大一高數(shù)上.PPT

1、1 微積分學(xué)，無窮級數(shù)論和作為理論基礎(chǔ)的微積分學(xué)，無窮級數(shù)論和作為理論基礎(chǔ)的極限理論極限理論我們這門課程叫高等數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容我們這門課程叫高等數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容包括一元和多元包括一元和多元，以及作為一元微積分學(xué)的簡，以及作為一元微積分學(xué)的簡單應(yīng)用單應(yīng)用常微分方程。由于構(gòu)成它的主體是常微分方程。由于構(gòu)成它的主體是一元函數(shù)微積分學(xué)，所以有時又稱為微積分。一元函數(shù)微積分學(xué)，所以有時又稱為微積分。 17世紀(jì)（世紀(jì)（1763年）年）Descartes建立了解析幾建立了解析幾何，同時把變量引入數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生何，同時把變量引入數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，使數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)了巨大的影響，使

2、數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展到研究變量的高等數(shù)學(xué)。微積分是進(jìn)一步發(fā)展到研究變量的高等數(shù)學(xué)。微積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分，是研究變量高等數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分，是研究變量間的依賴關(guān)系間的依賴關(guān)系函數(shù)的一門學(xué)科，是學(xué)習(xí)其函數(shù)的一門學(xué)科，是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)。它自然科學(xué)的基礎(chǔ)。2 高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù)，主要研高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和究函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這個方那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢

3、？這個方法就是極限方法，也稱為無窮小分析法。從方法就是極限方法，也稱為無窮小分析法。從方法論的觀點來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)法論的觀點來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個顯著標(biāo)志。學(xué)的一個顯著標(biāo)志。 由于高等數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法與初由于高等數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出以下顯著特點：以下顯著特點：概念更復(fù)雜概念更復(fù)雜理論性更強(qiáng)理論性更強(qiáng)表達(dá)形式更加抽象表達(dá)形式更加抽象 推理更加嚴(yán)謹(jǐn)推理更加嚴(yán)謹(jǐn)3 因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的深入鉆

4、研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理解基本概念和理論的內(nèi)涵表達(dá)形式，深刻理解基本概念和理論的內(nèi)涵與實質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)與實質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也要會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也要培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理的能力。培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理的能力。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能方法。

5、但我們不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)。認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)。4 高等數(shù)學(xué)中幾乎所有的概念都離不開極限，高等數(shù)學(xué)中幾乎所有的概念都離不開極限，因此極限概念是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限理因此極限概念是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，極限是高等數(shù)學(xué)的論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，極限是高等數(shù)學(xué)的精華所在，是高等數(shù)學(xué)的靈魂。因此很好地理精華所在，是高等數(shù)學(xué)的靈魂。因此很好地理解極限概念是學(xué)習(xí)好微積分的關(guān)鍵，同時也是解極限概念是學(xué)習(xí)好微積分的關(guān)鍵，同時也是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個重要階梯。從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個重要階梯。5參參 考考 書書 目

6、目工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)馬知恩馬知恩 等編等編 （高教出版社）（高教出版社）高等數(shù)學(xué)釋疑解難高等數(shù)學(xué)釋疑解難工科數(shù)學(xué)課委會編（高教出版社）工科數(shù)學(xué)課委會編（高教出版社）高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)盛祥耀盛祥耀 等編（清華大學(xué)出版社）等編（清華大學(xué)出版社）高等數(shù)學(xué)解題方法及同步訓(xùn)練高等數(shù)學(xué)解題方法及同步訓(xùn)練同濟(jì)大學(xué)編（同濟(jì)大學(xué)出版社）同濟(jì)大學(xué)編（同濟(jì)大學(xué)出版社）6 第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限71.1 函函 數(shù)數(shù)1.集合集合集合集合(簡稱集簡稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。集合用物的總體。集合用A，B，M等表示。等表示。元素元素: 組成集合

7、的事物稱為集合的元素。組成集合的事物稱為集合的元素。a 是集是集合合M的元素表示為的元素表示為a M。集合的表示集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y為實數(shù)，為實數(shù)，x2+ +y2 =1。一、集合及其運(yùn)算一、集合及其運(yùn)算8 幾個數(shù)集幾個數(shù)集: R表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合，稱為表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實數(shù)集實數(shù)集。 Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理集為有理集。 Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集整數(shù)集。 N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為稱為自

8、然數(shù)集自然數(shù)集。 子集子集: 若若x A，則必有則必有x B，則稱則稱A是是B 的的子集子集, 記記為為A B（讀作讀作A包含于包含于B）。）。 顯然，顯然，N Z ，Z Q ，Q R 。92. 區(qū)間區(qū)間: 數(shù)集數(shù)集x|a x b稱為開區(qū)間，記為稱為開區(qū)間，記為(a, b)，即即 (a, b)= =x|a x b。xOab(a， b) a, b= =x|a x b稱為閉區(qū)間。稱為閉區(qū)間。xOaba， b10 a, b)= =x|a x b及及 (a, b= =x|a x b稱為稱為 半開區(qū)間。半開區(qū)間。xOaba， b)xOab(a， b 上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中a

