上的平均值在區(qū)間在區(qū)間就是就是baxf積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋)(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一點至少存在一點 在區(qū)間在區(qū)間, 使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為底邊為底邊,以曲線以曲線)(xfy 為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的一個矩形的面積的一個矩形的面積.)(xfy ab )(

18、fOxy例例0dsinlim xxxannn求求證證證證 由由積分中值定理積分中值定理有有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a為常數(shù)為常數(shù))nn sin)()(d)(baabfxxfba ()nan證明證明0dsinsinlim40 xxnxnn 求求證證證證,4, 0時時當當 x |sinsin|xnxn n4sin n 21xxnxndsinsin40 0421 n0)( n 夾逼定理夾逼定理即得即得0dsinsinlim40 xxnxnn 3. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用注意估值性質(zhì)、積分中值定理

19、的應用)4. 典型問題典型問題(1) 估計積分值估計積分值;(2) 不計算定積分比較積分大小不計算定積分比較積分大小.小結(jié)小結(jié)1. 定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì): 特殊和式的極限特殊和式的極限.2. 定積分的思想和方法定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變以直代曲、以勻代變.四步曲四步曲:分割、分割、 取近似、取近似、求和、求和、 取極限取極限.思想思想方法方法).1( 設設解解.2 T周周期期 21例例 200dsin2ttE0 定積分幾何意義定積分幾何意義 E 2tE sin0td0求電動勢求電動勢在一個周期上的在一個周期上的tEE sin0 平均值平均值討論定積分的近似計算問題討論定積分的近

20、似計算問題:,)(baCxf 設設 baxxfd)(存在存在.用分點用分點bxxxxan ,210長度長度,nabx 取取,1 iix 有有 iniibaxfxxf )(limd)(10 baxxfd)( ni 1nab )(1 ixf nlim)(lim11 niinxfnab每個小區(qū)間每個小區(qū)間對任一確定的自然數(shù)對任一確定的自然數(shù),n)(11 niixfnab將將 分成分成n個長度相等個長度相等的小區(qū)間的小區(qū)間, , a b將將 n等分等分, , a bnab baxxfd)()(11 niixfnab), 2 , 1 , 0(ni iiyxf )(記記取取,1 iix ,nabx 如取如

21、取,iix baxxfd)(nab baxxfd)(矩形法矩形法公式公式).(110 nyyy).(21nyyy 矩形法的矩形法的幾何意義幾何意義xOy)(xfy ab第三節(jié)第三節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式 一、問題的提出一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式(v(t)和和s(t)的關系的關系) 通過定積分的物理意義通過定積分的物理意義,例例變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21d)(TTttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的關系的關系)設某物體作直線運動

22、設某物體作直線運動,已知速度已知速度)(tvv tTT上上,21的一個連續(xù)函數(shù)的一個連續(xù)函數(shù), 0)( tv且且求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.是時間間隔是時間間隔2121( )d()().TTv tts Ts T )()(tvts 一、問題的提出一、問題的提出其中其中積分的有效、簡便的方法積分的有效、簡便的方法.找到一個計算定找到一個計算定 如果能從如果能從v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 這正是第四章已經(jīng)解決了的微分運算的這正是第四章已經(jīng)解決了的微分運算的定積分的計算是否有捷徑可尋定積分的計算是否有捷徑可尋進行進行一般性一般

23、性 的討論的討論.運算運算.定積分定積分運算就可化為減法運算就可化為減法)()(d)(1221TsTsttvTT 啟發(fā)：啟發(fā)：不定積分問題不定積分問題.逆運算逆運算 定積分定積分 attfd)(積分上限函數(shù)積分上限函數(shù),bax ).(x 記為記為 注注一定要分清函數(shù)的一定要分清函數(shù)的如果上限如果上限 x 在區(qū)間在區(qū)間a,b上任意變動上任意變動,每一個取定的每一個取定的x值值,則對于則對于定積分有一個對應值定積分有一個對應值,所以它所以它在在a,b上定義了一個函數(shù)上定義了一個函數(shù),設設f (x)在在a,b中可積中可積,則對任一點則對任一點x )(x 與與自變量自變量x積分變量積分變量t.xtt二

