建筑力學(xué)課件7剪切及扭轉(zhuǎn)

1、工程中有一類等直桿，其受力和變形特點(diǎn)是：桿件受力偶系作用，這些力偶的作用面都垂直于桿軸(如圖10.1所示)，截面B相對于截面A轉(zhuǎn)了一個(gè)角度 ，稱為扭轉(zhuǎn)角。同時(shí)，桿表面的縱向線將變成螺旋線。具有以上受力和變形特點(diǎn)的變形，稱為扭轉(zhuǎn)變形。圖10.1 扭轉(zhuǎn)桿工程中發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件很多。如船舶推進(jìn)軸(如圖10.2a所示)，當(dāng)主機(jī)發(fā)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)推進(jìn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)主機(jī)給傳動(dòng)軸作用一力偶矩 ，而螺旋槳由于水的阻力作用給軸一反力偶矩(如圖10.2b所示)，使推進(jìn)軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。單純發(fā)生扭轉(zhuǎn)的桿件不多，但以扭轉(zhuǎn)為其主要變形之一的則不少，如汽車方向盤操縱桿(如圖10.3所示)、鉆探機(jī)的鉆桿(如圖10.4所示)等，都存

2、在不同程度的扭轉(zhuǎn)變形。工程中把以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿稱為軸。eM圖10.2 船舶推進(jìn)軸圖10.3 方向盤操縱桿 圖10.4 鉆探機(jī)的鉆桿本章只討論薄壁圓管及實(shí)心圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算，這是由于等直圓桿的物性和橫截面的幾何形狀具有極對稱性，在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，可以用材料力學(xué)的方法來求解。對于非圓截面桿，例如矩形截面桿的受扭問題，因需用到彈性力學(xué)的研究方法，故不多論述。傳動(dòng)軸為機(jī)械設(shè)備中的重要構(gòu)件，其功能為通過軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以傳遞動(dòng)力。對于傳動(dòng)軸等轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件，往往只知道它所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速。為此，需根據(jù)所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速，求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。設(shè)一傳動(dòng)軸(如圖10.6所示)，其轉(zhuǎn)速為n，軸傳遞

3、的功率由主動(dòng)輪輸入，然后通過從動(dòng)輪分配出去。設(shè)通過某一輪所傳遞的功率為P，由動(dòng)力學(xué)可知，力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作之功即為功率P，等于該輪處力偶之矩Me與相應(yīng)角速度 之乘積，即 (a)工程實(shí)際中，功率P的常用單位為kW，力偶矩Me與轉(zhuǎn)速n的常用單位分別為N m與r/min(轉(zhuǎn)/每分)。此外，又由于于是在采用上述單位時(shí)，式(a)變?yōu)?ePM1W1N m/s3e21060nPM由此得 (10-1)如果功率P的單位用馬力( )，則 (10-2)對于外力偶的轉(zhuǎn)向，主動(dòng)輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相同，而從動(dòng)輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向則與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，如圖10.5所示。圖10.5 傳動(dòng)軸 kWeN mr/min9

4、550PMn1735.5N m/s馬力 /min7024eN mrPMn馬力要研究受扭桿件的應(yīng)力和變形，首先要計(jì)算內(nèi)力。設(shè)有一圓軸 AB(如圖10.6a所示)，受外力偶矩Me作用。由截面法可知，圓軸任一橫截面mm上的內(nèi)力系必形成為一力偶(如圖10.6b所示)，該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，并用T來表示。為使從兩段桿所求得的同一截面上的扭矩在正負(fù)號(hào)上一致，可將扭矩按右手螺旋法則用力偶矢來表示，并規(guī)定當(dāng)力偶矢指向截面的外法線時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。據(jù)此，如圖10.6b和圖10.6c所示中同一橫截面上的扭矩均為正。作用在傳動(dòng)軸上的外力偶往往有多個(gè)，因此，不同軸段上的扭矩也各不相同，可用截面法來計(jì)算軸橫截面上的扭

