微積分9_1對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分

1、第九章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū) 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小,

2、常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同樣可定義空間中的光滑曲線同樣可定義空間中的光滑曲線.LOxy)(tT一、第一型曲線積分的概念與性質(zhì)一、第一型曲線積分的概念與性質(zhì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf 上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲

3、線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果 L 是 xOy 面上的曲線弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 存在條件：存在條件：.),(,),(存存在在對(duì)

4、對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在光光滑滑曲曲線線弧弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf推廣：推廣：的的曲曲線線積積分分為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),( zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù))szyxfd),()2( 由 組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目錄 上頁(yè)

5、下頁(yè) 返回 結(jié)束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)

6、注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣

7、推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)( 角角形形為為頂頂

8、點(diǎn)點(diǎn)的的三三是是以以其其中中計(jì)計(jì)算算BAOLdsyxL Ldsyx)( 101010)1(2ydydxxxxdx.21 例例2 BOABOAdsyxdsyxdsyx)()()(yxOBA11解解 ;2)1(1,1012dxdxxdsxxy ;,100dxdsxy .,100dydsyx :OA:AB:BO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3axyxLdsyxIL2,2222 為為圓圓周周其其中中求求解一解一 設(shè)設(shè)L：)cos1 ( ax sinay 2 , 0 yxo a 202222 sin)cos1 ( adaaI 202 cos22da 2022 2cos22da 2022cos2cos

9、2dda8a2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解二解二 設(shè)設(shè)L：2,2 , cos2)( ar addrrds2 )(22 222cos2 adaIyxo ar 222sin4 a8a2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算的一般程序計(jì)算的一般程序1. 畫線畫

10、線L；2. 恰當(dāng)恰當(dāng)選擇選擇L的參數(shù)方程，的參數(shù)方程，3. 確定積分限，確定積分限， 注意下限一定比上限小注意下限一定比上限小。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d d s練習(xí)練習(xí). 計(jì)算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.第一型曲線積分的性質(zhì) 1. 對(duì)稱性 2. 輪換性 3. 被積函數(shù)定義在積分曲線上目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算,dsxI

11、L其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),()1(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( L

12、dsLyxf弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),( ),()3(處處的的高高時(shí)時(shí)柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz 3. 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的幾何與物理意義對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的幾何與物理意義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 LLyLxdsyxIdsxIdsyI.)(,22022 別別為為軸軸及及原原點(diǎn)點(diǎn)的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量分分軸軸、對(duì)對(duì)曲曲線線yxL)5(曲曲線線弧弧的的重重心心坐坐標(biāo)標(biāo))4(., LLLLdsdsyydsdsxx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxy a LxdsMx1 adttaacos21. 2 , 的均勻圓弧的重心的

13、均勻圓弧的重心中心角為中心角為求半徑為求半徑為 a，故故令令線線密密度度由由于于該該曲曲線線為為均均勻勻圓圓弧弧1 , LdsM.2 aadt 解解.sin a 例例7),( sin ,cos ttaytax知知曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：系系，將將此此圓圓弧弧如如圖圖放放入入坐坐標(biāo)標(biāo)adtdttatads 22)sin()cos(.sin0:處處且且與與圓圓心心距距離離軸軸上上，故故重重心心在在扇扇形形的的對(duì)對(duì)稱稱由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知 ay 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立

14、坐標(biāo)系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf)

15、,(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)szyxfd),(),(為常數(shù)szyxgd),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22x

16、x d)(12d)()(22rr)(),(ttf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題1.