24、、積分上限函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)xb xattfxd)()( 這個函數(shù)的幾何意義這個函數(shù)的幾何意義 下面討論這個函數(shù)的可導性下面討論這個函數(shù)的可導性.是如圖是如圖紅色部分紅色部分的面積函數(shù)的面積函數(shù).ab)(xfy Oxyx)(x 證證 )(xx 定理定理1 1 (原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理),)(baCxf 設設則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù)且且對對上上限限的的導導數(shù)數(shù)等等于于.,)()(上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在是是baxfx 因為因為,上上的的可可導導函函數(shù)數(shù)是是ba即即函數(shù)在上限處的值函數(shù)在上限處的值被積被積. xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf

25、)(bxa xattfd)()()(xxx xdd從而從而ttfad )( xx )()(xxx .之之間間與與在在xxx )( fx ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在因因baxfxxx 0lim)( )(lim fx )(xf .x 積分中值定理積分中值定理xf )( xxxttf d)(定積分性質(zhì)定積分性質(zhì)3故故,0時時而而 x xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 定理定理1指出指出:積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體(2) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f (x) 一定有原函數(shù)一定有原函數(shù), xattfxd)()( 就是就是f(x)的一個原函數(shù)的一個

26、原函數(shù).(1) 積分運算和微分運算的關系積分運算和微分運算的關系,它把微分和它把微分和所以它是微積分學基本定理所以它是微積分學基本定理.函數(shù)函數(shù) 微積分微積分,推論推論d1( )ddaxf ttx 、)(xf ,)(baCxf 設設,)(可可導導函函數(shù)數(shù)xg.,bax 例例 ).(,d1)(02xfttttxfx 求求設設解解 )(xf12 xxx()d2( )ddg xaf ttx 、( )f g x)(xg ( )ug x ()d( )ddg xaf ttx d( )dduaf ttx xudd d( )dduaf ttu d( )duf ux ( )f g x )(xg 例例 ).(,d

27、11)(2sin2xfttxfx 求求設設解解xusin ( )fx xudd xx2sin1cos xucos112 uttu22d11dd推論推論d3( ) ( )ddxag x f ttx 、 xattfxgd)()()(xg xattfd)(xdd )()(xfxg 例例22sinxtadxedtdx 22sinsin222xtxaedtexxx 22sin3sin22xtxaxedtx e 例例 ).(,d)(23xftexfxxt 求求設設解解tetexfxtxtdd)(32 20dxtte texxfxtddd)(202xe textd30 x2 3xe 23x 00texxtd

28、dd30 ()()d4( )ddg xh xf ttx 、()()d( )ddg xh xf ttx ( )( )d( )d( )ddg xaah xf ttf ttx ( )f g x )(xg ( )f h x ( )h x ( )( )f g xg x ( )( )h xxfh 例例21cos0dlim2xtextx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00這是這是 型不定式型不定式,分析分析應用應用洛必達法則洛必達法則)(cos x證證 )(xF

29、)(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設xf. 1)( xf且且證明證明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或證證 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在設設證明函數(shù)證明函

30、數(shù) xxttftttfxF00d)(d)()(內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0 )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).故故)(xF0( )xf t dt 0 0() ( )xxt f t dt 且且滿滿足足連連續(xù)續(xù)時時當當,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf 分析分析 求求必須先化掉必須先化

31、掉積分號積分號,只要對所給積分方程兩邊求導即可只要對所給積分方程兩邊求導即可.解解 對所給積分方程兩邊關于對所給積分方程兩邊關于x求導求導,得得.51)2( f即即,1時時當當 x),2(f需先求出需先求出).(xf1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xxf2(1)xx ()()d( )ddg xh xf ttx ( )( )f g xg x ( )( )h xxfh d( )( )dxxx )(xf )(bxa xattfd)(xdd( )( )dxaxf tt )(bxa 變上限函數(shù)變上限函數(shù)微積分學基本定理微積分學基本定理例例21cos0dlim2xtex

