國泰金龍債券證券投資基金-中國證券報

1、 淺談數(shù)學(xué)中的變形技巧 目 錄摘要IABSTRACTII第一章 緒論1第二章 數(shù)學(xué)變形的概述12.1 什么是數(shù)學(xué)變形12.2 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本方法2第三章 變形技巧在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用23.1 一元二次方程的變形技巧33.2 三角函數(shù)的變形技巧43.3 “0”的變形技巧73.4 “1”的變形技巧9第四章 代數(shù)變形中常用的技巧114.1 代數(shù)恒等式和恒等變形114.2 代數(shù)中常見的變形124.2.1 整式變形124.2.2 分式變形134.2.3 根式變形184.2.4 指數(shù)變形214.2.5 對數(shù)變形224.2.6 復(fù)數(shù)變形23第五章 結(jié)論24參考文獻25致謝26淺談數(shù)學(xué)中的變形技巧學(xué)

2、生:馮繼東 指導(dǎo)老師:鄭宗劍摘要 變形是數(shù)學(xué)解題活動中最基本而又常用的方法,它既靈活又多變,一個公式,一個法則,它的表述形式是多種多樣的變形是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段,是化歸轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準備階段,它屬于技能性的知識,當然存在著技巧和方法,也就需要人們在學(xué)習數(shù)學(xué)的實踐中反復(fù)操練才能把握,乃至靈活應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中,為了完成論證求值化簡等的任務(wù),常要對某些式子進行恒等變形,但是恒等變形又無一定之規(guī),一個式子往往有多種可能的變形方向,因題而異,技巧性非常強本文主要介紹了變形技巧在初等數(shù)學(xué)和代數(shù)中的一些應(yīng)用掌握好并靈活應(yīng)用這些技巧,可以很快確定解題方向,減少解題的盲目性,提高解題效率關(guān)鍵詞

3、:初等數(shù)學(xué);代數(shù);變形;技巧THE DEFORMATION SKILLS DISCUSS MATHEMATICSstudent: FengJidong Supervisor:Zheng ZongjianABSTRACT Deformation is mathematics problem-solving activities in the most fundamental and commonly used method, it is flexible and changeable, a formula, a law, its expressions are diverse. Deformat

4、ion is to achieve some purpose or need but adopt of a kind of means, is the return, conversion and Lenovos preparation phase, it belongs to skills sex knowledge, of course there is need techniques and methods in learning mathematics people can grasp to dill as much as possible in practice, and flexi

5、ble application. In mathematics problem-solving, in order to complete the demonstration, evaluated, reduction etc task, often to some, but were identical deformation distributed-group management then deformation and no sure formula for success, identical distributed-group management then often have

6、several possible a deformation of the problem and the direction, because different, craft was very strong. In this paper mainly introduced the deformation skills in elementary mathematics and some application of algebra. Mastering and flexible application of these techniques, can quickly determine t

7、he direction of solving problem solving, reduce blindness, improve the problem solving efficiency. Key words: elementary maths , algebraic, transformation, technique26第一章 緒論數(shù)學(xué)是一個有機的整體,各部分之間相互聯(lián)系相互依存相互滲透,從而構(gòu)成了一個相互交錯的立體空間.所以為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習中的運算能力邏輯能力推理能力空間想象能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析解決實際問題的能力,除了對各單元知識,及一些開放探索性問題,實踐應(yīng)用性問題等綜合

8、內(nèi)容進行系統(tǒng)復(fù)習外,在最后階段的復(fù)習中,應(yīng)對常用的數(shù)學(xué)方法和重要的數(shù)學(xué)思想引起重視,并有意識的運用一些數(shù)學(xué)方法去解決問題,這樣才能使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習提高到一個新的層次新的高度.常用的數(shù)學(xué)方法,是針對不同的數(shù)學(xué)知識而定的一種策略.不同的問題可以用不同的方法,相同的問題也可以有各種不同的方法(即所謂的一題多解).各種數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)知識一樣,是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中積累起來的寶貴精神財富,并且是數(shù)學(xué)知識所不能替代的.近些年來,在中學(xué)數(shù)學(xué)考試中的考試題目越來越新穎,特別是在中考,高考的試題當中,要使考生在短短的兩小時之類完成所有的題量,這無疑對大部分考生來說是很難完成的.有些試題的技巧性又非常強,考生一味的再上

