雙曲線知識點總結(jié)及練習(xí)題

1、一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等于定長（|f1f2|）的點的軌跡（為常數(shù)）。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值。（2）2a|f1f2|。 當|mf1|mf2|=2a時，曲線僅表示焦點f2所對應(yīng)的一支； 當|mf1|mf2|=2a時，曲線僅表示焦點f1所對應(yīng)的一支； 當2a=|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；用第二定義證明比較簡單 或兩邊之差小于第三邊當2a|f1f2|時，動點軌跡不存在。2、第二定義：動點到一定點f的距離與它到一條定直線l（準線）的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線。

2、這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線。二、雙曲線的標準方程（，其中|=2c）焦點在x軸上：（a0，b0）焦點在y軸上：（a0，b0）（1）如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上。 a不一定大于b。判定焦點在哪條坐標軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號，焦點在系數(shù)正的那條軸上（2）與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是（3）雙曲線方程也可設(shè)為：三、雙曲線的性質(zhì)雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦點在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距

3、離叫焦距。pp第二定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當時，動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。pppp范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)， ， e越大則雙曲線開口的開闊度越大準線方程準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離：頂點到準線的距離頂點（）到準線（）的距離為頂點（）到準線（）的距離為焦點到準線的距離焦點（）到準線（）的距離為焦點（）到準線（）的距離為漸近線方程 ()，和 ()將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可

4、用解二元二次的方法求出漸近線的解共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦ab的弦長通徑：與橢圓一樣過雙曲線上一點的切線 或利用導(dǎo)數(shù) 或利用導(dǎo)數(shù)四、雙曲線的參數(shù)方程： 橢圓為五、 弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于a（x1,y1）b（x2,y2）兩點，則 k為直線斜率提醒解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時常利用數(shù)形結(jié)合法、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入、設(shè)而不求的思想方法。2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于a、b兩點，則弦長。3、特別地，焦點弦的弦長的

5、計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解六、焦半徑公式雙曲線（a0，b0）上有一動點左焦半徑：r=ex+a右焦半徑：r=ex-a當在左支上時,當在右支上時,左支上絕對值加-號，右支上不用變化雙曲線焦點半徑公式也可用“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號） 構(gòu)成滿足 注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當在左支端點時，當在左支端點時，七、等軸雙曲線（a0，b0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線1。 ；2。離心率；3。兩漸近線互相垂直，分別為y=；4。等軸雙曲線的方程，； 八、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的

6、共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線。與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.九、點與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點與雙曲線點在雙曲線的內(nèi)部 代值驗證，如點在雙曲線的外部點在雙曲線上2、直線與雙曲線代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得（1）時，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；相交若，時，直線與雙曲線相交于兩點；時，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點； 直線與雙曲線相交于兩點；十、雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若

7、雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（a0，b0）漸近線方程： 3、若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為, 。4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）十一、雙曲線與切線方程1、雙曲線上一點處的切線方程是。2、過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是。3、雙曲線與直線相切的條件是。橢圓與雙曲線共同點歸納十二、頂點連線斜率雙曲線一點與兩頂點連線的斜率之積為k時得到不同的曲線。橢圓參照選修2-1p41，雙曲線參照選修2-1p55。1、a、b兩點在x軸上時2、a、b兩點在y軸上時十三、面積公式雙曲線上一點p與雙曲線的兩個焦點 構(gòu)成的三角形 稱之為雙曲線焦點三角形，面

8、積公式推導(dǎo)：解：在中，設(shè)，由余弦定理得圖3f1xyopf2即，=橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形稱之為橢圓焦點三角形面積公式推導(dǎo)解：在中，設(shè)，由余弦定理得圖1f1xyopf2即，=十四、(雙曲線中點弦的斜率公式)：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有 證明：設(shè)，則有， 兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以，所以橢圓中線弦斜率公式雙曲線基礎(chǔ)題1 雙曲線2x2y28的實軸長是()a2 b2 c4 d42 設(shè)集合p，q(x，y)|x2y10，記apq，則集合a中元素的個數(shù)是()a3 b1 c2 d43 雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()a2 b3 c4 d54雙曲線1的共軛雙曲線的離

9、心率是_5 中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，2)，則它的離心率為()a. b. c. d.6 設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()a4 b3 c2 d17 從1(其中m，n1,2,3)所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為()a. b. c. d.8雙曲線1的漸近線與圓(x3)2y2r2(r0)相切，則r()a. b3 c4 d6圖k5119 如圖k511，在等腰梯形abcd中，abcd且ab2ad，設(shè)dab，以a、b為焦點且過點d的雙曲線的離心率為e1，以c、d為焦點且過點a的橢圓的離心

10、率為e2，則e1e2_.10 已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點為f，若過點f且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是_11 已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，它的一個焦點為f(6,0)，則雙曲線的方程為_12(13分)雙曲線c與橢圓1有相同焦點，且經(jīng)過點(，4)(1)求雙曲線c的方程；(2)若f1，f2是雙曲線c的兩個焦點，點p在雙曲線c上，且f1pf2120，求f1pf2的面積13(1)(6分) 已知雙曲線1和橢圓1(a0，mb0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形是()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d銳角三角形或