32、tx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00這是這是 型不定式型不定式,分析分析應用應用洛必達法則洛必達法則)(cos x證證 )(xF( )Fx 又又因因01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf為嚴格單調(diào)增加函數(shù)為嚴格單調(diào)增加函數(shù).( )0,1F x在在上上1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設xf. 1)( xf且且證明證明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一個解只

33、有一個解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或,)(d)(CxFttfxa 定理定理2 (牛頓牛頓-萊布尼茨萊布尼茨公式公式),)()(CxFx ,bax 證證牛頓牛頓( (英英)16431727)16431727 萊布尼茨萊布尼茨( (德德)16461716)16461716如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)上上區(qū)區(qū)間間在在, )(baxf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), 則則)()(d )(aFbFxxfba xattfxd)()( 都是都是f(x)在在a,baa因為因為及及)(xF上的原函數(shù)上的原函數(shù), 故有故有

34、C是待定常數(shù)是待定常數(shù), 即有即有,bax 0 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )CF a )()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛頓牛頓(Newton)萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式,bax 特別特別, xxfbad)( )baF x ( )( )F bF a CxFttfxa )(d)(bbd ( )baF x )()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式表明微積分基本公式表明 baxF)( 注注求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)

35、間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間a, b上的增量上的增量.,時時當當ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立.例例 20d)1sincos2( xxx原式原式 20cossin2 xxx 23 解解 面積面積 A 0cosx 2 例例 解解軸軸上上與與在在計計算算曲曲線線xxy, 0sin 平面圖形的面積平面圖形的面積.所圍成的所圍成的xysin xsin 0 xd 1)1( Oxy 例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf設設.d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx6 12

36、 10d)(xxf 21d)(xxfxyO5例例 222d,maxxxx解解 由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf 原式原式211 注注 如被積函數(shù)是分段函數(shù)如被積函數(shù)是分段函數(shù), 應分段分成幾個應分段分成幾個再用再用牛牛萊公式萊公式.積分積分, 022dxx 10dxx 212dxx,2x02 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy 2 21xxxd)12(10 解解,210時時當當 x,121時時當當 x 原式原式 1dx41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx例例 例例解解xxd2si

37、n120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sin xx 20dsincos xxx222 如被積函數(shù)有絕對值如被積函數(shù)有絕對值,注注 24)sincos( xx 再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.04 xxxd)sin(cos 4 2 xxxd)cos(sin 應分區(qū)間將絕對值應分區(qū)間將絕對值例例 已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 解解分段函數(shù)分段函數(shù) )(x ,01時時當當 x xtd1,10時時當當 x xttd.21時時當當 x

38、xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 錯錯!已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 正確做法正確做法,)0 , 1時時當當 x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0時時當當 x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(時時當當 x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22時時當當時時當當時時當當xxxxxxxx 例例解解為為其其中中設

39、設 204)(,d)(2cos)( xfxxfxxf).(,xf試求試求連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 20,d)( Axxf令令Axxf2cos)(4 xAxAd)2(cos204 ,22143A ,)1(163 A.)1(83cos)(4 xxf則則xd20 xd)(20 例例 解解 nnnnn12111lim求極限求極限此極限實為一此極限實為一積分和的極限積分和的極限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定積分是代數(shù)和的推廣定積分是代數(shù)和的推廣,無窮小無窮小的的無限項無限項的代數(shù)和的代數(shù)和.即它

40、表示每項為即它表示每項為用定積分求極限時用定積分求極限時,需將需將(1)式中的兩個式中的兩個任意量任意量 用特殊的值處理用特殊的值處理.10 x 11例例 10d|txtt解解計算定積分計算定積分令令0tx,0時時當當 x 10d|txtt 10d)(txtt231x ,10時時當當 x 10d|txtt x0ttxtd)( 1xtxttd)( 31233 xx,1時時當當 x 10d|txtt 10d)(ttxt312 xxt 微積分基本公式微積分基本公式積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)(變上限積分變上限積分)( )( )dxaxf tt 積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù)( )( )xf x (

41、 )d( )( )baf xxF bF a 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系積分學之間的關系小結(jié)小結(jié) ( )baF x 例例,)(),(上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)baxgxf, 0)( xg且且 利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 證明存在一點證明存在一點使使,ba xxgfxxgxfbabad )()(d)()( 證證最值定理最值定理上上在在,)(baxf 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m,)(xf)(xg)(xg)(xg mM baxxgxfd)()(xd baxd baxd ba baxxgd)(M m介值定理介值定