5、矩。如圖10.7a所示，軸AD受外力偶矩 、 、 、 的作用。設(shè) ，求截面、上的內(nèi)力。 e1Me2Me3Me4Me3e1e2e4MMMM圖10.6 扭矩的正負(fù)規(guī)定圖10.7 截面法計(jì)算扭矩(1) 假想用一個(gè)垂直于桿軸的平面沿截面截開，任取一段為脫離體(如圖10.7b所示)。由平衡方程 ， 得 (2) 沿-截面處截開，取左段為脫離體(如圖10.7c所示)，由平衡方程 ，得 (3) 沿-截面處截開，仍取左段為脫離體(如圖10.7d所示)，由平衡方程 ， 得 將 代入上式，得0 xM1e10TM1e1TM0 xM 2e1e20TMM2e1e2TMM0 xM 3e1e2e30TMMM3e1e2e3TM

6、MMe3e1e2e4MMMM3e4TM 為了表明沿桿軸線各橫截面上的扭矩的變化情況，從而確定最大扭矩及其所在截面的位置，常需畫出扭矩隨截面位置變化的函數(shù)圖像，這種圖像稱為扭矩圖(如圖10.7e所示)，可仿照軸力圖的作法繪制?！纠}10.1】 傳動(dòng)軸如圖10.8a所示，其轉(zhuǎn)速 ，功率由A 輪輸入，B、C兩輪輸出。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，已知： ， ， 及 。試作軸的扭矩圖。解：(1) 計(jì)算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為 200r/minn 1500kWP 2150kWP 3150kWP 4200kWP 315009550N m23.88 10 N m23.88kN m200M3231

7、509550N m7.16 10 N m7.16kN m200MM342009550N m9.55 10 N m9.55kN m200M圖10.8 (2) 由軸的計(jì)算簡圖(如圖10.8b所示)，計(jì)算各段軸的扭矩。先計(jì)算CA段內(nèi)任一橫截面22上的扭矩。沿截面22將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖10.8c可知 ， 得 同理，在BC段內(nèi) 在AD段內(nèi) (3) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作扭矩圖(如圖10.8d所示)。由扭矩圖可知， 發(fā)生在CA段內(nèi)，其值為 。 0 xM 2230TMM22314.32kN mTMM 127.16kN mTM 349.55kN mTMmaxT14.32kN m扭矩圖表明：當(dāng)所取截

8、面從左向右無限趨近截面C時(shí)，其扭矩為 ，一旦越過截面C，則為 ，扭矩在外力偶作用處發(fā)生突變，突變的大小和方向與外力偶矩相同；外力偶之間的各截面(如CA段)，扭矩相同。根據(jù)上述規(guī)律，可直接按外力偶矩畫扭矩圖。作圖時(shí)，自左向右，遇到正視圖中箭頭向上的外力偶時(shí)，向上畫，反之向下畫。無外力偶處作軸的平行線。請讀者思考，若將A輪與B輪位置對調(diào)，試分析扭矩圖是否有變化，如何變化？最大扭矩 的值為多少？兩種不同的荷載分布形式哪一種較為合理？1T2TmaxT上節(jié)闡明了圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上內(nèi)力系合成的結(jié)果是一力偶，并建立了其力偶矩(扭矩)與外力偶矩的關(guān)系。現(xiàn)在進(jìn)一步分析內(nèi)力系在橫截面上的分布情況，以便建立橫截面

9、上的應(yīng)力與扭矩的關(guān)系。下面先研究薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。設(shè)一薄壁圓筒(如圖10.9a所示)，壁厚 遠(yuǎn)小于其平均半徑 ，兩端受一對大小相等，轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用。加 力偶前，在圓筒表面刻上一系列的縱向線和圓周線，從而形成一系列的矩形格子。扭轉(zhuǎn)后，可看到下列變形情況(如圖10.9b所示)。圖10.9 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)0r010r(1) 各圓周線繞軸線發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動(dòng)，但形狀、大小及相互之間的距離均無變化，且仍在原來的平面內(nèi)。(2) 所有的縱向線傾斜了同一微小角度 ，變?yōu)槠叫械穆菪€。在小變形時(shí)，縱向線仍看作為直線。由(1)可知，扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面的大小、形狀及軸向間距不變，說明圓筒縱向與橫向均無變形，線應(yīng)