9、 和和 b 稱為稱為 區(qū)間的端點，區(qū)間的端點，b- -a 稱為區(qū)間的長度。稱為區(qū)間的長度。11以下區(qū)間稱為無限區(qū)間：以下區(qū)間稱為無限區(qū)間：a, + + ) = = x|a x，xOaa，+ )(- - , b = = x|x b，xOb(- - ， b(a, + + ) = = x|ax，axO(a，+ )(- - , b) = = x|x0，則稱區(qū)間，則稱區(qū)間(a- - , a+ + )為點為點a 的的 鄰域，記作鄰域，記作U(a, )，即即 U(a, ) = =x|a- - xa+ + = =x| |x- -a| 。其中點其中點 a 稱為鄰域的中心稱為鄰域的中心, 稱為鄰域的半徑。稱為鄰域

10、的半徑。去心鄰域去心鄰域: (a, ) = =x |0| x- -a | 。UxOa-a+ axOa+ a-13 還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取 不同的數(shù)值，這種量叫做變量。不同的數(shù)值，這種量叫做變量。1. 常量與變量常量與變量 在觀察自然現(xiàn)象或技術(shù)過程時，常會遇到各種不在觀察自然現(xiàn)象或技術(shù)過程時，常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化始終只取同同的量，其中有的量在過程中不起變化始終只取同一數(shù)值，這種量叫做常量。一數(shù)值，這種量叫做常量。二、函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念142. 舉例舉例 圓的面積的計算公式為圓的面積的計算公式為A=p

11、pr2，半徑半徑r可取可取(0, + )內(nèi)的任意值。內(nèi)的任意值。 由落體下落距離的計算公式為由落體下落距離的計算公式為s= -= - gt2，t可取可取0, T內(nèi)的任意值內(nèi)的任意值。12 圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n邊形的周長的計算公式為邊形的周長的計算公式為 Sn= =2nr sin - - ， n可取可取3，4，5， 。p pn153. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 設(shè)設(shè) D 是一個給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)是一個給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)x D，變量變量 y 按照一定法則總有確定的數(shù)值和按照一定法則總有確定的數(shù)值和x對應(yīng)，則稱對應(yīng)，則稱 y 是是 x 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作y= =f(x)。 定義中，數(shù)

12、集定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，叫做這個函數(shù)的定義域， x叫做自變量，叫做自變量，y叫做因變量。叫做因變量。 函數(shù)符號函數(shù)符號: 函數(shù)函數(shù)y= =f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f 也可改也可改用其它字母，用其它字母，例如例如j j 、F 等等。此時函數(shù)就記作。此時函數(shù)就記作y= =j j( (x)，y=F(x)。16 值域：值域：Rf=y | y=f(x),x D。定義域：定義域： 在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)。這時約定函而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意

13、義數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。的一切實數(shù)值。函數(shù)值：函數(shù)值： 任取任取 x D，與，與 x對應(yīng)的對應(yīng)的 y的數(shù)值稱為函數(shù)的數(shù)值稱為函數(shù) y= =f(x)在點在點 x處的函數(shù)值，記為處的函數(shù)值，記為 f(x)。17求函數(shù)的定義域舉例：求函數(shù)的定義域舉例： 解解: 要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義, 必須必須x 0, 且且x2- -4 0。解不等式得解不等式得|x| 2。 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 D= =x| |x| 2, 或或D= =(- - , -2 2, + + )。 求函數(shù) y =412-xx的定義域。 184. 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形 在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系xOy內(nèi)，

14、集合內(nèi)，集合 C= =(x, y) | y= =f(x)，x D所對應(yīng)的圖形稱為函數(shù)所對應(yīng)的圖形稱為函數(shù)y= =f(x)的圖形。的圖形。O yxC(x, y)xyRfDy=f(x)19 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值只有一個，這種函數(shù)叫做單值對應(yīng)的函數(shù)值只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。 以后凡是沒有特別說明時，函數(shù)都是指單以后凡是沒有特別說明時，函數(shù)都是指單值函數(shù)。值函數(shù)。5. 函數(shù)舉例函數(shù)舉例 例例1. 在直角坐標(biāo)系中，由方程在直角坐標(biāo)系中，由方程x2+ +y2= =r2確確定了一個函數(shù)。定了一個

15、函數(shù)。 對于任意對于任意x (- -r, r)，對應(yīng)的函數(shù)值有兩個：對應(yīng)的函數(shù)值有兩個： 22xry- - -= =及及y =22xr - -。20 例例2. 函數(shù)函數(shù) y= =2。 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為D = = (- - , + + )。 函數(shù)的值域為函數(shù)的值域為Rf = =2。 函數(shù)的圖形為一條平行于函數(shù)的圖形為一條平行于x 軸的直線。軸的直線。yOxy= =2221 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為D= =(- - , + )。 函數(shù)的值域為函數(shù)的值域為Rf = =0, + )。yxOy= =|x| x, x 0 - -x, x0 0, 當(dāng)當(dāng)x= =0- -1, 當(dāng)當(dāng)x0 例例4.