9、面鉆牛角尖的話,這不但會浪費很多時間,甚至到最后還可能得不到正確的答案.所以我們有必要針對有些題采取正確的解題技巧,對有些題作出一些變形,這不僅能使試題變得簡單明了,而且還能使我們做起題來得心應(yīng)手,更增加了我們的解題信心和提高了對數(shù)學(xué)的興趣.本文從先對數(shù)學(xué)中變形進行概述性介紹,接著主要從變形技巧在初等數(shù)學(xué)和代數(shù)中的一些具體的應(yīng)用加以闡述說明.第二章 數(shù)學(xué)變形的概述2.1 什么是數(shù)學(xué)變形什么是數(shù)學(xué)變形,這是一個很模糊的概念,總而言之,它是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段,是化歸轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準備階段.它屬于技能性的知識,既靈活又多變,一個公式,一個法則,它的表述形式是多種多樣的.當然它也存在

10、著技巧和方法,也就是人們在學(xué)習數(shù)學(xué)的實踐中反復(fù)操練才能把握,乃至靈活應(yīng)用.2.2 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本方法 1邏輯學(xué)中的方法例如分析法(包括逆證法)綜合法反證法歸納法窮舉法(要求分類討論)等.這些方法既要遵循從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則,又因運用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色.2數(shù)學(xué)中的一般方法例如建模法消元法降次法代入法圖像法(也稱坐標法.代數(shù)中常用圖像法,幾何中常用坐標法)向量法比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小,這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)放縮法同一法數(shù)學(xué)歸納法(這與邏輯學(xué)中的不完全歸納法不同)等.這些方法極為重要,應(yīng)用也很廣泛.3數(shù)學(xué)中的特殊方法例如配方法待定系數(shù)法加減法公式法換元法(也稱之

11、為中間變量法)拆項補項法(含有添加輔助元素實現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)因式分解諸方法,以及平行移動法翻折法等.這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時起著重要作用,不可等閑視之.而變形也是數(shù)學(xué)中一種重要的方法之一.第三章 變形技巧在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用變形是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解題活動中最基本而又常用的方法.它既靈活又多變,一個公式,一個法則,它的表述形式是多種多樣的.例如勾股定理可表述為,亦可表述為,等.若問,這顯然是一個不屑回答的問題,但若問就成了最富靈活性的問題,例如,等.可見“變形”實在是一個內(nèi)涵十分豐富的概念,在某些著名的數(shù)學(xué)問題解決中,變形技巧的巧妙運用也是至關(guān)重要的一環(huán).我們在數(shù)學(xué)解題中,為了完成論證求值化簡等

12、的任務(wù),常要對某些式子進行恒等變形,但是恒等變形又無一定之規(guī),一個式子往往有多種可能的變形方向,因題而異,技巧性非常強.本文主要介紹一元二次方程,三角函數(shù),“0”,“1”等的變形應(yīng)用,希望對這幾方面的變形應(yīng)用的介紹,對于其他的解題變形能起到拋磚引玉的功效.下面我們來談?wù)勥@幾種變形技巧的應(yīng)用.3.1 一元二次方程的變形技巧對有些含有(或可轉(zhuǎn)化)一元二次方程的代數(shù)問題,如能對方程進行適當變形并施以代換,則常?？墒箚栴}化繁為簡.下面列舉例子說明.例 1.1 已知是方程的兩根,求的值.解:因為是方程的根 ,則,所以,又因為,是方程的兩根,分析:如果要求出,的值,那么就很復(fù)雜,而且容易出錯,在這里通過變