10、變 為零，由胡克定律 可得橫截面上正應(yīng)力 為零。由(2)可知，扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，相鄰橫截面間相對轉(zhuǎn)動(dòng)，截面上各點(diǎn)相對錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生剪切變形，故橫截面上有切應(yīng)力，其方向沿各點(diǎn)相對錯(cuò)動(dòng)的方向，即與半徑垂直。圓筒表面上每個(gè)格子的直角也都改變了相同的角度 ，這種直角的改變量 稱為切應(yīng)變。這個(gè)切應(yīng)變和橫截面上沿圓周切線方向的切應(yīng)力是相對應(yīng)的。由于相鄰兩圓周線間每個(gè)格子的直角改變量相等，并根據(jù)材料均勻連續(xù)的假設(shè)，可以推知沿圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向與圓周相切，且其數(shù)值相等。至于切應(yīng)力沿壁厚方向的變化規(guī)律，由于壁厚 遠(yuǎn)小于其平均半徑 ，故可近似地認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化。E0r根據(jù)上述分析可得，薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)

11、時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力 值均相等，其方向與圓周相切(如圖10.9c所示)。于是，由橫截面上內(nèi)力與應(yīng)力間的靜力關(guān)系，得由于 為常數(shù)，且對于薄壁圓筒， 可用其平均半徑 代替，而積分 為圓筒橫截面面積，將其代入上式，得 (10-3)這里 。由圖10.9b所示的幾何關(guān)系，可得薄壁圓筒表面上的切應(yīng)變 和相距為 的兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角 之間的關(guān)系式： (10-4) 式中， 為薄壁圓筒的外半徑。dAA rTr0r0d2AAAr 20022TTrA200Ar l/r lr通過薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶矩在某一范圍內(nèi)時(shí)，相對扭轉(zhuǎn)角 與扭矩 成正比，如圖10.10a所示。利用式(10-3)和式(10-

12、4)，即得 與 間的線性關(guān)系(如圖10.10b所示)為 (10-5)圖10.10 剪切胡克定律上式稱為材料的剪切胡克定律，式中的比例常數(shù)G稱為材料的切變模量，其量綱與彈性模量E的相同。鋼材的切變模量約為80GPa。應(yīng)該注意，剪切胡克定律只有在切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限 時(shí)才適用。TGP為了分析圓截面軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，首先觀察其變形。取一等截面圓軸，并在其表面等間距地畫上一系列的縱向線和圓周線，從而形成一系列的矩形格子。然后在軸兩端施加一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶。可觀察到下列變形情況(如圖10.11所示)：各圓周線繞軸線發(fā)生了相對旋轉(zhuǎn)，但形狀、大小及相互之間的距離均無變化，所有的縱向線傾斜了

13、同一微小角度 。根據(jù)上述現(xiàn)象，對軸內(nèi)變形作如下假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，而且，半徑仍為直線。簡言之，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)。此假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)。圖10.11 圓軸的扭轉(zhuǎn)由此可得如下推論：橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力均沿其相對錯(cuò)動(dòng)的方向，即與半徑垂直。下面將從幾何、物理與靜力學(xué)三個(gè)方面來研究切應(yīng)力的大小、分布規(guī)律及計(jì)算。1. 幾何方面為了確定橫截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力，從圓桿內(nèi)截取長為 的微段(如圖10.12所示)進(jìn)行分析。根據(jù)變形現(xiàn)象，右截面相對于左截面轉(zhuǎn)了一個(gè)微扭轉(zhuǎn)角 ，因此其上的任意半

14、徑 也轉(zhuǎn)動(dòng)了同一角度 。由于截面轉(zhuǎn)動(dòng)，桿表面上的縱向線AD傾斜了一個(gè)角度 。由切應(yīng)變的定義可知， 就是橫截面周邊上任一點(diǎn)A處的切應(yīng)變。同時(shí)，經(jīng)過半徑 上任意點(diǎn)G的縱向線EG在桿變形后也傾斜了一個(gè)角度 ，即為橫截面半徑上任一點(diǎn)E處的切應(yīng)變。設(shè)G點(diǎn)至橫截面圓心點(diǎn)的距離為 ，由如圖10.12a所示的幾何關(guān)系可得即dxd2O Dd2O DdtandGGxEG ddx圖10.12 橫截面上的應(yīng)力分析式中 為扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對于給定的橫截面，該值是個(gè) 常量，所以，此式表明切應(yīng)變 與 成正比，即沿半徑按直線規(guī)律變化。ddx2. 物理方面由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，所