16、 函數(shù)函數(shù) y = = sgn x = = 稱為符號函數(shù)。稱為符號函數(shù)。 23例例5.5.函數(shù)函數(shù)y=x稱為取整函數(shù)稱為取整函數(shù), ,任給任給x, , x取值取值為不超過為不超過x的最大整數(shù)的最大整數(shù), 即即x -11 時，y=1+x。 2212)21(=f；2212)21(=f；2 1 2) 1 (=f； ；當(dāng) x1 時，y=1+x。 25三、函數(shù)的幾種簡單特性三、函數(shù)的幾種簡單特性圖形特點圖形特點： y= =f(x)的圖形在的圖形在直線直線y= =K1的下方。的下方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集在數(shù)集X上有定義。如果存在數(shù)上有定義。如

17、果存在數(shù)K1，使對任一使對任一x X，有有f(x) K1，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在X上上有上界有上界，而稱，而稱K1為函數(shù)為函數(shù) f(x)在在X上的一個上的一個上界。上界。26 如果存在數(shù)如果存在數(shù)K2，使對任一使對任一x X，有有f(x) K2，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在X上上有下界有下界，而稱，而稱K2為函數(shù)為函數(shù)f(x)在在X上的一個下界。上的一個下界。 圖形特點圖形特點：函數(shù)：函數(shù) y= =f(x) 的圖形在直線的圖形在直線 y= =K2 的上方。的上方。y=K2y=f(x)Oxy27有界函數(shù)的圖形特點有界函數(shù)的圖形特點： 函數(shù)函數(shù)y = = f(x)的圖形在直線的圖形在直線y

18、= = - - M和和y = = M的之間。的之間。 如果存在數(shù)如果存在數(shù) M,使對任一使對任一 x X，有有 | f(x) | M， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在X上有界；如果這樣的上有界；如果這樣的M不存在，不存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在X上是無界函數(shù)，就是說對任何上是無界函數(shù)，就是說對任何M，總存在總存在 x1 X，使使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= - -My= M28函數(shù)的有界性舉例：函數(shù)的有界性舉例： f(x) = = sin x在在(- - , + )上是有界的：上是有界的： 即即| sin x | 1。-11yxO-2p -pp -pp 2pp 2py=sin x

19、29Oxy1 2y=1/x 函數(shù)函數(shù)f(x)= =1/x在開區(qū)間在開區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的。內(nèi)是無界的。無界函數(shù)舉例：無界函數(shù)舉例： 函數(shù)函數(shù)f(x) = =1/x在在(0, 1)內(nèi)內(nèi)有下界，無上界。有下界，無上界。 這是因為，任取這是因為，任取M1，總有總有0 x1M -1-11M，所以函數(shù)無上界。所以函數(shù)無上界。 但此函數(shù)在但此函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是內(nèi)是 有界的。有界的。302. 函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y= = f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義。如果對上有定義。如果對于區(qū)間于區(qū)間 I 上任意兩點上任意兩點x1及及x2, 當(dāng)當(dāng)

20、x1 x2時，恒有時，恒有f(x1) f(x2)，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。上是單調(diào)增加的。31 如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間I上任意兩點上任意兩點x1及及x2，當(dāng)當(dāng) x1 f(x2)， 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。32 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域的定義域D關(guān)于原點對稱。如關(guān)于原點對稱。如果對于任意的果對于任意的x D，有有f(- -x)= = f(x)，則稱則稱f(x)為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性O(shè)xy-xxf(-x)= =f(x)y= =f(x)偶函數(shù)舉例：偶函數(shù)舉例： y= =x2， y=

21、 =cos x都是偶函數(shù)都是偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。軸對稱。33奇函數(shù)舉例：奇函數(shù)舉例： y= =x3， y= =sin x都是奇函數(shù)。都是奇函數(shù)。101x -22y 如果對于任意的如果對于任意的x D，有有 f(- -x)=-=-f(x)，則則稱稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。34 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為D。如果存在一個不為零如果存在一個不為零的數(shù)的數(shù) l ，使得對于任一使得對于任一x D有有(x l) D，且且 f(x+l) = = f(x)，則稱則稱f(x)為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，l 稱為稱為f

22、(x)的周期。的周期。 周期函數(shù)的圖形特點：周期函數(shù)的圖形特點： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性35四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 對于任一數(shù)值對于任一數(shù)值 y W，D上可以確定唯一數(shù)值上可以確定唯一數(shù)值 x 與與 y 對應(yīng)，這個數(shù)值對應(yīng)，這個數(shù)值 x 適合關(guān)系適合關(guān)系 f(x)= =y。 如果把如果把 y看作自變量，看作自變量，x 看作因變量，按看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)新函數(shù)稱為函數(shù)y= =f(x)的反函數(shù)，記作的反函數(shù)，記作 x=f -1(y)。1. 反函數(shù)反函數(shù) 設(shè)函數(shù)

23、設(shè)函數(shù)y= =f(x)的定義域為的定義域為D，值域為值域為W。36Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù). 什么樣的函數(shù)存在反函數(shù)？什么樣的函數(shù)存在反函數(shù)？37 在數(shù)學(xué)中，習(xí)慣上自變量用在數(shù)學(xué)中，習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用表示，因變量用y 表表示。按此習(xí)慣，我們把函數(shù)示。按此習(xí)慣，我們把函數(shù) y= =f(x)的反函數(shù)的反函數(shù)x=f -1 (y)改寫成改寫成y= = f -1 (x)。反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的圖形： 反函數(shù)的圖形與反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關(guān)直接函數(shù)的圖形關(guān)于直線于直線y = x對稱。對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j j(x

