北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明(提高)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、第一章 三角形的證明一、八條基本事實(shí)1、兩點(diǎn)確定一條直線;2、兩點(diǎn)之間直線最短;3、同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;4、同位角相等,兩直線平行;5、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行;6、兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS);7、兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(ASA);8、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS);二、平行線的判定和性質(zhì)判定:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).三、全等三角形判定定理: 1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS) 2、有兩

2、邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS) 3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA) 4、有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS) 性質(zhì):全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等。三角形全等常用來證明線段或角相等。例:如圖,ABC中,AC=BC,ACB=90,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上,CD=CE,BD的延長(zhǎng)線交AE于點(diǎn)F,連CF.(1)證明:;(2)證明:.練習(xí):1、在四邊形ABCD中,AC=AB,DC=DB,CAB=60,CDB=120,E是AC上一點(diǎn),F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BF(1)求證:DE=DF;(2)若G在AB上且EDG=60,求證CE+BG=EG;

3、2、如圖,在ABC中,AB=AC、D是AB上一點(diǎn),E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BD,連結(jié)DE交BC于F。猜想DF與EF的大小關(guān)系并請(qǐng)證明你的猜想。3、如圖,RTABC中,ACB=90,ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P,過P作PFAD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H.(1)求的度數(shù);(2)證明:. 四、等腰三角形1、性質(zhì)定理:等腰三角形有兩邊相等;(定義) 定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角)。 例題:1、點(diǎn)P是等邊三角形ABC所在平面上一點(diǎn),若P和ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所組成的PAB、PBC、PAC都是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )A1, B4, C7, D102、如圖,等腰

4、三角形ABC中,AB=AC,A=20,D為AB邊上一點(diǎn),且AD=BC求CDB的度數(shù)。練習(xí):1、等腰三角形ABC中,AB=AC,D為BC上的一點(diǎn),且BD=AD=DC,那么B的度數(shù)為 。2、如圖在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)P在x軸上,若以P,O,A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)P共有()A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)3、等腰三角形一腰長(zhǎng)為5,一邊上的高為3,則底邊長(zhǎng)為 4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A1,A2,A3,和B1,B2,B3,分別在直線y=kx+b和x軸上OA1B1,B1A2B2,B2A3B3,都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2,那么點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)是 ,點(diǎn)的縱

5、坐標(biāo)是 5、如圖,ABC中,AB =AC,點(diǎn)Q在AC上,在BA的延長(zhǎng)線上取AP=AQ,求證:PQ垂直于BC6、已知:如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底邊BC上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PEAB,PFAC,垂足分別為E,F(xiàn),過點(diǎn)B作BDAC,垂足為D求證:PE+PF=BD推論1:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 (三線合一)推論2:等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60。例:如圖,在RTABC中,ACB=90,ACBC,D為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)E,DF交BC于點(diǎn)F,且DEDF,過A作AGBC交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G(1)求證:;(2)若,求線段的長(zhǎng)練習(xí):1

6、、如圖,在ABC中,ABC=45,CDAB,BEAC,垂足分別為D、E,F(xiàn)為BC中點(diǎn),BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H,ABE=CBE(1)證明:;(2)證明:2、已知CE垂直于AB于E點(diǎn),1=2,AE=1/2(AD+AB),求證:ABC+D=1802、判定 定理:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊) 定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 定理:有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 3、反證法:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法 例1: 如圖所示,在邊長(zhǎng)為2 cm的正三角形ABC

7、中,E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BP、GP,則PBG的周長(zhǎng)的最小值是 例2:如圖,在等腰RTABC中,ACB=90,AC=CB,F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng),且始終保持AD=CE連接DE、DF、EF(1)求證:;(2)試證明是等腰直角三角形例3:如圖,等腰直角三角形ABC中,BAC=90,D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn),AD=AE, AFBE交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FGCD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)M。(1)證明:為等腰三角形;(2)證明:.練習(xí):1、如圖,已知ABC為等邊三角形,D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CE平分ACD,CE

8、=BD,求證:ADE為等邊三角形2、在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上,且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F,求DFC的度數(shù)五、直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩銳角互余;直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理); 在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半; 2、直角三角形判定有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形;如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形(勾股定理逆定理);3、互逆命題、互逆定理 在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題,其中一個(gè)命題稱為