42、理,ba )( f即證即證. babaxxgxxgxfd)(d)()( xxd14)1(2 x)1(2 x 1d4xxxxxxd11121222 xxxxd11121222 1()12d xx 21()2xx 1()12d xx 21()2xx 技巧技巧 例例 求求 解解原式原式=21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0( xC 12證證 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在設設證明函數(shù)證明函數(shù) xxttftttfxF00d)(d)()(內(nèi)內(nèi)在在), 0

43、( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0 )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).故故)(xF0( )xf t dt 0 0() ( )xxt f t dt )21(lim2nnnn 求求極極限限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni 32例例 已知兩曲線已知兩曲線 0d)(2teyxfyt與與在點在點)0

44、 , 0(處的切線相同處的切線相同,寫出此切線方程寫出此切線方程,并求極限并求極限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切線方程為故所求切線方程為.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0例例例例 解解求極限求極限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00 原原式式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0lim2 x2cos12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim32 xx2)1arctan( 2x

45、x2 6432 00且且滿滿足足連連續(xù)續(xù)時時當當,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf 分析分析 求求必須先化掉必須先化掉積分號積分號,只要對所給積分方程兩邊求導即可只要對所給積分方程兩邊求導即可.解解 對所給積分方程兩邊關于對所給積分方程兩邊關于x求導求導,得得.51)2( f即即,1時時當當 x),2(f需先求出需先求出).(xf1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xxf2(1)xx xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對嗎對嗎? ?錯錯!分析分析,d)()(dd0中中在在 xttftxx其中的其中的x對積分過程對積

46、分過程是是常數(shù)常數(shù),而積分結(jié)果而積分結(jié)果 xttftx0d)()(是是x的函數(shù)的函數(shù).若被積函數(shù)是積分上限若被積函數(shù)是積分上限(或下限或下限)的函數(shù)中的的函數(shù)中的注意注意變量變量 x 及積分變量及積分變量 t 的函數(shù)時的函數(shù)時,應注意應注意 x與與t 的區(qū)別的區(qū)別.對對 x求導時求導時, 絕不能用積分上限絕不能用積分上限(或下限或下限)的變量的變量x替替換積分變量換積分變量. xttftx0d)()( xxtttfttxf00d)(d)( xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對嗎對嗎? ? xxtttfttfx00d)(d)(故故 xttftxx0d)()(dd)d)(d)(dd

47、00 xxtttfttfxx xxtttfxttfxx00d)(dd)d)(dd xttf0d)(.d)(0 xttf正確解答正確解答 因為因為)(xxf)(xxf 常義積分常義積分積分區(qū)間有限積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界積分區(qū)間無限積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界被積函數(shù)無界常義積分的極限常義積分的極限廣義積分廣義積分推廣推廣無界域的面積無界域的面積, 電容器放電問題等等電容器放電問題等等.(反常積分反常積分)一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分第五節(jié)第五節(jié) 廣義積分廣義積分 axxfd)( tatxxfd)(lim 定義定義1 1,),)(上

48、連續(xù)上連續(xù)在在設設axf,at 取取 axxfd)( 即即 axxf.d)(記作記作當極限存在時當極限存在時,稱廣義積分稱廣義積分當極限不存在時當極限不存在時, 稱廣義積分稱廣義積分如果極限如果極限存在存在,ttlim則稱這個極限值為則稱這個極限值為廣義積分廣義積分,(1)收斂收斂; ;發(fā)散發(fā)散. .( ) ,)f xa 在在上上的的一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分 bxxfd)( bttxxfd)(lim 即即當極限存在時當極限存在時,稱廣義積分稱廣義積分當極限不存在時當極限不存在時, 稱廣義積分稱廣義積分,()(上上連連續(xù)續(xù)在在設設bxf bt 取取 bxxfd)(上的上的在在為為