24、)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于反函數(shù)的變量符號：關(guān)于反函數(shù)的變量符號：38例例 函數(shù)函數(shù) y= 表示表示 y是是 x的函數(shù)，它的定義域為的函數(shù)，它的定義域為 -1-1，1121 x-2復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 對于任一對于任一 x -1-1，11，先先計算計算 u=1- -x2，然后再計然后再計算算 y= ，這就是說函數(shù)這就是說函數(shù) y= 的對應(yīng)法則是由函的對應(yīng)法則是由函數(shù)數(shù)u=1- -x2和和y= 所決定的，我們稱函數(shù)所決定的，我們稱函數(shù) y= 是是由函數(shù)由函數(shù)u=1- -x2和和y= 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，變量復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，變量 u稱稱為中間變量為中間變量uu21 x-u21 x-21 x-設(shè)

25、設(shè) u=1-x2，則函數(shù)則函數(shù) y= 的值可以按如的值可以按如下方法計算：下方法計算：39D1D2u=j j(x)y =f(u)y =f j j(x)復(fù)合函數(shù)的定義：復(fù)合函數(shù)的定義： 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y =f(u)的定義域為的定義域為D1，函數(shù)函數(shù)u=j j(x)在數(shù)集在數(shù)集D2上有定義，如果上有定義，如果 u | u= j j(x)， x D2 D1則對于任一則對于任一 x D2，通過變量通過變量u能確定一個變量能確定一個變量y的值，的值，這樣就得到了一個以這樣就得到了一個以x為自變量、為自變量、y為因變量的函數(shù)，為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù)這個函數(shù)稱為由函數(shù) y =f(u

26、)和和u=j j(x)復(fù)合而成的復(fù)合復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為函數(shù)，記為y =f j j(x) ，其中定義域為其中定義域為D2，u稱為中間稱為中間變量變量40復(fù)合而成的其中復(fù)合而成的其中u， v 都是中間變量都是中間變量函數(shù)函數(shù)y= 可看作是由可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1+u函數(shù)函數(shù)y= ，u=cot v，v= 經(jīng)復(fù)合可得函數(shù)經(jīng)復(fù)合可得函數(shù)u2x問：函數(shù)問：函數(shù)y=arcsin u與與u=2+x2能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)嗎？能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)嗎？2cotxy = 例例 函數(shù)函數(shù)y=arctan x2可看作是由可看作是由y=arctan u和和u=x2復(fù)合而成的復(fù)合而成的41五、初等函數(shù)

27、五、初等函數(shù)1. 冪函數(shù)冪函數(shù) 函數(shù)函數(shù) y=xm m （m m 是常數(shù)）叫做是常數(shù)）叫做冪函數(shù)冪函數(shù) 冪函數(shù)的定義域：與常數(shù)冪函數(shù)的定義域：與常數(shù)m m 有關(guān)，但函數(shù)在有關(guān)，但函數(shù)在（0 0，+ + ）內(nèi)總有定義）內(nèi)總有定義 最常見的冪函數(shù)：最常見的冪函數(shù)：xyO11y = x 2y = xy =xxyO11y=x- -1y=x3421a1y=axxyO常用的指數(shù)函數(shù)為常用的指數(shù)函數(shù)為 y=ex.2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 函數(shù)函數(shù) y=ax (a是常數(shù)，且是常數(shù)，且a0，a 1)叫做指數(shù)函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域：指數(shù)函數(shù)的定義域：D=（- - ，+ ） 單調(diào)性：單調(diào)性： 若若a1，則指數(shù)函

28、數(shù)單調(diào)增加；則指數(shù)函數(shù)單調(diào)增加； 若若0a1y=axxyOy=logax3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為y=logax(a0，a 1) 對數(shù)函數(shù)的對數(shù)函數(shù)的定義域是區(qū)間定義域是區(qū)間(0，+ ) 自然對數(shù)函數(shù)：自然對數(shù)函數(shù)：y=ln x=loge x.44常用的三角函數(shù)有：常用的三角函數(shù)有：正弦函數(shù)：正弦函數(shù)： y=sin x1-1y=cos x余弦函數(shù)：余弦函數(shù)： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函數(shù)三角函數(shù)45正切函數(shù)：正切函數(shù)： y=tan x 余切函數(shù)：余切函數(shù)： y=cot xxyO- -p pp p

29、p p 2 2 p p 2 2xyO- -p pp p p p 2 2 p p 2 2y=tan xy=cot x46反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù).反正弦函數(shù)：反正弦函數(shù)： y=arcsin x， 定義域為定義域為-1，1.反余弦函數(shù)：反余弦函數(shù)：y=arccos x 定義域為定義域為-1，1-11yxO p p 2 2p p2 2y=arcsin xyxOp p-11y=arccos x5反三角函數(shù)反三角函數(shù)47反正切函數(shù)：反正切函數(shù)： y=arctan x,定義域為定義域為(- ， ).Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x p p 2 2p p

