2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形創(chuàng)新引領(lǐng)微課把握三角函數(shù)與解三角形中的最值問(wèn)題教學(xué)案含解析新人教A版

1、把握三角函數(shù)與解三角形中的最值問(wèn)題把握三角函數(shù)與解三角形中的最值問(wèn)題微點(diǎn)聚焦突破類(lèi)型一三角函數(shù)的最值角度 1可化為“yasin(x)b”型的最值問(wèn)題【例 11】 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，扇形aob的半徑為 2，圓心角為23，點(diǎn)m是弧ab上異于a，b的點(diǎn).(1)若點(diǎn)c(1，0)，且cm 2，求點(diǎn)m的橫坐標(biāo)；(2)求mab面積的最大值.解(1)連接om，依題意可得，在ocm中，oc1，cm 2，om2，所以 cos com2212（ 2）222134，所以點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為 23432.(2)設(shè)aom，0，23，則bom23，smabsoamsobmsoab1222 sinsin23122

2、2322 3sin6 3，因?yàn)?，23，所以66，56，所以當(dāng)3時(shí)，mab的面積取得最大值，最大值為 3.思維升華化為yasin(x)b的形式求最值時(shí)，特別注意自變量的取值范圍對(duì)最大值、最小值的影響，可通過(guò)比較區(qū)間端點(diǎn)的取值與最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的取值來(lái)確定函數(shù)的最值.角度 2可化為yf(sinx)(或yf(cosx)型的最值問(wèn)題【例 12】 函數(shù)ycos 2x2sinx的最大值為_(kāi).解析ycos 2x2sinx2sin2x2sinx1.設(shè)tsinx，則1t1，所以原函數(shù)可以化為y2t22t12t12232，所以當(dāng)t12時(shí)，函數(shù)y取得最大值為32.答案32思維升華可化為yf(sinx)(或yf(co

3、sx)型三角函數(shù)的最值或值域可通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)的最值或值域.【訓(xùn)練 1】 (1)(角度 1)函數(shù)f(x)3sinx4cosx，x0，的值域?yàn)開(kāi).(2)(角度 2)若函數(shù)f(x)cos 2xasinx在區(qū)間6，2 上的最小值大于零，則a的取值范圍是_.解析(1)f(x)3sinx4cosx535sinx45cosx5sin(x)，其中 cos35，sin45，42.因?yàn)?0 x，所以4x0，12（a1）0a1.答案(1)4，5(2)(1，)類(lèi)型二三角形中的最值角度 1轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)利用三角函數(shù)的有界性求解【例 21】 (2020湖北七市聯(lián)考)在銳角三角形abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別

4、為a，b，c，且cosaacosbb2 3sinc3a.(1)求角b的大?。?2)若b2 3，求ac的取值范圍.解(1)由已知條件，得bcosaacosb2 33bsinc.由正弦定理，得 sinbcosacosbsina2 33sinbsinc，即 sin(ab)2 33sinbsinc.又在abc中，sin(ab)sinc0，所以 sinb32.因?yàn)閎是銳角，所以b3.(2)由正弦定理，得asinacsincbsinb2 3324，則a4sina，c4sinc.所以ac4sina4sinc4sina4sin23a6sina2 3cosa4 3sina6 .由 0a2，023a2，得6a2，

5、所以3a623，所以32sina6 1，所以 6ac4 3.故ac的取值范圍為(6，4 3.思維升華本題涉及求邊的取值范圍，一般思路是利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍或最值.角度 2利用基本不等式求解【例 22】 (2019運(yùn)城二模)已知點(diǎn)o是abc的內(nèi)心，bac60，bc1，則boc面積的最大值為_(kāi).解析點(diǎn)o是abc的內(nèi)心，bac60，boc180180602120，在boc中，由余弦定理得bc2oc2ob22ocobcos 120，oc2ob21ocob.又oc2ob22ocob，ocob13，當(dāng)且僅當(dāng)oboc時(shí)“”成立，sobc12ocobsin 120312.答案3

