畢業(yè)論文 各類積分之間關系

1、目 錄1.引 言22.積分的概念22.1 定積分的概念22.2 曲線積分的概念32.3 二重積分的概念42.4 曲面積分的概念42.5 三重積分的概念63.各類積分的關系63.1各類積分的共同屬性 73.2各類積分計算的一致性 73.3幾個積分公式 94.幾個積分公式之間的聯(lián)系94.1積分公式的介紹 94.2牛頓萊布尼茲公式與格林公式的關系 104.3格林公式與高斯公式的關系 104.4格林公式與斯托克斯公式的關系104.5小結114.6積分公式在積分計算中的應用11結 論13參考文獻 14致 謝15II各類積分之間關系的研究某某,某某學院摘 要:本文從積分的本質屬性和積分計算的一致性兩個方面

2、探討了重積分、曲線積分、曲面積分與定積分之間的關系,進而討論了幾個重要的積分公式,即牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式以及它們之間的聯(lián)系,最后通過舉例說明了這幾個積分公式在積分計算中的重要作用.關鍵詞: 定積分; 重積分; 曲線積分; 曲面積分; 牛頓-萊布尼茨公式;格林公式; 高斯公式; 斯托克斯公式On the relationship between various types of integralSiting Liang, School of mathematics and computer scienceAbstract: This paper discusses

3、 the relationship between the triple integral, curve integral, surface integral and definite integral from the perspective of the essence of integral and the consistency of the integral calculation. Then we discuss several important integral formulas, namely the Newton Leibniz formula, Green formula

4、, Gauss formula, Stokes formula and the relationship between them. Finally, we explain the important roles of these integral formulas in integral calculation through some examples.Key words: Definite integral; Triple integral; Curve integral; Surface integral;Newton-Leibniz formula; Green formula; G

5、auss formula; Stokes formula.1.引言微積分是數(shù)學研究中的重點課題,不定積分和定積分是兩大基本問題.其中,定積分、重積分、曲線積分和曲面積分等概念都是通過實際的問題引入,最終又用于解決實際問題.各積分在計算上也存在著一致性,所有多元函數(shù)積分的計算最終都轉化為計算定積分1,所以研究各類積分之間的關系在數(shù)學研究中顯得尤為重要.2.積分的概念2.1 定積分的概念定義 12 設閉區(qū)間上上有個點,依此為 ,它們把分成個小區(qū)間.這些分點或這些閉子區(qū)間構成對的一個分割,記為或小區(qū)間的長度為,并記,稱為分割的模.定義22 設是定義在上的一個函數(shù).對于的一個分割,任取點,并作和式 .

6、稱此和式為函數(shù)在上的一個積分和,也稱黎曼和.定義32 設是定義在上的一個函數(shù),是一個確定的實數(shù).若對任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對的任何分割,以及在其上任意選取的點集,只要,就有,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分,記作.其中,稱為被積函數(shù),稱為積分變量, 稱為積分區(qū)間,、分別稱為這個定積分的下限和上限. 2.2 曲線積分的概念2.2.1 第一型曲線積分定義43 設為平面上可求長度的曲線段,為定義在上的函數(shù).對曲線作分割,它把分成個可求長度的小曲線段,的弧長記為,分割的細度為,在上任取一點.若有極限且的值與分割與點的取法無關,則稱此極限為在上的第一型曲線積分,記作

7、. 若為空間可求長曲線段, 為定義在上的函數(shù),則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分,并且記作.2.2.2 第二型曲線積分定義 53 設函數(shù)與定義在平面有向可求長度曲線:上.對的任一分割,它把分成個小曲線段,其中.記各小曲線段的弧長為,分割的細度.又設的分點的坐標為,并記,在每個小曲線段上任取一點,若極限存在,且與分割與點的取法無關,則稱此極限為函數(shù),沿有向曲線上的第二型曲線積分,記為 或.2.3 二重積分的概念設為平面上可求面積的有界閉區(qū)域,為定義在上的函數(shù).用任意的曲線把分成個可求面積的小區(qū)域.以表示小區(qū)域的面積,這些小區(qū)域構成的一個分割,以表示小區(qū)域的直徑,稱為分割的細度.在每個上任