30、2 2 其值域規(guī)定為其值域規(guī)定為( ， )48其值域規(guī)定為其值域規(guī)定為(0，p)p)反余切函數(shù)：反余切函數(shù)： y=Arccot x，定義域為定義域為(- ， + ).y=arccot xOxyp p496基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三函數(shù)和反三角冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個式子表有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)初等函數(shù)2s

31、inyx=都是初等函數(shù)都是初等函數(shù)例如例如21xy-=，2cotxy =，50一、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限三、用定義證明極限舉例三、用定義證明極限舉例四、收斂數(shù)列的性質(zhì)四、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列、 數(shù)列舉例、數(shù)列的幾何意義極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的幾何意義極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系1.2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限51一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念 如可用漸近的方法求圓的面積？如可用漸近的方法求圓的面積？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積：用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積： 1. 數(shù)列數(shù)列 一個實際問題一個實際問題正六邊形的

32、面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126- - nnA,321nAAAASR,n nA該方法稱為該方法稱為割圓術(shù)割圓術(shù)52數(shù)列：數(shù)列： 如果按照某一法則，使得對任何一個正整數(shù)如果按照某一法則，使得對任何一個正整數(shù)n對應(yīng)對應(yīng)著一個確定的實數(shù)著一個確定的實數(shù)xn ，則得到一列有次序的數(shù)則得到一列有次序的數(shù) x1，x2，x3， ，xn ，這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列，記為這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列，記為xn，其中第其中第n 項項xn 叫做數(shù)列的叫做數(shù)列的一般項一般項21，32，43， ，1+nn，；數(shù)列舉例：數(shù)列舉例：53數(shù)列舉例：數(shù)列舉例： 2，4，8，

33、 ，2n ， ； 一般項為一般項為2n一般項為一般項為 1 2n 1，- -1，1， ，(- -1)n+ +1， ； 一般項為一般項為(- -1)n+1一般項為一般項為21，41，81， ，n21， ；2，21，34， ，nnn 1(-1)-+， nnn 1(-1)-+54數(shù)列的幾何意義：數(shù)列的幾何意義： 數(shù)列數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)可以看作自變量為正整數(shù) n 的函數(shù)：的函數(shù)： xn=f (n)，它的定義域是全體正整數(shù)它的定義域是全體正整數(shù)x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列與函數(shù)：x1=f(1)， x2=f(2)， x3=f(3)， x4=f(4)，xn=f(n)

34、數(shù)列數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)可以看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點軸上的點 x1，x2，x3， ，xn ，55 例如例如nlimxn= =a而數(shù)列而數(shù)列2n， (-1)n+1，是發(fā)散的是發(fā)散的, 11=+nnnlim, 021=nnlim=1nnn 1(-1)-+nlim1,2n1( 1)nnn-+ -記為記為2. 數(shù)列的極限的通俗定義：數(shù)列的極限的通俗定義： 對于數(shù)列對于數(shù)列xn，如果當(dāng)如果當(dāng)n 無限增大時，數(shù)列的一般無限增大時，數(shù)列的一般項項xn無限地接近于某一確定的數(shù)值無限地接近于某一確定的數(shù)值a ，則稱常數(shù)則稱常數(shù)a 是數(shù)是數(shù)列列xn的極限，或稱數(shù)列的極限，或

35、稱數(shù)列xn收斂于收斂于a 如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的所以數(shù)列所以數(shù)列,1nn+是收斂的是收斂的56問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn- - -+ += =對極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的對極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的憑觀察能判定數(shù)列憑觀察能判定數(shù)列 + += =nnnx)11(的極限是多少嗎的極限是多少嗎顯然不能顯然不能.問題問題: “無限接近無限接近”

36、意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它言刻劃它.57 “當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時，xn無限接近于無限接近于a” 等價于：當(dāng)?shù)葍r于：當(dāng)n無限增大時，無限增大時，|xn- -a |無限接近于無限接近于0；或者說，要；或者說，要|xn- -a |有多小，只要有多小，只要n足夠大，足夠大， |xn- -a |就能有多小就能有多小 nnn 1) 1(-+比如，當(dāng)n無限增大時，xn= 無限接近于1，= =- -1nxnnn11)1(1= =- - -,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 - -nx有有,10001給給定定,1000時時只只要要 n,

37、100011 - -nx有有58,100001給給定定,10000時時只只要要 n,1000011 - -nx有有, 0 給給定定1 ,nN=只要時.1成成立立有有 N 時的一切時的一切xn, 不等式不等式|xn- -a |N時的一切時的一切xn，不等式不等式 |xn- -a |N 時，所有的點時，所有的點 xn 都落在區(qū)間都落在區(qū)間( (a- , , a+ ) )內(nèi)，而只有內(nèi)，而只有 有限有限( (至多只有至多只有N個個) )個在區(qū)間個在區(qū)間( (a- , , a+ ) )以外以外. xOaa- a+ ()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 261對于

