電阻率數(shù)據(jù)插值加密及成像問題

1、電阻率數(shù)據(jù)插值加密及成像問題摘要電阻率指標是材料基本特性中的一個指標，數(shù)量上反映了材料導電能力的大小。在生活中有很多應用。在實際問題中，由于技術(shù)與測量成本等原因，我們不能對一個物體進行密集測量，只能等間隔的選取部分點進行測量。而實際中我們卻需要更多位置的數(shù)據(jù)。接下來，我們就對已有的數(shù)據(jù)插值加密，解決以下問題：首先利用matlab根據(jù)題給出的數(shù)據(jù)給出以為坐標，以電阻率定義顏色的三維圖，用matlab對圖像用樣條插值、最鄰近插值、三次線性插值、三次立方插值四種插值方法插值。以電阻率數(shù)據(jù)極值與位置不變的條件根據(jù)圖像。我們選取了極值和位置在插值后都沒改變的最鄰近插值法和三次線性插值法兩種方法。分別建立

2、兩種方法的數(shù)學模型，用matlab根據(jù)所選的兩種方法分別計算出的空間（45.8，-32.7，68.2）處的電阻率為：192.0526（最鄰近插值法）、192.7989（三次線性插值）。然后用一題給出的兩種插值方法分別計算出網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，并給出計算流程，根據(jù)模型可見，三次線性插值法的計算量要比最鄰近插值法多。最后用matlab算出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)的平均值為197.269，標準差為13.7332。采用三次線性插值加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值為192.053，標準差為0。采用最鄰近插值加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值為192.799，標準差為192.799.接著用題目中定義的純藍色、純綠色、

3、純紅色以及它門之間的過渡色來表示加密網(wǎng)格后的每個像素，給出每一幅需要對比顯示效果的圖，給出的圖形如圖像4與圖像5。用這種方法，利用matlab求出Z=0、50切片的原數(shù)據(jù)見附錄1。兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對比圖如圖像6與圖像7。對切片X=82，Y=47, Z=88的兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖如圖像8。最后對兩種插值加密方法的效果，給出定量的指標均方根誤差值，計算出最鄰近插值法的指標值為0.0773366，三次線性插值法的指標值為0.0880511。根據(jù)這兩種不同的插值方法的評價為三次線性插值法的誤差比最鄰近插值的誤差大。關(guān)鍵字：三次線性插值法、最鄰近插值法、均方根誤差法一、問題重述 在實

4、際問題中，由于技術(shù)與測量成本等原因，我們不能對一個物體進行密集測量，而只能等間隔的選取部分點進行測量。所以我們要對已知位置的數(shù)據(jù)進行插值求其他位置的數(shù)據(jù)。已知某空間三維體電阻率數(shù)據(jù)，每一行為一個數(shù)據(jù)點，第一列為x坐標，第二列為y坐標，第三列為z坐標，第四列為對應坐標點的電阻率值。 首先給出兩種插值方法對數(shù)據(jù)進行插值，使坐標網(wǎng)格大小為10m*10m*10m的三維電阻率數(shù)據(jù)通過插值加密后獲得網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的數(shù)據(jù)。給出相應的數(shù)學公式，保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，極值出現(xiàn)的坐標位置也相同，并對此進行證明。另外，必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)三維

5、成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致，只是前者像素更高。然后用所選的兩種方法分別計算出空間某點(45.8,-32.7,68.2)處的電阻率數(shù)值。接著分別計算出網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，給出計算流程，并對兩種方法的計算量或計算復雜性進行評估。同時給出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及采用兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差。用顏色圖對加密網(wǎng)格后的直觀效果進行展示。顏色圖就是用不同的顏色來表示每個像素。對每一幅需要對比顯示效果的圖，將最小值置為純藍色（RGB為(0,0,255)），中間值置為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值置為純紅色（RGB為(255,0,0)），中間數(shù)值