15、以，橫截面上距圓心距離為 處的切應(yīng)力為 (a)由式(a)可知，在同一半徑 的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力 值均相等，其值與 成正比。實(shí)心圓截面桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿任一半徑的變化情況如圖10.13a所示。由于平面假設(shè)同樣適用于空心圓截面桿，因此空心圓截面桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿任一半徑的變化情況如圖10.13b所示。 圖10.13 切應(yīng)力分布規(guī)律 圖10.14 切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)的關(guān)系ddGGx3. 靜力學(xué)方面橫截面上切應(yīng)力變化規(guī)律表達(dá)式(a)中的 是個(gè)待定參數(shù)，通過靜力學(xué)方面的考慮來確定該參數(shù)。在距圓心 處的微面積 上，作用有微剪力 (如圖10.14所示)，它對圓心O的力矩為 在整個(gè)橫截面上，所有微力矩之和等于該截面的扭矩

16、，即 (b)將式(a)代入式(b)，經(jīng)整理后即得 上式中的積分 ，即為橫截面的極慣性矩 ，則有 (10-6)d/dxdAdAdAdAAT2dddAGATx2dAAPIPddTxGI式(10-6)為圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式，將其代入式(a)，即得 (10-7)此即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。由式(10-7)可知，當(dāng) 等于最大值 時(shí)，即在橫截面周邊上的各點(diǎn)處，切應(yīng)力將達(dá)到最大，其值為在上式中，極慣性矩與半徑都為橫截面的幾何量，令那么 (10-8)PTI2dmaxP2TdIPP2IWdmaxPTW式中， 稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單位為 。圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為空心圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為這里

17、， 。應(yīng)該指出，式(10-6)與式(10-7)僅適用于圓截面軸，而且，橫截面上的最大切應(yīng)力不得超過材料的剪切比例極限。另外，由橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律可知，越是靠近桿軸處切應(yīng)力越小，故該處材料強(qiáng)度沒有得到充分利用。如果將這部分材料挖下來放到周邊處，就可以較充分地發(fā)揮材料的作用，達(dá)到經(jīng)濟(jì)的效果。從這方面看，空心圓截面桿比實(shí)心圓截面桿合理。PW3m3PP216IdWd4434PP()(1)21616IDdDWDD/d D前面研究了等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力。為了全面了解桿內(nèi)任一點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況，下面研究任意斜截面上的應(yīng)力，從而找出最大應(yīng)力及其作用面的方位，給強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。在圓桿的表面

18、處任取一單元體如圖10.15a所示。圖中左右兩側(cè)面為桿的橫截面，上下兩側(cè)面為徑向截面，前后兩側(cè)面為圓柱面。在其前后兩側(cè)面上無任何應(yīng)力，故可將其改為用平面圖表示(如圖10.15b所示)。由于單元體處于平衡狀態(tài)，故由平衡條件 可知，單元體在左右兩側(cè)面上的內(nèi)力元素 為大小相等、指向相反的一對力，并組成一個(gè)力偶，其矩為 。為了滿足另兩個(gè)平衡條件 和 ，在單元體的上下兩平面上將有大小相等、指向相反的一對內(nèi)力元素 ，并組成其矩為 的力偶。由 ，得 (10-9)0yF d dxy z( d d )dxy zx0 xF 0zM d dyx z(d d )dyx zy( d d )d(d d )dxyy zxx

19、 zyxy圖10.15 斜截面上的應(yīng)力式(10-9)表明，兩相互垂直平面上的切應(yīng)力 和 數(shù)值相等，且均指向(或背離)這兩平面的交線，稱為切應(yīng)力互等定理。該定理具有普遍意義，在同時(shí)有正應(yīng)力的情況下同樣成立。單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的這種狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，如圖10.15b所示。為方便起見，稱左右兩面為x面(法線為x的截面)，上下兩面為y面(法線為y的截面)?，F(xiàn)在分析與x面成任意角 的斜截面mm上的應(yīng)力。取截面左部分為脫離體，設(shè)斜截面上的應(yīng)力為 和 (如圖10.15c所示)。單元體在 、 及 、 的共同作用下處于平衡。選取斜截面的外法線n及切線t為投影軸，寫出平衡方