13、形的技巧先從結(jié)論出發(fā)這樣可以提高解題的效率,節(jié)省時間.例1.2 若,是一元二次方程的兩個根,求 的值.解:由題設(shè)得,及,=分析:通過觀察要求的結(jié)論可知,只要對要求的結(jié)論作一下變形,則這道題目便可以輕易解決.不必求出和的值.例1.3設(shè)實數(shù)分別滿足,并且,求 的值.解:由題設(shè)可得,.兩式相除,得.由比例的基本性質(zhì),得,整理得,即因為,所以, = 分析:通過仔細的觀察可知只要對已知條件,進行變形,再利用比例的基本性質(zhì)即可解決這道題.總結(jié):我們在解決一元二次方程的代數(shù)問題時,首先要認真仔細地觀察題目的已知條件和所要求的式子,觀察他們之間有什么特點,然后再充分利用已知條件來解決所要求的問題.特別是要靈活

14、應(yīng)用韋達定理:即如果,為方程的兩個根,則,.在解這類題目時,可以先從已知條件出發(fā),也可以從結(jié)論入手.關(guān)鍵是要善于觀察所要求式子的特點.3.2 三角函數(shù)的變形技巧三角函數(shù)是初等函數(shù)的重要組成部分,它與初等函數(shù)初等幾何的關(guān)系十分密切.特別是三角函數(shù)的求值問題,而三角函數(shù)求值的關(guān)鍵是合理地進行三角恒等式的變形,其基本思路是“三看”,即一看角二看函數(shù)名稱三看結(jié)構(gòu)特征.除此之外,我們還常常應(yīng)用代數(shù)的技巧和構(gòu)造法,為三角恒等變形創(chuàng)造條件.例2.1 已知,求的值.解:原式= = = = =0分析:除了這里的外,還有以下等式也經(jīng)常用到:,靈活運用這些等式,可以使許多三角函數(shù)問題得到簡化.例2.2 已知,求的值

15、.解:= = = =2分析:對于正切和角公式可正用也可逆用.而,為變形形式.這里是公式的變形應(yīng)用.例2.3(2002年北京春)在中,已知角成等差數(shù)列,求的值.解:因為成等差數(shù)列,由兩角和的正切公式,得分析:本例是正切公式變形的應(yīng)用.在歷年高考題中,曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形應(yīng)用,讀者在學(xué)習中一定要總結(jié)體會.例2.4 (1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)試求的值.解:注意到,我們可以通過構(gòu)造對偶式,以減少三角變換的難度.再觀察所求三角函數(shù)式,不難發(fā)現(xiàn)它與余弦定理非常相似,所以我們還可以通過構(gòu)造三角形,使問題得到整體的解決.【方法一】設(shè),則,= = 兩式相加,得,即=【方法二】原式=構(gòu)造,

16、使,外接圓直徑,則由正玄定理,得,.又由余弦定理,得,即故=說明:這里通過構(gòu)造對偶式和三角形來求三角函數(shù)式的值是一種較高的變形技巧.總結(jié):三角函數(shù)式的恒等變形是學(xué)習三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識的重要知識.它包括化簡三角函數(shù)式,求三角函數(shù)式的值,證明三角恒等式等.三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)恒等變形的一般方法和法則,三角函數(shù)式的變形公式.變形中要注意三角函數(shù)定義域和值域的要求,以及符號的變化和選擇.3.3 “0”的變形技巧恩格斯在自然辯證法一書中指出:“零不只是一個非常確定的數(shù),而且它本身比其他一切被要所限定的數(shù)都更重要,事實上,零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容零乘以任何一個數(shù),都使這個數(shù)變?yōu)榱?