8、取一點,作和式.稱它為函數(shù)在上屬于分割的一個積分和.定義 63 設是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù). 是一個確定的數(shù),若對任給的正數(shù),總存在某個正數(shù),使對于的任何分割,當它的細度時,屬于的所有積分和都有,則稱在上可積,數(shù)稱為函數(shù)在上的二重積分,記作,其中稱為二重積分的被積函數(shù), ,稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.2.4 曲面積分的概念2.4.1 第一型曲面積分類似于第一型曲線積分,當質量分布在某一曲面塊(設密度函數(shù)在上連續(xù))時,曲面塊的質量為,其中為曲面塊的分割,表示小曲面塊的面積, 為中任意一點,為分割的細度,即為諸中的最大直徑.定義73 設是空間中可求面積的曲面, 為定義在上的函數(shù).對曲

9、面做分割,它把分成個小曲面塊,以記小曲面塊的面積,分割的細度,在上任取一點,若極限存在,且與分割與的取法無關,則稱此極限為在上的第一型曲面積分,記作 . 2.4.2 第二型曲面積分定義83 設,為定義在雙側曲面上的函數(shù),在所指定的一側作分割,它把分成個小曲面,分割的細度,以分別表示在三個坐標面上的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定.若的法線正向與軸正向成銳角時, 在平面的投影區(qū)域的面積為正.反之,若法線正向與軸正向成鈍角時,它在平面的投影區(qū)域的面積為負.在各個小曲面上任取一點.若存在,且與曲面的分割和在上的取法無關,則稱此極限為函數(shù),在曲面所指定的一側上的第二型曲面積分,記作 或 2.5

10、 三重積分的概念類似于第一型曲線積分,求一個空間立體的質量就可導出三重積分.設密度函數(shù)為,為了求的質量,我們把分割成個小區(qū)域,在每個小塊上任取一點,則 ,其中為小塊的體積, .設是定義在三維空間可求體積的有界區(qū)域上的有界函數(shù).現(xiàn)用若干光滑曲面所組成的曲面網來分割,它把分成個小區(qū)域.記的體積,在每個中任取一點,作積分和 .定義 93 設為定義在三維空間可求體積的有界區(qū)域上的函數(shù), 是一個確定的數(shù),若對任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使對于的任何分割,只要時,屬于分割的所有積分和都有 ,則稱在上可積,數(shù)稱為函數(shù)在上的三重積分,記作或,其中稱為被積函數(shù), ,稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.3.各類積分的關

11、系3.1 各類積分的共同屬性 設在某一區(qū)域定義了點函數(shù),我們定義在上的積分:(1)將任意分割為個子域,大小為;(2)在每一子域中任意取點;(3)作出和數(shù).如果不論怎樣分割、怎樣取法,這和數(shù)當最大子域的直徑趨于零時存在極限,這極限就稱為在上的積分.這樣看來,積分概念的本質是某種微元和式的極限,而構成定義的要素是:任意分割、任意取點、求和、取極限.“區(qū)域”的選擇正是產生各種類型積分的原因.在一維數(shù)軸上，取“區(qū)域”為區(qū)間,被積函數(shù)為一元函數(shù),上述積分即為定積分;在二維平面上,“區(qū)域”可以取一般平面區(qū)域,也可以取平面曲線,被積函數(shù)為二元函數(shù),就相應地有二重積分、平面線積分;在三維空間,情形就更復雜些,