20、程 ， 和， xyxy0nF dd cossind sincos0 xyAAA0tF dd coscosd sinsin0 xyAAA利用切應(yīng)力互等定理公式，經(jīng)整理得 (10-10)和 (10-11)由式(10-11)可知，當(dāng) 和 時(shí)，切應(yīng)力絕對值最大，均等于 。而由(10-10)式可知，在 ( 角由x軸起算，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向截面外法線n時(shí)為正)的兩斜截面上正應(yīng)力達(dá)到極值，分別為和即該兩截面上的正應(yīng)力，一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力，其絕對值均為 ，且最大、最小正應(yīng)力的作用面與最大切應(yīng)力的作用面之間互成 ，如圖10.15d所示。sin2x cos2x0 90 x45 max45x min45x x45上述

21、分析結(jié)果，在圓周扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象中亦可得到證實(shí)。對于剪切強(qiáng)度低于拉伸強(qiáng)度的材料(如低碳鋼)，是從桿的最外層沿橫截面發(fā)生剪切破壞的，如圖10.16a所示，而對于拉伸強(qiáng)度低于剪切強(qiáng)度的材料(如鑄鐵)，是從桿的最外層沿與桿軸線成 傾角的斜截面拉斷的，如圖10.16b所示。再如木材這種材料，它的順紋抗剪強(qiáng)度最低，所以當(dāng)受扭而破壞時(shí)，是沿縱向截面破壞的。圖10.16 圓周扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象45為確保圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)不被破壞，其橫截面上的最大工作切應(yīng)力 不得超過材料的許用切應(yīng)力 ，即要求 (10-12)此即圓桿扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。對于等直圓桿，其最大工作應(yīng)力存在于最大扭矩所在橫截面(危險(xiǎn)截面)的周邊上任一點(diǎn)處，這些點(diǎn)即為危險(xiǎn)

22、點(diǎn)。于是，上述強(qiáng)度條件可表示為 (10-13)利用此強(qiáng)度條件可進(jìn)行強(qiáng)度校核、選擇截面或計(jì)算許可荷載。理論與實(shí)驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用應(yīng)力 與許用正應(yīng)力 之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料， 對于脆性材料，式中， 為許用拉應(yīng)力。 max max maxmaxP TW (0.50.577) t (0.8 1.0)t【例題10.2】 某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)的最大扭矩 ，若許用切應(yīng)力 ，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。(1) 實(shí)心圓截面軸的直徑 。(2) 空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑之比為 。解：(1) 確定實(shí)心圓軸的直徑。由強(qiáng)度條件(3-13)式得 而實(shí)心圓軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為 那么，實(shí)心圓

23、軸的直徑為1.5kN mT =50MPa1d/0.9d D maxP TW31P16dW63311616(1.5 10 N mm)53.5mm 3.14 50MPaTd(2) 確定空心圓軸的內(nèi)、外徑。由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件以及空心圓軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可知，空心圓軸的外徑為而其內(nèi)徑為(3) 重量比較。上述空心與實(shí)心圓軸的長度與材料均相同，所以，二者的重量之比 等于其橫截面之比，即上述數(shù)據(jù)充分說明，空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕。633441616(1.5 10 N mm)76.3(mm)(1) 3.14(10.9 )50MPaTD0.90.976.3mm68.7mmdD2222221()476.368.70.3854

24、53.5Ddd【例題10.3】 階梯形圓軸如圖10.17a所示，AB段直徑 BC段直徑 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 ， ， 。已知材料的許用切應(yīng)力 ，試校核該軸的強(qiáng)度。解：(1) 作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖10.17b所示。圖10.17 1100mmd 280mmd 14kN mAM22kN mBM8kN mCM 85MPa(2) 強(qiáng)度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強(qiáng)度。AB段BC段 因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。611,max3P114 10 N mm71.34(MPa) (100mm)16TW622,max3P28 10 N mm79.62(MPa) 62544F