9、另一個(gè)命題的逆命題. 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.注意:真命題的逆命題不一定為真,定理和逆定理均為真命題。4、直角三角形全等的判定斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”)。例1:如圖,ABC中,C=90,1=2,CD=3/2,BD=5/2,求AC的長(zhǎng)。例2:小明是一位善于思考的學(xué)生,在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,他將一副直角三角板如圖位置擺放,A、B、D在同一直線上,EFAD,A=EDF=90,C=45,E=60,量得DE=8,試求BD的長(zhǎng)例3:如圖,等邊ABC中,AO是BAC的角

10、平分線,D為AO上一點(diǎn),以CD為一邊且在CD的下方作等邊三角形CDE,連接BE。 (1)求證:; (2)延長(zhǎng)至, 為上一點(diǎn),連結(jié)、使, 若時(shí),求的長(zhǎng).練習(xí):1、如圖,在ABC中,ACB=90,D是BC的中點(diǎn),DEBC,CEAD,若AC=2,CE=4,則四邊形ACEB的周長(zhǎng)為 2、如圖2-5所示在等邊三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P點(diǎn),BQAD于Q求證:BP=2PQ3、如圖,是等邊的邊上一點(diǎn),是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接交 于,過點(diǎn)作于于點(diǎn).(1)證明:;(2)證明:.4、已知等腰RtABC中,ACB=90,AC=BC,點(diǎn)G在BC上,連接AG,過C作CFAG,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFCF于點(diǎn)

11、F,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接DE、DF(1)若CAG=30,EG=1,求BG的長(zhǎng);(2)求證:AED=DFE六、線段的垂直平分線 性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等; 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。(外心)判定:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。 例:1、如圖,ABC中,AB=AC,BAC=54,BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O,將C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則OEC大小為 ( )A134, B136, C108, D1122、在ABC中,AB的中垂線DE交AC于F,垂足為D

12、,若AC=6,BC=4,BCF的周長(zhǎng)為 。 3、如圖,在RTABC中,AB=AC,BAC=90,D、E為BC上的兩點(diǎn),DAE=45,F(xiàn)為ABC外一點(diǎn),且FBBC,F(xiàn)AAE。(1)證明:;(2)證明:.練習(xí):1、如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O,連接CE,則CE的長(zhǎng)為( )A3 B35 C25 D282、如圖,在RTABC中,ACB=900,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,CE的長(zhǎng)為 3、如圖所示,在ABC中,AB=AC,BAC=1200,D、F分別為AB、AC的中點(diǎn),DEAB,F(xiàn)GAC,E、G在BC上,B

13、C=15cm,EG的長(zhǎng)度為 。 4、(1)在ABC中,ABAC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長(zhǎng)線于M,A,求NMB的大?。?)如果將(1)中A的度數(shù)改為,其余條件不變,再求NMB的大?。?)你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性?試證明之.(4)將(1)中的A改為鈍角,對(duì)這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改ABCNMABCNMABCNM5、如圖1,已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),ACB=90,CAD=CBD=15,E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CE=CA。(1)求的大?。唬?)若點(diǎn)在上,如圖2,且,求證:. 七、角平分線。 性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 三角形三條角平分線相交于一

14、點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。(內(nèi)心)判定:在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。例:1、已知:如圖,BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,PEAB,PFAC,垂足分別為E、F,若AB8,AC4,則AE 2、如圖,分別以ABC的邊AB、AC向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,線段BE與CD相較于點(diǎn)O,連接AO。(1)求的度數(shù);(2)求證:平分練習(xí):1、如圖,在ABC中,BC=5cm,BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線,且PDAB,PEAC,則PDE的周長(zhǎng)是cm2、如圖,AD是ABC的角平分線,DFAB,垂足為F,DE=DG,ADG和AED的面積分別為50和39,則EDF的面積為()A11 B5.5 C7 D3.53、如圖,ABC是等邊三角形,P是ABC的平分線BD上一點(diǎn),PEAB于點(diǎn)E,線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)Q若BF=2,則PE的長(zhǎng)為()A2 B

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