12、可以取空間立體空間曲線或空間曲面,就相應地有三重積分、空間線積分或面積分.3.2 各類積分計算的一致性各積分在計算上存在一致性,所有的多元函數(shù)積分的計算最終都轉化為定積分的計算.累次積分法可將重積分化為定積分,兩類曲線積分是通過基本計算公式將其直接轉化為定積分，而兩類曲面積分則是通過基本計算公式先將其轉化為二重積分再轉化為定積分的.3.2.1 重積分化為定積分10例 1 設是由直線,及圍成的區(qū)域(如下圖),試計算: 的值.解析 若用先對后對的積分,則.由于函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)形式表示,因此改用另一種順序的累次積分,則有.由分部積分法,即可算得:. 3.2.2 曲線積分化為定積分例 2 計

13、算,其中為球面被平面所截得的圓周.解析 由變量之間的對稱性知 ,所以 .3.2.3 曲面積分化為定積分例 3 計算積分:,其中為球面的外側面.解析 先計算,其中是上半球面,取上側,是下半球面,取下側,所以.作變量代換,則得.由對稱性知 , , 因此 .3.3 幾個積分公式微積分中四個重要的積分公式,即牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式之間存在著密切的聯(lián)系,并且在積分計算中,這四個公式也起著重要作用:1.格林公式可實現(xiàn)二重積分和第二型曲線積分之間的轉化;2.高斯公式可實現(xiàn)三重積分和第二型曲面積分之間的轉化;3.斯托克斯公式可實現(xiàn)第二型曲線積分和第二型曲面積分之間的轉化;關于這四個

14、公式的關系以及它們在積分計算中的應用將在下一部分給出詳細介紹.4.幾個積分公式之間的關系4.1 積分公式的介紹4.1.1 牛頓-萊布尼茲公式定理12 若函數(shù)在上連續(xù),且存在原函數(shù),即,則在上可積,且 . 上式稱為牛頓萊布尼茲公式,也常寫成.4.1.2 格林公式設區(qū)域的邊界是由一條或幾條光滑曲線所組成.邊界曲線的正方向規(guī)定為：當人沿邊界行走時,區(qū)域總在它的左邊.與上述規(guī)定的方向相反的方向稱為負方向,記為.定理 23 若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),且有連續(xù)的一階偏導數(shù),則有, 這里為區(qū)域的邊界曲線,并取正方向.上式稱為格林公式.4.1.3 高斯公式定理 33 設空間區(qū)域由分片光滑的雙側封閉曲面圍成.若函數(shù)

15、,在上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導數(shù),則,其中取外側.上式稱為高斯公式.4.1.4 斯托克斯公式定理 43 設光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù),在(同)連續(xù),且有一階連續(xù)偏導數(shù),則, 其中的側與的方向右手法則確定.上式稱為斯托克斯公式.4.2 牛頓-萊布尼茲公式與格林公式的關系牛頓萊布尼茲公式把一個函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分與一個相關函數(shù)在該區(qū)間的“邊界”(即區(qū)間端點)上函數(shù)值的增量聯(lián)系起來.也就是說牛頓萊布尼茲公式把區(qū)間上的定積分(特殊的線積分)轉化為端點處的函數(shù)值.而格林公式把區(qū)間上的二重積分(特殊的曲面積分)轉化為邊界曲線上的線積分,因此二者的實質是一樣的. 牛頓萊布尼茲公式是格林公式的

16、特殊情況.4.3 格林公式與高斯公式的關系高斯公式把一個函數(shù)在空間區(qū)域上的積分跟一個相關聯(lián)的函數(shù)在的邊界曲面上的積分聯(lián)系起來,即高斯公式把空間區(qū)域上的三重積分轉化為該閉區(qū)域邊界曲面上的曲面積分.因此高斯公式與格林公式在本質上是一樣的,高斯公式是格林公式在三維空間的推廣,在一定的情況下,高斯公式可以轉化為格林公式.4.4 格林公式與斯托克斯公式的關系斯托克斯公式是把一般曲面上的面積分轉化為的邊界線上的曲線積分而格林公式把區(qū)域上特殊的曲面積分(二重積分)轉化為的邊界線上的線積分,因此可把斯托克斯公式看作格林公式在三維空間中的另一種形式的推廣.在一定的情況下, 斯托克斯公式可化為格林公式.4.5 小