25、FAd(2) 校核擠壓強(qiáng)度。由于每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度相同，所受擠壓力也相同。而主板厚度為蓋板的1.5倍，所受擠壓力卻為蓋板的2倍，故應(yīng)該校核中段擠壓強(qiáng)度。根據(jù)擠壓強(qiáng)度條件式(10-19)剪切、擠壓強(qiáng)度校核結(jié)果表明，鉚釘安全。(3) 校核連接板的強(qiáng)度。為了校核連接板的強(qiáng)度，分別畫出一塊主板和一塊蓋板的受力圖及軸力圖，如圖10.29(b)和圖10.29(c)所示。主板在11截面所受軸力 ，為危險(xiǎn)截面，即有3bsbsbsbs1/3300 10266.67(MPa)3 25 15FFAdtN1 1FF3N1 11 11 11300 10160(MPa) ()(1502

26、5) 15FFAbd t主板在22截面所受軸力 ，但橫截面也較11截面為小，所以也應(yīng)校核，有蓋板在33截面受軸力 ，橫截面被兩個(gè)鉚釘孔削弱，應(yīng)該校核，有結(jié)果表明，連接板安全。N2 223FF 3N2 22 22 212/32 300 10133.33(MPa)(2 )3 (150225) 15FFAbd tN3 32FF 3N3 33 33 32/2300 10150(MPa)(2 )2(150225) 10FFAbd t圖10.29 1.扭轉(zhuǎn)的概念桿件受力偶系作用，這些力偶的作用面都垂直于桿軸，任意兩個(gè)橫截面都繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)，桿表面的縱向線將變成螺旋線。具有以上受力和變形特點(diǎn)的變形，

27、稱為扭轉(zhuǎn)變形。2.扭矩的計(jì)算和扭矩圖（1）外力偶矩的計(jì)算 （2）扭矩及扭矩圖圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)力系形成為一力偶，該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。為了表明沿桿軸線各橫截面上的扭矩的變化情況，從而確定最大扭矩及其所在截面的位置，常需畫出扭矩隨截面位置變化的函數(shù)圖像，這種圖像稱為扭矩圖。 kWeN mr/min9550PMn /min7024eN mrPMn馬力3.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件（1）薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力 （2）圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力 其中扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 為 （3）斜截面上的應(yīng)力 () 切應(yīng)力互等定理 ： () 斜截面上的應(yīng)力： （4）強(qiáng)度條件xyPTImaxPTWPW20

28、022TTrAPP2IWdsin2x cos2xmaxmaxP TW4.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件（1）扭轉(zhuǎn)變形公式相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為對于長為l、扭矩T為常數(shù)的等截面圓軸，由上式得兩端橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為 稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度。（2）圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件PddTxGIPddllTxGIPTlGIPGImaxP180 TGI5.剪切的概念及連接件的強(qiáng)度計(jì)算 （1）剪切的概念剪切是桿件的基本變形形式之一，當(dāng)桿件受大小相等、方向相反、作用線相距很近的一對橫向力作用時(shí)，桿件發(fā)生剪切變形。（2）連接件的強(qiáng)度計(jì)算() 剪切實(shí)用計(jì)算： () 擠壓實(shí)用計(jì)算： SS FAbsbsbsbsFA10-1試作如圖所

29、示各桿的扭矩圖。 習(xí)題10-1圖(a)AA(b)(c)1m1m(d)10kN30kN mmm5kN m10kN5kN mmm30kN 10kNMeMee2Me3Mm5kN 10kNm60kN m10-2 一傳動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速 ，軸上裝有五個(gè)輪子，主動(dòng)輪輸入的功率為 ，從動(dòng)輪、依次輸出 、 、 和 。試作軸的扭矩圖，如圖所示。10-3 一鉆探機(jī)的功率為 ，轉(zhuǎn)速 。鉆桿鉆入土層的深度 。如土壤對鉆桿的阻力可看作是均勻分布的力偶，試求分布力偶的集度 ，并作鉆桿的扭矩圖，如圖所示。習(xí)題10-2圖 習(xí)題10-3圖 200r/minn 60kW18kW 12kW22kW8kW10kW180r/minn