17、零除以任何一個不等于零的數(shù),都等于零,”由于零具備許多特殊的性質(zhì),因此,在解題活動中我們?nèi)裟芏噙@些特性加以注意,對于解題的順利進行是大有幫助的,下面我們舉例幾個“0”的特性在解題中的應(yīng)用.例3.1 若,求證.證明:因為,又因為,故分析:通過觀察可發(fā)現(xiàn)可以變形為,即式子加了.則再利用不等式的性質(zhì)可方便解決這道題.例3.2 在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,求證:當時,.證明:(分子上加“0”)=分析:本題主要在變形,即分子加上0,再利用不等式和等差數(shù)列的有關(guān)知識去解即可.例3.3 在數(shù)列中,求(1)通項,(2)前項的和.解:(1)令,為的前項和,則是首項為5,公差為2的等差數(shù)列.因為,=所以,(2) =

18、=分析:本題主要應(yīng)用了,一直到然后再利用等差數(shù)列的知識便可解決這道題目.總結(jié):“0”是一個很有用的數(shù)字,在數(shù)學(xué)解題中若能靈活應(yīng)用它,則會幫助我們順利地解題.如果有些題目可以借助“0”來解決,我們應(yīng)該充分利用“0”的有關(guān)特性去解決.這樣可以很快確定解題方向,提高解題效率.3.4 “1”的變形技巧眾所周知“1”的變形表述形式是十分豐富的,在數(shù)學(xué)問題的求解活動中,如果我們善于捕捉“1”,恰當?shù)赜谩?”來解決數(shù)學(xué)問題,會使問題的解決顯得十分的簡潔明了.下面我們來看它的應(yīng)用.例4.1 化簡.解:原式=1說明:本題充分利用使問題巧妙解決.本題也可以用三角函數(shù)的知識來解答,但是比較麻煩.例4.2 若,求證.

19、分析:由均值不等式有 (1)(1)式左邊是個正數(shù)之積,右邊是的次乘方,而求證式左邊是個正數(shù)的積,但任何數(shù)乘以1其值不變,因此,我們可以在求證式的左邊乘以個1,將其視為正數(shù)之積.證明:=說明:這里的有個.例4.3 在等差數(shù)列中,公差,設(shè),則=( ).解:因為所以 故 =分析:這里巧妙的運用1使問題得以解決.即式子變形為而這里的.例4.4 設(shè),求證.解:(1)若,中有兩個或三個為負, 不妨設(shè),則,即矛盾,因而,中至多有一個為負.(2),中只有一個為負時,不等式顯然成立.(3)當,均為非時, = 同理故分析:這道題如果不認真去思考,那么將很容易遺漏(1)和(2)這兩種情況.即要討論,這三個數(shù)的正負情

20、況.而第三種情況用到了1和0的變形技巧,即用到了1的變形技巧,而用到了0的變形技巧.然后再利用不等式的性質(zhì)便可解決這道題.總結(jié):通過以上的例子可以看出,如果借助“1”來解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,則效率非常高,因為“1”的變形是多種多樣的,對不同的題目,“1”的變形是不同的.有些題目若能利用“1”來求解,那么我們應(yīng)該靈活應(yīng)用“1”去解決.第四章 代數(shù)變形中常用的技巧4.1 代數(shù)恒等式和恒等變形兩個代數(shù)式AB如果對于其中所含字母的一切允許值它們對應(yīng)的值都相等,則稱這兩個代數(shù)式恒等,記作A B或A B,把一個代數(shù)式換成另一個和它恒等的代數(shù)式,叫做代數(shù)式的恒等變形.恒等變形是代數(shù)的最基本知識,是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)

21、的基礎(chǔ),恒等變形的理論依據(jù)是運算律和運算法則,并按各運算法則在其定義域內(nèi)進行變形.代數(shù)恒等變形技巧是學(xué)習與掌握代數(shù)的重要基礎(chǔ),這種變形能力的強弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展.代數(shù)恒等變形實質(zhì)上是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段,是化歸轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準備階段,它屬于技能性知識,當然存在著技巧和方法,也就需要人們在學(xué)習代數(shù)的實踐中反復(fù)操練才能把握,乃至靈活與綜合應(yīng)用.中學(xué)生在平時的學(xué)習中不善于積累和總結(jié)變形的經(jīng)驗,在稍復(fù)雜的問題面前常因變形方向不清,而導(dǎo)致常規(guī)的化歸轉(zhuǎn)化工作難以實施,甚至失敗,其后果直接影響著應(yīng)試的能力及效率.代數(shù)恒等變形包括的內(nèi)容比較多,本章將著重闡述代數(shù)運算和解題中常見的變形技