6、采用過渡的顏色。采用這種方法，對切片Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)和兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對比圖。另外分別對切片X=82，Y=47, Z=88 ，請給出兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。最后對不同的插值加密方法的效果，給出定量的指標。對給出的指標，分別計算出采用的兩種不同加密方法得到數(shù)據(jù)的指標值，并給出評價。二、問題假設(shè)與符號說明2.1問題假設(shè)1、假設(shè)原始數(shù)據(jù)沒有誤差；2、假設(shè)測量數(shù)據(jù)在同一條件下獲??；3、假設(shè)插值后數(shù)據(jù)的條件與原數(shù)據(jù)獲取條件相同2.2符號說明電阻率空間中兩點距離;軸坐標；軸坐標；軸坐標；：觀測次數(shù)；：原數(shù)據(jù)的電阻率，；：插值后的電阻率，；：均方根誤差；模型的建立與求解問題一：給

7、出兩種插值方法對數(shù)據(jù)進行插值，使坐標網(wǎng)格大小為10m*10m*10m的三維電阻率數(shù)據(jù)成為網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的數(shù)據(jù)。給出相應的數(shù)學公式，保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，極值出現(xiàn)的坐標位置也相同，并對此進行證明。另外，必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致，只是前者像素更高。問題分析與思路：（1）畫出所給數(shù)據(jù)的三維圖，然后對圖形進行四種插值。（2）計算四種方法插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值和位置與原來的極值和位置是否發(fā)生改變，選取出沒有改變的兩種插值方法。（3） 用所選的兩種方法分別計算出空間（45.8，-3

8、2.7，68.2）處的電阻率數(shù)值。模型建立：1、最鄰近插值法：這樣對于任何一個電阻率值P都有它所對應的坐標這三個參數(shù)，其表達式為： 任何一個電阻率值P都可以由這三個參數(shù)張成的三維空間中的一個點來表示，該空間中任意兩點之間距離可以表示為歐幾里得距離，即對空間中任意兩點它們之間的距離為：可以認為該空間中兩點之間的距離越近，屬性值的差異就越小，因此可以使用離未知點最經(jīng)的已知點的電阻率值來估計未知值，也就是最鄰近插值。設(shè)插值點到周邊鄰點 的距離為，則，距離公式的一般化為：對于一個目的像素，設(shè)置坐標通過反向變換得到的浮點坐，其中均為浮點坐標的整數(shù)部分，為浮點坐標的小數(shù)部分，是取值0,1）區(qū)間的浮點數(shù)，則

9、這個像素得值）可由原圖像中坐標為 所對應的周圍四個像素的值決定，即；2、三次線性插值法：先沿軸插值： 再沿軸進行插值： 最后沿軸插值： 求得：； ； ； ； ；模型求解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用matlab畫出的圖像如下：圖像一 :原數(shù)據(jù)圖像對圖像一分別進行樣條插值、最鄰近插值、三次線性插值、三次立方插值四種方法插值。由matlab計算出，最鄰近插值法與三次線性插值法的極值與位置都沒發(fā)生改變，所以我們選取這兩種方法進行計算。插值后的圖像為：圖像二：最鄰近插值法插值后圖像圖像三： 三次線性插值插值后圖像接下來，用選出的兩種方法通過matlab計算出空間（45.8，-32.7,68.2）處的電阻率為：表

10、1：兩種插值方法計算出（45.8，-32.7,68.2）處的電阻率最鄰近插值法三次線性插值電阻率192.0526192.7989問題二：利用（1）中兩種方法計算出的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，給出計算流程，同時給出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及采用兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差。并對兩種方法的計算量或計算復雜性進行評估。問題分析與思路：（1）計算出的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)；（2）最鄰近插值法與三次線性插值法插值的計算流程；（3）給出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及采用兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差；（4）對兩種方法的計算量或計算復雜性進行評估；模型建立：設(shè)為平均值為樣本總數(shù)，為方

11、差兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差公式為：平均值： 標準差為： 模型求解：計算出的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)見附錄；用最鄰近插值法與三線性插值法插值的計算流程為： 用matlab求出的原網(wǎng)格數(shù)據(jù)、最鄰近插值法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)和三維線性插值法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差如下：表2：兩種方法加密網(wǎng)格前后數(shù)據(jù)的平均值與標準差平均值標準差原圖像197.26913.7332最近鄰插值法加密后192.0530三次線性插值法加密后192.799 0模型評估： 三次線性插值被分解為七次線性插值，而一次線性插值各需兩次乘法和兩次加法，故每計算一個新采樣點共要14次乘法和加法。而最鄰近插值，

