2021屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題三第3講專題訓(xùn)練13空間向量與立體幾何含解析新人教版

1、第二部分專題三第3講專題訓(xùn)練十三空間向量與立體幾何一、選擇題1(2020江蘇模擬)若向量a(2，3,1)和b(1，x,4)滿足條件ab0，則x的值是(d)a1b0c1d2【解析】因?yàn)閍(2，3,1)和b(1，x,4)滿足條件ab0，即23x40x2；故選d2(2020衡陽模擬)空間點(diǎn)a(x，y，z)，o(0,0,0)，b(，2)，若|ao|1，則|ab|的最小值為(b)a1b2c3d4【解析】空間點(diǎn)a(x，y，z)，o(0,0,0)，b(，2)，|ao|1，a是以o為球心，1為半徑的球上的點(diǎn)，b(，2)，|ob|3|ab|的最小值為：|ob|oa|312故選b3(2020池州模擬)已知mn是正

2、方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)p在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長是2，則的取值范圍為(b)a0,4b0,2c1,4d1,2【解析】以d1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以d1a1，d1c1，d1d所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體內(nèi)切球球心為s，mn是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，所以()()()()210,2所以的取值范圍是0,2故選b4(2020肥城市模擬)已知a(x，4,2)，b(3，y，5)，若ab，則x2y2的取值范圍為(c)a2，)b3，)c4，)d5，)【解析】ab，ab3x4y100，原點(diǎn)到直線的距離d2則x2y2的取值范圍為4，)故選c5(2020東湖區(qū)校

3、級一模)如圖：在平行六面體abcda1b1c1d1中，m為a1c1與b1d1的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是(a)aabcbabccabcdabc【解析】由題意，()abc，故選a6(2020西城區(qū)校級模擬)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，則此四面體在xoy坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為(b)abcd1【解析】一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，此四面體在xoy坐標(biāo)平面上的正投影圖形是abd，此四面體在xoy坐標(biāo)平

4、面上的正投影圖形的面積為：sabd11.故選b二、填空題7(2020西湖區(qū)校級模擬)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，且a，b同向，則x，y的值x_1_，y_3_.【解析】a，b同向，存在實(shí)數(shù)k0，使得kab.解得：x1，y3，k18(2020西湖區(qū)校級模擬)設(shè)平面的法向量為n1(1，2,2)，平面的法向量為n2(2，4)，若，則|n2|_3_.【解析】平面的法向量為n1(1，2,2)，平面的法向量為n2(2，4)，若，則n1n2，n1n22280，5，n2(2,5,4)，|n2|3.9(2019西湖區(qū)校級模擬)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，若點(diǎn)a(1,2,1)，b(3，1,4)

5、，點(diǎn)c是點(diǎn)a關(guān)于平面xoy的對稱點(diǎn)，則|bc|_5_.【解析】依題意，點(diǎn)c是點(diǎn)a關(guān)于平面xoy的對稱點(diǎn)，所以c點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2，1)，所以|bc|5.10(2020閔行區(qū)校級模擬)在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)m和n分別是正方形abcd和bb1c1c的中心，若點(diǎn)p滿足mnk，其中m、n、kr，且mnk1，則點(diǎn)p可以是正方體表面上的點(diǎn)_線段ab1，b1c，ac上的點(diǎn)_.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)p滿足mnk，其中m、n、kr，且mnk1，所以點(diǎn)a，m，n三點(diǎn)共面，又因?yàn)閙和n分別是正方形abcd和bb1c1c的中心，所以cnb1n，ammc，連接mn，ab1，則mnab1，所以ab1c即為經(jīng)過a，m

6、，n三點(diǎn)的平面與正方體的截面，故p點(diǎn)可以是正方體表面上線段ab1，b1c，ac上的點(diǎn)三、解答題11(2020海口調(diào)研)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面a1b1c1，acab，acab4，aa16，點(diǎn)e，f分別為ca1與ab的中點(diǎn)(1)證明：ef平面bcc1b1；(2)求b1f與平面aef所成角的正弦值【解析】(1)證明：如圖，連接ac1，bc1在三棱柱abca1b1c1中，e為ac1的中點(diǎn)又因?yàn)閒為ab的中點(diǎn)，所以efbc1又ef平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，所以ef平面bcc1b1(2)以a1為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a1xyz，則a(0,0,6)，b1(0

7、,4,0)，e(2,0,3)，f(0,2,6)，所以(0，2,6)，(2,0，3)，(0,2,0)設(shè)平面aef的法向量為n(x，y，z)，則，令x3，得n(3,0,2)記b1f與平面aef所成角為，則sin |cos，n|.12(2019濱州二模)如圖，三棱柱abca1b1c1中，bcbb1，b1bc60，b1c1ab1(1)證明：abac；(2)若abac，且ab1bb1，求二面角a1cb1c1的余弦值【解析】(1)證明：取bc的中點(diǎn)o，連接ao，ob1因?yàn)閎cbb1，b1bc60，所以bcb1是等邊三角形，所以b1obc，又bcb1c1，b1c1ab1，所以bcab1，所以bc平面aob1

8、，所以bcao，由三線合一可知abc為等腰三角形，所以abac.(2)設(shè)ab1bb12，則bcb1c2因?yàn)閍bac，所以ao1又因?yàn)閛b1，所以obao2ab，所以aoob1以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz，則o(0,0,0)，c(1,0,0)，a1(1，1)，b1(0，0)，(0，1)，(1， ,0)，設(shè)平面a1b1c的法向量為n(x，y，z)，則，即，可取n(，1，)由(1)可知，平面cb1c1的法向量可取(0,0,1)，所以cos，n.又二面角a1cb1c1為銳二面角，所以二面角a1cb1c1的余弦值為.13(2020河北模擬)在四棱錐pab

9、cd中，底面四邊形abcd是一個(gè)菱形，且abc，ab2，pa平面abcd(1)若q是線段pc上的任意一點(diǎn)，證明：平面pac平面qbd；(2)當(dāng)平面pbc與平面pdc所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求pa的長【解析】(1)證明：四邊形abcd是一個(gè)菱形，acbd，又pa平面abcd，pabd，又acpaa，則bd平面pac，bd在平面qbd內(nèi)，平面pac平面qbd.(2)設(shè)ac，bd交于點(diǎn)o，分別以ob，oc所在直線為x軸，y軸，以平行于ap的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則b(，0,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)，設(shè)p(0，1，a)(a0)，則(，1,0)，(0，2，a)，設(shè)平面

10、pbc的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則，可取m(a，a,2)，同理可求平面pdc的一個(gè)法向量為n(a，a,2)，|cosm，n|，解得a22，pa.14(2020葫蘆島一模)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，abbc，aa1abbc2(1)求證：bc1平面a1b1c；(2)求異面直線b1c與a1b所成角的大??；(3)點(diǎn)m在線段b1c上，且(0,1)，點(diǎn)n在線段a1b上，若mn平面a1acc1，求的值(用含的代數(shù)式表示)【解析】(1)證明：在三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，bb1平面a1b1c1，bb1平面b1bcc1，平面b1bcc1平面a1b1c1，交線為b1c1，又abbc，a1b1b1c1，a1b1平面b1bcc1，bc1平面b1bcc1，a1b1bc1，bb1bc2，b1cbc1，a1b1b1cb1，bc1平面a1b1c.(2)解：由(1)知bb1平面abc，abbc，以b為原點(diǎn)，bc為x軸，ba為y軸，bb1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則b(0,0,0)，c(2,0,0)，a1(0,2,2)，b1(0,0,2)，(2,0，2)，(0，2，2)，cos，.異面直線b1c與a1b所成