30、 40ml m10-4 空心鋼軸的外徑 ，內(nèi)徑 。已知間距 的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角 ，材料的切變模量 ，試求： 軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。 當(dāng)軸以 的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸所傳遞的功率。 10-5 如圖所示一等直圓桿，已知 ， ， 。試求： 最大切應(yīng)力。 截面A相對于截面C的扭轉(zhuǎn)角。10-6如圖所示一圓截面桿，左端固定，右端自由，在全長范圍內(nèi)受均布力偶矩作用，其集度為m，設(shè)桿的材料的切變模量為G，截面的極慣性矩為 ，桿長為l，試求自由端的扭轉(zhuǎn)角 。100mmD 50mmd 2.7ml 1.880GPaG 80r/minn 40mmd 400mma 80GPaG 1DB PIB10-7 一薄壁鋼管受扭矩 作用。

31、已知： ， 。已測得管壁上相距 的AB兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角 ，試求材料的泊松比，如圖所示。（提示：各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E、G、 間的關(guān)系如下： ）習(xí)題10-5圖習(xí)題10-6圖習(xí)題10-7圖 ABme2kN mM 60mmD 50mmd 210GPaE 200mml 0.43AB2(1)EG10-8 直徑 的鋼圓桿，受 的軸向拉力作用時(shí)，在標(biāo)距為 的長度內(nèi)伸長了 。當(dāng)其承受一對 的扭轉(zhuǎn)外力偶矩作用時(shí)，在標(biāo)距為 的長度內(nèi)相對扭轉(zhuǎn)了 的角度。試求鋼材的彈性常數(shù)E、G和 。10-9 實(shí)心圓軸與空心圓軸通過牙嵌離合器相連接。已知軸的轉(zhuǎn)速 ，傳遞功率 ，許用切應(yīng)力 ， 試確定實(shí)心軸的直徑d，空心軸的內(nèi)

32、外徑 和 ，如圖所示。習(xí)題10-9圖25mmd 60kN200mm0.113mme0.2kN mM 200mm0.732100r/minn 10kWP 80MPa120.6dd1d2d10-10 如圖所示的等直圓桿，已知外力偶矩 ， ，許用切應(yīng)力 ，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角 ，切變模量 。試確定該軸的直徑d。10-11一直徑為d的實(shí)心圓桿如圖所示，在承受扭轉(zhuǎn)力偶矩 后，測得圓桿表面與縱向線成45 方向上的線應(yīng)變?yōu)?。試導(dǎo)出以 、 d和 表示的切變模量G的表達(dá)式。 習(xí)題10-10圖 習(xí)題10-11圖2.99kN mAM7.2kN mBM4.21kN mCM 70MPa 1 /m 80GPaG eMeM

33、AMCMMBABCxd1.0m0.5m10-12 階梯形圓軸直徑分別為 ， ，軸上裝有三個(gè)帶輪，如圖所示，已知由輪3輸入的功率為 ，輪1輸出的功率為 ，軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速 ，材料的剪切許用切應(yīng)力 ， ，許用扭轉(zhuǎn)角 。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。習(xí)題10-12圖 140mmd 270mmd 330kWP 113kWP 200r/minn 60MPa80GPaG 2 /m 10-13傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為 ，主動(dòng)輪1輸入功率 ， 從動(dòng)輪2和3分別輸出功率 ， 。已知 ， ，如圖所示。 試確定AB段的直徑 和BC段的直徑 。 若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直徑d。 主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理？習(xí)題10-13圖500r/minn 1368kWP 2147kWP 3221kWP 70MPa80GPaG 1 /m 1d2d10-14 試確定如圖所示軸的直徑。已知扭轉(zhuǎn)力矩 ， ，許用切應(yīng)力 ，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角 ，切變模量 。 習(xí)題10-14圖1400N mM 2600N mM 40MPa 0.25 /m80GPaG 10-15 如圖所示的組合軸，由套管與芯軸并借兩端剛性平板牢固地連接在一起。設(shè)作用在剛性平板上的扭轉(zhuǎn)力矩為 ，套管與芯軸的切變模量為 與 。試求套管與芯軸的扭矩及最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。習(xí)題10-15圖2kN mM 140GPaG 280GPaG 10-