49、,()(bxf bxxf.d)(記記作作存在存在,ttlim如果極限如果極限則稱這個極限值則稱這個極限值廣義積分廣義積分,(2)收斂收斂; ;發(fā)散發(fā)散. .,),()(上上連連續(xù)續(xù)在在設設 xf如果廣義積分如果廣義積分和和 xxfd)( xxfd)(都收斂都收斂,則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù) xxfd)( 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf稱廣義積分稱廣義積分 tlim tlim00),(在在上的上的廣義積分廣義積分,tt即即收斂收斂;記作記作發(fā)散發(fā)散.否則稱廣義積分否則稱廣義積分(3)( )f x( )d ,f xx ( )df xx

50、( )df xx 注注為了方便起見為了方便起見, 規(guī)定規(guī)定:對反常積分可用如下的簡記法使用對反常積分可用如下的簡記法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函數(shù)數(shù)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)若若xfxF aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF ),()( FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()( FF 這時廣義積分的收斂與發(fā)散取決于這時廣義積分的收斂與發(fā)散取決于 和和 是否存在是否存在.)( F)( F( )d( )bbf xxF x 例例 計算廣義積分計算廣義積分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim .22 xarctanxxarct

51、anlim 廣義積分的積分廣義積分的積分值值的的幾何意義幾何意義211xy Oxy例例 計算廣義積分計算廣義積分解解 2d1sin12xxx 21d1sinxx 21cosxxx1coslim . 1 2cos 2d1sin12xxx證證)1( 1d1xx 1ln x )2( 111pxp , 1 p, 1 p因此因此時時當當1 p收斂收斂, 其值為其值為;11 p時時當當1 p發(fā)散發(fā)散.1 p, 1 p11 p例例 證明廣義積分證明廣義積分,d11xxp .1時時發(fā)發(fā)散散當當 p,1時時收收斂斂當當 pxxpd11 xxpd11 定義定義2 2無無界界內(nèi)內(nèi))(xf0, 取取 右右鄰鄰域域(

52、)dbaf xx baxxfd)(,d)( baxxf即即當極限不存在當極限不存在時時,稱稱廣義積分廣義積分).)(lim( xfx即即則稱此極限為則稱此極限為仍然記為仍然記為如極限如極限存在存在,0lim 也稱也稱廣義積分廣義積分點點在在a函數(shù)函數(shù) a,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設設baxf(二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分( (瑕積分瑕積分) )廣義積分廣義積分,收斂收斂; ; baxxfd)( baxxfd)(發(fā)散發(fā)散. .瑕點瑕點(1)( )( , f xa b在在上上的的0lim( )dbaf xx , 取取 0 0( )dbaf xx 否則否則,).)(lim( xfx即即(

53、 )dbaf xx 則定義則定義如極限如極限存在存在,0lim b,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設baxf)(2)稱稱廣義積分廣義積分 baxxfd)(發(fā)散發(fā)散. .點點 為為 瑕點瑕點, ,( )bf x 的的0lim( )dbaf xx lim( )dtatbf xx 上上在在設設,)(baxf baxxf寫成寫成d)( baxxfd)(若等號右邊兩個廣義積分若等號右邊兩個廣義積分 baxxfd)().)(lim( xfx即即 c如果如果 axxfd)( bxxfd)(cc則定義則定義( )dcaf xx ( )dbcf xx 0lim 否則否則,就稱廣義積分就稱廣義積分 baxxfd)(發(fā)散發(fā)

54、散. .都收斂都收斂,(3)廣義積分廣義積分注注 如瑕點在區(qū)間內(nèi)部如瑕點在區(qū)間內(nèi)部,分別討論各段瑕點積分分別討論各段瑕點積分.通常通常用瑕點將區(qū)間分開用瑕點將區(qū)間分開,點點 為為 瑕點瑕點, ,( )cf x 的的0lim (),xc acb 除除外外 連續(xù)連續(xù)例例 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(d022 axaxa 221limxax aax 為為瑕點瑕點, , axax022d220daxax 00lim arcsinaxa 0limarcsin0aa .2 0lim 這個廣義積分值的這個廣義積分值的直線直線x = 0與與x = a位于曲線位于曲線221xay x 軸軸之上之上,之間的圖形面積之間的圖形面積.幾何意義幾何意義之下之下, 221xa