22、巧及應(yīng)用.4.2 代數(shù)中常見的變形代數(shù)中常見的變形有整式變形分式變形根式變形對數(shù)變形指數(shù)變形復(fù)數(shù)變形等等,而各種變形中所用的方法又多種多樣,下面我們將具體介紹.4.2.1 整式變形整式變形包括整式的加減乘除因式分解等知識.這些知識都是代數(shù)中的最基礎(chǔ)的知識.有關(guān)整式的運算與化簡求值,常用到整式的變形.例4.1 化簡分析:此題若按常規(guī)方法先去括號,再進行合并同類項進行恒等變形的話,計算會復(fù)雜.而通過觀察發(fā)現(xiàn)此題是一個輪換對稱多項式,就其特點而言,若用換元法會使變形簡單,從而也說明了換元法是變形的一種重要方法.解:設(shè),則,.于是原式=0例4.2 分解因式(1),(2).分析:本題的兩個小題,若按通則

23、變形,則困難重重,不知從何下手,但從其含平方項來研究,考慮應(yīng)用配方法會使變形迎刃而解.(1)題先將括號展開,并把拆成和,再分組就可以配成完全平方式.(2)題用添項減項法加上再減去,即可配方,然后再進行變形分解.解:(1)原式= = = = (2)原式= = = 以上兩例充分說明了,配方法因式分解法換元法都是恒等變形的方法與基礎(chǔ),它們都是學(xué)習數(shù)學(xué)的有力工具,是解決數(shù)學(xué)問題的武器.因此,這些變形技巧必須熟練掌握.4.2.2 分式變形眾所周知,對學(xué)生而言,分式的變形較為復(fù)雜,也很講究技巧.通分化簡是常規(guī)方法,但很多涉及分式的問題僅此而已是不夠的,還需要按既定的目標進行變通,這時將分式分解成部分分式分

24、離常數(shù)分子變位等便成了特殊的技巧,靈活應(yīng)用這些變形技巧便會使問題迎刃而解.有關(guān)分式的計算化簡求值證明,常常采用分式的變形技巧.(一) 將已知條件變形,再直接代入例4.3 已知,并且, 試求的值.分析:此題若按常規(guī)方法,把已知條件直接代入所求進行計算,計算會很復(fù)雜,也不容易求得正確答案.通過觀察已知和未知的式子,考慮將已知條件進行變形,再整改代入未知中去,計算起來比較簡單.因此,對已知條件進行變形也是非常必要的.解:由已知得,所以,同理,所以原式= (二) 應(yīng)用比例的基本性質(zhì)進行恒等變形例4.4 已知,求的值.解:由已知條件知,把已知條件中的等式變形并利用等比性質(zhì)消去,得 原式= (三) 利用倒

25、數(shù)知識進行恒等變形例4.5已知,為實數(shù),且,求的值.解:顯然均不為零,故將三個條件分式兩邊分別取倒數(shù),得:,再逆用公式加法法則變形得:,三式相加得,再通分變形得兩邊取倒數(shù)得,所以原式=本題多次應(yīng)用了通分,逆用通分,取倒數(shù)等恒等變形,使問題得到了解決,說明這些方法都是代數(shù)變形的重要方法,這些技巧應(yīng)理解掌握.(四) 利用常值代換進行變形例4.6已知,求的值.解:原式= =1本題的解法很巧,若將所求通分化簡,再代入已知或?qū)⒁阎冃卧俅胨蠖疾灰浊蟪鼋Y(jié)果.習慣上是將字母換成數(shù),而此題是將數(shù)代換成字母,反而收效較好.因此,常值代換也是恒等變形的重要技巧.(五) 利用設(shè)比例系數(shù)進行恒等變形例4.7 已知