38、任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) 0， 例 1 證明數(shù)列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-+，的極限是 1.1) 1() 1(1) 1(| 1|111nnnnnnnxnnnn= =- -= =- - -+ += =- - -+ += =- - - - -要使要使,1| 1| 0， 存在存在N=1/ ， 使當(dāng)使當(dāng)nN時，有時，有 所以所以= = 1|1|= =- -nxn. 1) 1(lim1= =- -+ +- -nnnn 例 1 證明數(shù)列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-+，的極限是 111/0，要使，要使只需只需故取故取 分析：分析： 例2 已知xn=21)(n) 1(+-

39、n，證明數(shù)列xn的極限是022) 1(10) 1() 1(|0|+=-+-=-nnxnn,) 1(1|0|20(任意小任意小), 存在存在使當(dāng)使當(dāng)nN時時， 有有,11-=N = =) 1(12+ += =n0) 1() 1(|0|2- -+ +- -= =- -nxnn. 0) 1() 1(lim2=+-nnn 例2 已知xn=21)(n) 1(+-n，證明數(shù)列xn的極限是02111 1- +65注注定義習(xí)慣上稱為數(shù)列極限的定義習(xí)慣上稱為數(shù)列極限的N定義，它用兩個定義，它用兩個動態(tài)指標(biāo)動態(tài)指標(biāo)和和N刻畫了極限的實質(zhì)，用刻畫了極限的實質(zhì)，用|xna|定量地刻畫了定量地刻畫了xn 與與a 之間的

40、距離任意小，即任給之間的距離任意小，即任給0標(biāo)志著標(biāo)志著“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。這個定義有三個要素：大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)正數(shù)，20，正數(shù)正數(shù)N，30，不等式，不等式|xna|（n N）.定義中的定義中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相對固定性。的相對固定性。66 定義中的定義中的N是一個特定的項數(shù)，與給定的是一個特定的項數(shù)，與給定的有關(guān)。有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在重要的是它的存在性，它是在相對固定后才能確定相對固定后才能確定的，且由的，且由|xna|來選定，一般說來，來選定，一般說來，越小，越小，N越越

41、大，但須注意，對于一個固定的大，但須注意，對于一個固定的，合乎定義要求的，合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗證不是唯一的。用定義驗證xn 以以a 為極限時，關(guān)鍵在為極限時，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的于設(shè)法由給定的，求出一個相應(yīng)的，求出一個相應(yīng)的N，使當(dāng)，使當(dāng)n N時，不等式時，不等式|xna|成立。成立。在證明極限時在證明極限時，n，N之間的邏輯關(guān)系如下圖所示之間的邏輯關(guān)系如下圖所示|xna| n N67定義中的不等式定義中的不等式|xna| （n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式 - -+ +|1axN - -+ +|2axN - -+ +|3axN都成立，都成立，而對而對 - -|1

42、ax 0，分析：分析：要使要使,|0|1=-nnqx,|lnln1qn+只需故取. |lnln1+=qN11|0|0|-=-=-nnnqqx 例例 3 設(shè)設(shè)|q |N時，有時，有 證證明明：因為對于任意給定的0， 存在, |lnln1+=qN所以所以. 1lim1=-nnq 例例 3 設(shè)設(shè)|q |1，證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列 1，q ，q2， ，qn-1，的極限是的極限是01|0| | |nnxq-=ln11ln| |qq+-| |log|qq=lnln| |qq=70矛盾矛盾!二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.1.定理定理1(1(極限的唯一性極限的唯一性) ) 如果數(shù)列如果數(shù)列xn收斂

43、，則其收斂，則其只有一個極限只有一個極限. 證證用反證法用反證法.,lim,limbxaxnnnn= = = 又又設(shè)設(shè)a b不妨設(shè)不妨設(shè)a b.02 - -= =ab 取取,lim,limbxaxnnnn= = = 及及由由使使得得.,21NN 12nbanNxa-當(dāng)時恒有2nabx+22nbanNxb-當(dāng)時恒有2nabx+ ,max21NNN = =取取同時有同時有時時則當(dāng)則當(dāng),Nn 2nabx+N時的時的一切一切xn， 不等式不等式 | xn- a |N時，時， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |0(或或 a0, 當(dāng)當(dāng)nN時時, 都有都有xn

44、0 推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列xn收斂于收斂于a ，且從某項起有且從某項起有xn0(或或xn0), 則則a 0(或或a 0).74 2如果數(shù)列如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列收斂，那么數(shù)列xn一定有一定有界發(fā)散的數(shù)列是否一定無界界發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂有界的數(shù)列是否收斂? 1對某一正0， 如果存在正整數(shù)N， 使當(dāng)nN時，有|xn- a| 0 是否有 ?axnn=lim討論：討論：751.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限極限的通俗定義、極限的通俗定義、極限的幾何

45、意義、極限的幾何意義、 極限的局部保號性、極限的局部保號性、極限的精確定義、極限的精確定義、左右極限左右極限極限的通俗定義、極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的精確定義、極限的幾何意義、極限的幾何意義、 水平漸近線水平漸近線一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)76 關(guān)于函數(shù)的極限，根據(jù)自變量的變化過程，我們關(guān)于函數(shù)的極限，根據(jù)自變量的變化過程，我們主要研究以下兩種情況：主要研究以下兩種情況：一、當(dāng)自變量一、當(dāng)自變量x的絕對值無限增大時，的絕對值無限增大時，f(x)的變化趨勢，的變化趨勢，的極限的極限時時即即)(,xfx 二、當(dāng)自變量二、當(dāng)自變量x無限地接近