12、又叫零階插值，算法相對比較簡單。問題三：對加密后的網(wǎng)格用不同的顏色來表示每個像素，既采用顏色圖展示。對每一幅需要對比顯示效果的圖，將最小值置為純藍色（RGB為(0,0,255)），中間值置為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值置為純紅色（RGB為(255,0,0)），中間數(shù)值采用過渡的顏色，可自行設(shè)計。采用這種方法，對切片Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)，兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對比圖。另外分別對切片X=82，Y=47, Z=88 ，給出兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。問題分析與思路：（1）用不同的顏色來表示加密網(wǎng)格后的每個像素。按照題目給定義的顏色給出加密前后的對比顯示效果的圖；（2）采

13、用以上方法，求出Z=0、50切片圖與原數(shù)據(jù)；（3）對比兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色圖，看運用哪一種插值方法的顏色圖比較清晰；（4）對X=82，Y=47, Z=88做切片，給出并比較兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖；問題求解：按照題目對顏色的要求最小值置為純藍色，中間值置為純綠色，最大值置為純紅色，中間數(shù)值采用過渡的顏色，可自行設(shè)計。用matlab給出兩種方法的加密前后對比顯示效果圖，如下：圖像4：最鄰近插值法加密前后對比顯示效果圖圖像5：三次線性插值法加密前后對比顯示效果用matlab求出Z=0、50的切片為：圖像6；圖像7：原數(shù)據(jù)見附錄根據(jù)顏色圖可見三次線性插值法比最鄰近插值法更清晰。然后用ma

14、tlab做出X=82，Y=47, Z=88的切片圖為：圖像8：（1）X=82（2）Y=47（3）Z=88比較上圖可見，在保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，且極值出現(xiàn)的坐標位置也相同的情況下，用三次線性插值法加密的圖比用最鄰近插值法加密的圖更加清晰。問題四：對不同的插值加密方法的效果給出定量的指標。對所給出的指標，分別計算出采用的兩種不同加密方法得到數(shù)據(jù)的指標值，并給出評價。問題分析與思路：（1） 對加密方法的效果給出定量的指標；（2） 計算出所選的兩種加密方法得到的數(shù)據(jù)的指標值；（3） 通過指標值對兩種方法進行評價；模型建立：均方根誤差是觀測值與真值偏差的平方和觀測次數(shù)比

15、值的平方根，在實際測量中，觀測次數(shù)總是有限的，真值只能用最可信賴值來代替，方根誤差能夠很好地反映出測量的精密度。首先按照原數(shù)據(jù)給出的坐標值的順序?qū)ζ鋵碾娮杪蔬M行編號，觀測次數(shù)，設(shè)原數(shù)據(jù)的電阻率為，用matlab按坐標順序取出插值后的電阻率設(shè)為，為均方根誤差。均方根誤差為：模型求解：利用matlab求出均方根誤差的值為：表2：最鄰近插值法三次線性插值均方差0.07733660.0880511由上表可見的最鄰近插值均方根小于三次線性插值的均方根，所以說三次線性插值法的誤差比最鄰近插值的大。模型比較（1）在計算量方面：三次線性插值被分解為七次線性插值，而一次線性插值各需兩次乘法和兩次加法，故每計

16、算一個新采樣點共要14次乘法和加法。而最鄰近插值，又叫零階插值，算法相對比較簡單。所以三次線性插值比最鄰近插值復雜。（2）在插值效果方面： 用三次線性插值后的圖像的比最鄰近插值后的圖像更加清晰。（3）在均方根誤差方面： 三次線性插值的均方根誤差值比最鄰近插值的均方根誤差值大，說明三次線性插值后的數(shù)值與原數(shù)據(jù)的誤差大于最鄰近插值的誤差。模型評價評價：使用三線性插值，可以消除Mip-Mapping里紋理切換（既上一幀時用的是某個大小的一塊紋理，而下一幀時又換了一塊的情況）時的突然變化，從而可以提供很平暢的高質(zhì)圖像輸出。同前兩種技術(shù)相比，三線性插值的運算量非常大，目前只能依靠硬件來實現(xiàn)。雙線性插值紋理映射的實現(xiàn)，最簡單的插值算法是最鄰近插值，也稱為零階插值。它輸出的像素灰度值就等于距離它