17、結 通過上面對四個積分公式之間關系的討論可以知道,格林公式、高斯公式、斯托克斯公式均是牛頓-萊布尼茲公式在高維上的推廣.下面把四個公式之間的關系總結如圖5:特例推廣特例特例推廣格林公式推廣牛頓-萊布尼茲公式高斯公式斯托克斯公式總的來說,牛頓萊布尼茲公式是基礎,格林公式是核心,它們具有共性,即在一定條件下,沿適當幾何形體邊界的積分可以轉換為分布于這個幾何形體上的積分.同時,格林公式、高斯公式和斯托克斯公式也為曲線積分和曲面積分的計算提供了途徑.4.6 積分公式在積分計算中的應用4.6.1 格林公式的應用格林公式給出了平面上有限條逐段光滑封閉曲線上的線積分與它們所包圍區(qū)域上的二重積分的關系:, 這

18、里表示沿的正向取積分.正向指前進時保持在左邊的方向,當為單聯(lián)通時即是逆時針的方向;當為多聯(lián)通區(qū)域時,外邊界為逆時針方向,內邊界為順時針方向.、要求在區(qū)域內直到邊界上連續(xù),并有連續(xù)的偏導數(shù).由此可得的面積公式 . 在很多情況下利用格林公式可以把封閉曲線上的線積分化為二重積分來計算.例 4 計算積分 ,其中為橢圓,取逆時針方向.解析 (用格林公式計算)上 ,因此 .令,作變換,則,其中 .因此 .4.6.2 高斯公式的應用高斯公式在中給出了空間區(qū)域上的三重積分與邊界上的曲面積分的關系.利用高斯公式將曲面積分化為三重積分,由于求導,被積函數(shù)常能簡化.也省得逐塊地計算積分. 例 5 計算曲面積分,其中

19、,積分沿曲面的外側.解析 對于,取,則.在上: ,則在上:由于,且圍成的球體在圍成的球體內部,故.4.6.3 斯托克斯公式的應用斯托克斯公式建立了空間曲面積分與其邊界上的曲線積分的關系.例 6 計算線積分 ,其中為上半球面與柱面的交線.從軸正向往下看, 正向取反時針方向.解析 (球面位于柱內的部分看成是上所張的曲面,用斯托克斯公式) 用表示上半球面在柱面(即：)的上側.則與成右手關系.結論研究各類積分之間的關系在數(shù)學研究中十分重要.由于積分的概念大多數(shù)來自于實際的物理模型,因此積分的種類會隨著實際問題的不同而不同.但積分的本質屬性和內在聯(lián)系是不會發(fā)生改變的,尤其是在積分運算之間存在著緊密的聯(lián)系

20、.積分運算關鍵在于計算定積分,各類積分的計算最終都是轉化為定積分的計算.而微積分中四個重要的積分公式,即牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式也起著重要的作用.它們實現(xiàn)了定積分、重積分與曲線積分、曲面積分之間的轉換,揭示了各積分之間的運算聯(lián)系.牛頓萊布尼茲公式是基礎,格林公式是核心,而高斯公式和斯托克斯公式是前兩個公式在高維上的推廣.因此,關于積分之間關系的探討,最重要的就是領會積分的本質特征和積分計算的一致性,運用幾個重要的積分公式實現(xiàn)幾類積分之間的轉化,可以把幾類積分之間的關系理解的更具體.參考文獻1 張盈, 微積分中幾類積分之間的聯(lián)系J.吉林省教育學院學報,2012,28(11):149-150. 2 程其襄等,數(shù)學分析(上)M,高等教育出版社,2001,6(第三版).3 程其襄等,數(shù)學分析(下)M,高等教育出版社,2001,6(第三版).4 徐志科,淺談積分概念的本質及內在聯(lián)系J,赤峰學院學報(自然科學版),2012,28(6):8.5 敬石心,沙萍,關于幾種積分之間的討