46、于無限地接近于x0時，時，f(x)的變化趨勢的變化趨勢的極限的極限時時即即)(,0 xfxx 一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念77函數(shù)極限的通俗定義：函數(shù)極限的通俗定義： 在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值函數(shù)值 f(x)無限接近于某一確定的常數(shù)無限接近于某一確定的常數(shù)A，那么那么這個確定的常數(shù)這個確定的常數(shù)A就叫做在這一變化過程中函數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)f(x)的極限的極限78先看一個例子先看一個例子的變化趨勢的變化趨勢函數(shù)函數(shù)時時考察考察1)1(2)(,12- - -= =xxxfx 這個函數(shù)雖在這個函數(shù)雖在x=1處處無定義，但從它的圖

47、無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點從形上可見，當(dāng)點從1的的左側(cè)或右側(cè)無限地接左側(cè)或右側(cè)無限地接近于近于1時，時， f(x)的值無的值無限地接近于限地接近于4，我們稱，我們稱常數(shù)常數(shù)4為為f(x)當(dāng)當(dāng)x1 時時f(x)的極限。的極限。1xyo41.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限79;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf- - - -.000的過程的過程表示表示xxxx - - x0 x - -0 x + +0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 800limxxf (x)= =A或或f (x) A(當(dāng)當(dāng)x x0) f (x)= =A

48、0,0, 0 0, 當(dāng)當(dāng)0|x- -x0| 時，時，有有 |f (x)- -A| 0limxx1) 函數(shù)極限的精確定義：函數(shù)極限的精確定義： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果如果對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對于適合不等式使得對于適合不等式0|x- -x0| 的一切的一切 x ，對應(yīng)的函對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)值f (x)都滿足不等式都滿足不等式|f (x)- -A| ，那么常數(shù)那么常數(shù)A就叫做函數(shù)就叫做函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng)x x0時的極限，記為時的極限，記為 81注注定義習(xí)慣上稱為極

49、限的定義習(xí)慣上稱為極限的定義定義, 其三個要素：其三個要素：10。正數(shù)。正數(shù)，20。正數(shù)。正數(shù)， 30。不等式。不等式)|0(|)(|0 - - - -xxAxf定義中定義中 - - |00 xx0.xx表示 所以所以x x0時時，f(x) 有無極限與有無極限與 f(x)在在x0處的處的狀態(tài)并無關(guān)系，這是因為我們所關(guān)心的是狀態(tài)并無關(guān)系，這是因為我們所關(guān)心的是f(x) 在在x0附近的變化趨勢，即附近的變化趨勢，即 x x0時時f(x) 變化有無終極變化有無終極目標(biāo)，而不是目標(biāo)，而不是f(x) 在在x0這一孤立點的情況這一孤立點的情況 。約定。約定x x0但但 xx0.820反映了反映了x充分靠近

50、充分靠近x0的程度，它依賴于的程度，它依賴于，對一固定的對一固定的而言，合乎定義要求的而言，合乎定義要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 來選定，來選定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小.2) 幾何解釋幾何解釋:.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直函函數(shù)數(shù)域域時時鄰鄰的的去去心心在在當(dāng)當(dāng) = = = Ayxfyxx0 xA-A+A-0 x+0 x)(xfy =xyo,.顯然 找到一個 后越小越好83因此對于任意因此對于任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，當(dāng)當(dāng)0|x- -x0| 時，時，|f (x)- -A

51、|=|c- -c|=0 成立，成立，舉例：舉例：證明證明: 這里這里|f(x)- -A|=|c- -c|=0，.lim0ccxx= 例 1 證明0limxxc=c都有都有所以所以任意取一正數(shù)任意取一正數(shù) ，84成立成立|f (x)- - A|=|x- - x0| 當(dāng)當(dāng) 0|x- - x0| = 時時, ,的正的正數(shù)數(shù) , ,總可取總可取 = , ,因此對于任意給定因此對于任意給定能使不等式能使不等式所以所以.lim00 xxxx= 證明：這里證明：這里|f(x)- - A|=|x- - x0|， 例 2 證明0limxxx=x085|f(x)- -1|=|(2x- -1)- -1|=2|x-

52、-1| ，當(dāng)當(dāng)0|x- -1| 時，有時，有只要只要 |x- -1| ，2所以所以 00， = 0 = 0， 2因此因此. 1) 12(lim1=-xx 證明：證明： |f(x)- -A|=|(2x- -1)- -1|=2|x- -1|， 例 3 證明1limx(2x-1)=1為了使為了使 |f(x)-A| ，.2即即可可取取 =86所以所以 0 0 ， = = 0 0 ，從而從而只需只需 |x- -1| | ，|f(x)- - 2|=|x- -1| ，使當(dāng)使當(dāng)0|x- -1| ，有有112-xx |f (x)- - 2|= | - -2|要使要使|f (x)- -2| ，. 211lim21