11、鈍角三角形(2)(6分) 已知f1、f2為雙曲線c：x2y21的左、右焦點，點p在雙曲線c上，且f1pf260，則|pf1|pf2|()a2 b4 c6 d8雙曲線綜合訓(xùn)練一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，滿分35分）1動點到點及點的距離之差為，則點的軌跡是（ ）a雙曲線 b雙曲線的一支 c兩條射線 d一條射線 2設(shè)雙曲線的半焦距為，兩條準線間的距離為，且，那么雙曲線的離心率等于（ ）a b c d 3過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的弦，是另一焦點，若，則雙曲線的離心率等于（ ）a b c d4雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則（ ）a b cd5雙曲線的左、右焦點分別為f1，f2，點p為

12、該雙曲線在第一象限的點，pf1f2面積為1，且則該雙曲線的方程為（ ）ab cd6若、為雙曲線的左、右焦點，o為坐標原點，點在雙曲線的左支上，點在雙曲線的右準線上，且滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）abcd37如果方程表示曲線,則下列橢圓中與該雙曲線共焦點的是（ ）a b c d 二、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，滿分15分）8雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_。9若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是 。10若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是_三、解答題：（本大題共2小題，滿分30分）11. （本小題滿分10分）雙曲線與橢圓有共同的焦點，點是雙曲線的漸近線與橢圓的一

13、個交點，求漸近線與橢圓的方程。 12（本小題滿分20分）已知三點p（5，2）、（6，0）、（6，0）。 （1）求以、為焦點且過點p的橢圓的標準方程； （2）設(shè)點p、關(guān)于直線yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程.【基礎(chǔ)熱身】1c解析 雙曲線方程可化為1，所以a24，得a2，所以2a4.故實軸長為4.2b解析 由于直線x2y10與雙曲線y21的漸近線yx平行，所以直線與雙曲線只有一個交點，所以集合a中只有一個元素故選b.3b解析 雙曲線1的一個焦點是(5,0)，一條漸近線是3x4y0，由點到直線的距離公式可得d3.故選b.4.解析 雙曲線1的共軛雙曲線是1，所以a3，b，所以

14、c4，所以離心率e.【能力提升】5d解析 設(shè)雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，所以其漸近線方程為yx，因為點(4，2)在漸近線上，所以.根據(jù)c2a2b2，可得，解得e2，所以e，故選d.6c解析 根據(jù)雙曲線1的漸近線方程得：yx，即ay3x0.又已知雙曲線的漸近線方程為3x2y0且a0，所以有a2，故選c.7b解析 若方程表示圓錐曲線，則數(shù)組(m，n)只有7種：(2，1)，(3，1)，(1，1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4種對應(yīng)的方程表示焦點在x軸上的雙曲線，所以概率為p.故選b.8a解析 雙曲線的漸近線為yx，圓心為(3,0)，所以半徑r.故選a.91解析 作

15、dmab于m，連接bd，設(shè)ab2，則dmsin，在rtbmd中，由勾股定理得bd，所以e1，e2，所以e1e21.102，)解析 依題意，雙曲線的漸近線中，傾斜角的范圍是60，90)，所以tan60，即b23a2，c24a2，所以e2.11.1解析 ，即ba，而c6，所以b23a23(36b2)，得b227，a29，所以雙曲線的方程為1.12解答 (1)橢圓的焦點為f1(0，3)，f2(0,3)設(shè)雙曲線的方程為1，則a2b2329.又雙曲線經(jīng)過點(，4)，所以1，解得a24，b25或a236，b227(舍去)，所以所求雙曲線c的方程為1.(2)由雙曲線c的方程，知a2，b，c3.設(shè)|pf1|m

16、，|pf2|n，則|mn|2a4，平方得m22mnn216.在f1pf2中，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos120m2n2mn36.由得mn，所以f1pf2的面積為smnsin120.【難點突破】13(1)b(2)b解析 (1)依題意有1，化簡整理得a2b2m2，故選b.(2)在f1pf2中，由余弦定理得，cos60，11.因為b1，所以|pf1|pf2|4.故選b.一、選擇題 1d ，在線段的延長線上 2c 3c 是等腰直角三角形，4a.5 a【思路分析】：設(shè)，則， 【命題分析】：考察圓錐曲線的相關(guān)運算6 c【思路分析】：由知四邊形是平行四邊形，又知平分，即是菱形，設(shè)，則. 又，由雙曲線的第二定義知：,且，故選.【命題分析】：考查圓錐曲線的第一、二定義及與向量的綜合應(yīng)用，思維的靈活性.7d由題意知,.若,則雙曲線的焦點在軸上,而在選擇支a,c中,橢圓的焦點都在軸上,而選擇支b,d不表示橢圓;若,選擇支a,c不表示橢圓,雙曲線的半焦距平方,雙曲線的焦點在軸上