26、,求的值.解:設(shè),則,原式=0此變形是解有關(guān)等比問題的重要技巧.(六) 利用添項拆項進行恒等變形例4.8 已知,求的值.解:由,知,故原式=(七) 利用運算定律進行恒等變形例4.9 求值解:原式= = = =885(八) 利用整體代換思想進行變形例4.10 已知,求的值.分析:此題若用常規(guī)方法先求出的值,再代入中進行計算是很繁的,如果注意到運用立方和公式及整體代換進行變形,問題就很簡單了.解:由,可知,故原式=本題還運用了配方,等式兩邊除以同一個不為零的數(shù)的變形技巧,這樣做的目的是使已知條件與所求式之間的關(guān)系更加明朗化,便于代入,使運算更簡便.(九) 利用逆用通分進行恒等變形例4.11 化簡.

27、分析:這類問題在通常情況下是整體通分,但本題這樣做顯然很繁,若在每個分式中逆用通分進行“裂項”的恒等變形,則十分簡捷.解:原式= =(十) 利用分離常數(shù)的方法進行恒等變形例4.12 解方程.分析:如果按照常規(guī)思路整體去分母,顯然運算很復(fù)雜,若采用分段化簡,分離常數(shù),可化繁為簡.解:原方程可化為即再進行變形得 (十一) 利用換元再約簡的方法進行恒等變形約分是分式化簡的重要手段之一,這樣變形技巧貫穿整個分式的學(xué)習過程中.例4.13 化簡.解:設(shè),則原式= (十二)利用主元代入及消元思想進行恒等變形例4.14 若,則=( ).(A) (B) (C) (D)解:以為主元,由已知得,利用消元變形求得,原

28、式= 故選(D)由以上的論述可知:分式的變形一般有三種思路,先變形條件,以便運用;先化簡待求式,這是為了利用條件;將條件和待求式同時變形,容易看出二者的關(guān)系.也就更容易找到變形技巧,使變形簡單明了,更具可操作性.4.2.3 根式變形有關(guān)根式的計算比較大小化簡求值等,經(jīng)常應(yīng)用到根式的變形技巧,特別是二次根式的運算,它是中學(xué)代數(shù)中的一個難點,不少題目用常規(guī)方法去解比較繁瑣,所以解題中要根據(jù)題目的特點,巧用一些運算技巧,才能達到事半功倍的效果.(一)巧用運算性質(zhì)進行恒等變形例4.15 計算.分析:逆用運算性質(zhì),再用平方差公式.解:原式= = =(二)巧用因式分解進行恒等變形例4.16 計算.解:原式

29、= = = =(三)利用分母有理化進行恒等變形例4.17 計算.解:原式= = = =(四)巧用平方進行恒等變形例4.18 化簡.解: =又 (五)利用拆項技巧進行恒等變形例4.19 計算.解:原式= = (六)利用換元技巧進行恒等變形例4.20 化簡.解:設(shè),則原式=(七)利用配方法進行恒等變形例4.21 化簡.分析:本題若采用分母有理化,計算會很復(fù)雜,若采用將分子配方,再分解因式后,與分母約分的方法會很簡單.解:原式= = =(八)利用分子有理化進行恒等變形例4.22 不求根式的值,比較與的大小.解:以上所述的這些二次根式的變形技巧,在解決二次根式的問題時,有很大的用處,因此,它作為一種代