53、=-xxx證明：證明：注意函數(shù)在注意函數(shù)在x=1是沒有定義的是沒有定義的 但這與函但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系 例 4 證明211lim21=-xxx=|x+1-2|=|x-1|，即取即取 = 87例例5 設(shè)設(shè)x00, 證明證明00lim.xxxx=證證000|xxxxxx+ +- -= =- -00|xxx - - 000|,|xxxxx - - - -只只須須為為使使0, ,min00 xx= =取取00 |xx-當(dāng)時,恒有恒有 - - - -000|xxxxx00lim.xxxx=所以所以88左右極限：左右極限： x x0- -表示表示x僅從僅從x0的左側(cè)

54、趨于的左側(cè)趨于x0 ，而而x x0+ +表示表示x僅從僅從x0的右側(cè)趨于的右側(cè)趨于x0 若當(dāng)若當(dāng)x x0- -時，時，f(x)無限接近于某常數(shù)無限接近于某常數(shù)A，則常則常數(shù)數(shù)A叫做函數(shù)叫做函數(shù) f(x)當(dāng)當(dāng)x x0時的左極限，記為時的左極限，記為 若當(dāng)若當(dāng)x x0+ +時，時，f(x)無限接近于某常數(shù)無限接近于某常數(shù)A，則常數(shù)則常數(shù)A叫做函數(shù)叫做函數(shù) f(x)當(dāng)當(dāng)x x0時的右極限，記為時的右極限，記為00lim( )().xxf xAf xA-=記作或00lim( )().xxf xAf xA+=記作或000lim( ):()().xxf xAf xf xA-+=結(jié)論89討論：討論：左極限的

55、左極限的 - 定義：定義： 若若 00， 0 0， 當(dāng)當(dāng) x0- - xx0 時時, , 有有|f (x)- -A| , 則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為函數(shù)為函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng)xx0時的左極限時的左極限 左右極限的左右極限的 - 定義如何敘述定義如何敘述? ? 90yy= =x- -1- -11y= =x+ +1xO O+=X的一切的一切x，對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式都滿足不等式|f(x)- -A|0, 0, X 0, 0, 當(dāng)當(dāng) |x|X時時,有有 | f (x)- -A| . )(limAxfx=93y=f (x)O xy-XXA- A+A極限極限xlimf (x)=A 的幾何

56、意義：的幾何意義：941x解不等式得解不等式得 ，所以所以 01lim=xx 證明：證明：. 01-x故取故取X= 1X時，時，要證存在正數(shù)要證存在正數(shù)X， 分析：設(shè)分析：設(shè) 是任意給定的正數(shù)是任意給定的正數(shù)因為對因為對 00， X= ，1使當(dāng)使當(dāng)|x|X時，有時，有 例 7 證明xlimx1=095水平漸近線：水平漸近線：直線直線y=0是函數(shù)是函數(shù)y = 的的圖形的水平漸近線圖形的水平漸近線x1已知已知 01lim=xxxyO11xy1=96如果如果 ，cxfx=)(limOxy p p 2 2p p2 2y=arctan x 例如，函數(shù)例如，函數(shù)y=arctanx的圖形的水平漸近線有兩條：

57、的圖形的水平漸近線有兩條：則直線則直線y=c是是函數(shù)函數(shù)y=f (x)的圖的圖形的水平漸近線形的水平漸近線一般地，一般地，2p=y2p-=y和和97二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性定理定理 如果如果, ,那么存在正數(shù)那么存在正數(shù) ,M，使得，使得當(dāng)當(dāng) - - 00 xx時，有時，有Mxf | )(|. . 0lim( )xxf xA=定理定理 若若存在存在, ,則極限唯一則極限唯一. . 0lim( )xxf xA=98).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim0-=xfxfxxAAAxfxx或時當(dāng)則或且若3(3(局部保號性局部保號性) ).

58、0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim00=AAxfxfxUxAxfxx或則或時當(dāng)且若推論推論0lim( )(0),0,|0|,|( ) |.2xxfxA AAxxfx=-若則當(dāng)時3991.4 1.4 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則一、無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大二、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則100一、無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大 如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng)x x0(或或x )時的極限為零，時的極限為零，那么函數(shù)那么函數(shù) f (x)叫做叫做x x0(或或x )時的無窮小時的無窮小 1. 無窮小無窮小所以函數(shù)所

59、以函數(shù)x-1-1是是當(dāng)當(dāng)x1時的無窮小時的無窮小 例如例如 因為因為 ， 0) 1(lim1=-xx, 0sinlim0= =xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim= = xx.1時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx101注意注意1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的 變化過程；變化過程；2.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).1022.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx= =設(shè)設(shè)( )

60、( ).xf xA=-令, 0)(lim0= = xxx則則有有( )( ),f xAx=+充分性充分性),()(xAxf + += =設(shè)設(shè),)(0時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx 0lim( ).xxf xA=0( )xxx是當(dāng)時的無窮小.00,0,0,( ).xxf xA -使當(dāng)時 有00,0,0,.xxx-從而使當(dāng)時 | ( )|.x即| ( )|( ),f xAx-=又| ( )|103例如例如 ，3321limxxx+因為因為 ，333212121xxx+=+而而 021lim3=xx所以所以 2121lim33=+xxx定理定理1說明說明如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，