30、數(shù)變形技巧應(yīng)被很好的掌握.4.2.4 指數(shù)變形 有關(guān)指數(shù)的變形,一般都是利用冪運算法則進行較簡便,而對一些比較大小的題目,就更講究變形的技巧,主要是將底數(shù)變?yōu)橄嗤?或?qū)⒅笖?shù)變?yōu)橄嗤?(一) 放縮變形例4.23 設(shè),則是( ).(A)不大于的數(shù) (B)不小于的數(shù) (C)絕對值大于且小于的數(shù) (D)解: =故選(B)(二) 利用開方進行變形例4.24 ,的大小關(guān)系為( ).(A) (B) (C) (D)解:,故選(B)(三) 利用乘方進行變形例4.25 設(shè),則的大小關(guān)系是( ).(A) (B) (C) (D)解:,又 ,故選(C)(四)利用求商進行變形例4.26 已知,則的大小關(guān)系是( ).(A)

31、 (B) (C) (D)解:,同理,所以故選(A)上述四例充分說明了,指數(shù)變形技巧在解題中的作用和地位,離開了這些變形技巧,解題思路就會受阻,解題無從下手,因此變形技巧在解題中起著舉足輕重的作用.4.2.5 對數(shù)變形在對數(shù)式的恒等變形中,應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)間的相互關(guān)系,靈活運用運算法則進行化簡和計算.對數(shù)的變形主要考慮換底和底數(shù)的選擇.例4.27 討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.分析:直接利用單調(diào)性的定義進行探索,變形極易受阻,所以,利用對數(shù)換底公式進行變形,可供選擇的底數(shù)有和,但未完全具備對數(shù)底數(shù)的資格,故選擇以為底進行變形.解:據(jù)及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則知,原函數(shù)在區(qū)間(,)

32、和區(qū)間(,)上均為減函數(shù).由此便可知本例的答案.證明請自己試試.4.2.6 復(fù)數(shù)變形復(fù)數(shù)的變形技巧對解題的繁簡有著決定的作用,比較有典型的有三角變形,代數(shù)變形,運用模與共軛的性質(zhì)進行變形,運用虛根進行變形.例4.28 已知,是兩個不相等的非零復(fù)數(shù),設(shè),.(1)若是純虛數(shù),求證: ;(2)若,試判斷與的大小關(guān)系.證明:(1)是純虛數(shù) ,即 將,代入便可變形出; (2)由得, ,非零,所以,從而 = 同理可得 故代數(shù)恒等變形必須根據(jù)運算法則和運算律進行,必須遵循運算法則,并按運算法則在其定義域內(nèi)進行.變形要保證正確合理,推理運算要簡明,避免繁雜,變形還有適用,具有可操作性.上面所論述的六大類二十多

33、種變形技巧都能符合代數(shù)變形的基本要求,都從不同的側(cè)面說明了代數(shù)變形的技巧.總之,代數(shù)變形的方法與技巧遠遠不止于以上這些,但上述幾種是最基礎(chǔ)的,最本質(zhì)的,也是最常用的變形技巧,若在平時的學(xué)習及教學(xué)中,能留意用上這些變形技巧,并長期積累與消化,對我們提高分析問題與解決問題的能力是很有好處的,同時也就有良好的思維品質(zhì)形成.第五章 結(jié)論由于中學(xué)數(shù)學(xué)的改革及社會發(fā)展的需求,以及提高我們的應(yīng)試能力和解決實際問題的能力,數(shù)學(xué)變形技巧作為一種解題的手段越來越被人們所喜愛,但是它并無一定之規(guī),所以這就需要我們在平時的學(xué)習中加以運用和積累.本文對中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等數(shù)學(xué)和代數(shù)中的一些變形技巧加以梳理歸類,利用大量的例子來闡述說明.這也無疑對我未來的中學(xué)教師生活起著指導(dǎo)性的作用,在中學(xué)數(shù)學(xué)中熟練掌握了基本的變形技巧,這會使你在解題時得心應(yīng)手,甚至會提高你對數(shù)學(xué)的興趣和增強對數(shù)學(xué)學(xué)習的信心.我們在解數(shù)學(xué)題得過程中難免會遇到這樣那樣的問題,那么我們應(yīng)該怎么樣去解決才使問題變得簡單