6、12思維升華解答本題的關(guān)鍵是注意到三角形面積公式sabc12absinc中的ab，與余弦定理中的a2b2存在不等關(guān)系a2b22ab，利用余弦定理溝通二者，求出ab的最值即可.【訓(xùn)練 2】 (1)(角度 1)如圖，在abc中，已知b3，ac4 3，d為bc邊上一點(diǎn).若ad2，sdac2 3，求dc的長(zhǎng)；若abad，試求adc的周長(zhǎng)的最大值.解sdac2 3，ac4 3，ad2，12adacsin dac2 3，sin dac12，b3，dacbac323，dac6，在adc中，由余弦定理得：dc2ad2ac22adaccos6，dc2448224 33228，dc2 7.abad，b3，abd為

7、正三角形，dac3c，adc23，在adc中，根據(jù)正弦定理，可得adsinc4 3sin23dcsin3c，ad8sinc，dc8sin3c，adc的周長(zhǎng)為addcac8sinc8sin3c4 38sinc32cosc12sinc4 3812sinc32cosc4 38sinc3 4 3，adc23，0c3，3c30，b0，ab4，ab2ab，所以ab4(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))，由(ab)216，得a2b2162ab，所以 162abc2ab，所以 16c23ab，故 16c212，c24，c2，故 2c4，故選 b.答案b分層限時(shí)訓(xùn)練a 級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.函數(shù)ycosx6 ，x0，2

8、的值域是()a.32，12b.12，32c.12，32d.32，12解析x0，2 ，x66，23，所以y12，32 .答案b2.如果|x|4，那么函數(shù)f(x)cos2xsinx的最小值是()a.212b.212c.1d.1 22解析f(x)sin2xsinx1sinx12254，當(dāng) sinx22時(shí)，ymin1 22.答案d3.若函數(shù)f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的圖象關(guān)于點(diǎn)2，0對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)在4，6 上的最小值是()a.1b. 3c.12d.32解析因?yàn)閒(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin2x6 ，則由題意，知f2 2sin6 0.又 0， 所以56， 所以

9、f(x)2sin 2x， 則f(x)在4，6上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在4，6 上的最小值為f6 2sin3 3.故選 b.答案b4.(2020廣州一模)abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bccoscbacosa1，則 cosb的取值范圍為()a.12，b.12，c.12，1d.12，1解析bccoscbacosa1，由余弦定理可得bca2b2c22abbab2c2a22bc1，化簡(jiǎn)可得b2ac，則 cosba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取“”.12cosb1，即 cosb12，1.故選 d.答案d5.(2020河南六市聯(lián)考)在a

10、bc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若2acbcosccosb，b4，則abc的面積的最大值為()a.4 3b.2 3c.3 3d. 3解析由2acbcosccosb得 2acosbccosbbcosc，由正弦定理得，2sinacosbsinbcoscsinccosb，又知 sin(bc)sinasinbcosccosbsinc，2sinacosbsina，a(0，)，sina0，cosb12，又知b(0，)，b3，又知 cosb12a2c2b22ac1b22ac1162ac，ac16，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立，sabc12acsinb1216sin31216324 3，故abc的面積

11、的最大值為 4 3，故選 a.答案a二、填空題6.若函數(shù)ysin2x2cosx在區(qū)間23，上最小值為14，則的取值范圍是_.解析y2(cosx1)2，當(dāng)x23時(shí)，y14，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性23，23.答案23，237.(2019武漢調(diào)研)當(dāng)函數(shù)f(x)3sinx6cosx取得最大值時(shí)，sinx的值為_(kāi).解析f(x)3sinx6cosx3 5sin(x)，其中 sin2 55，cos55，當(dāng)x2k2，kz z，即x2k2，kz z 時(shí)，f(x)取得最大值 3 5，此時(shí) sinxsin2k2sin2cos55.答案558.(多填題)已知函數(shù)f(x)sin2x6 ，其中x6，.當(dāng)3時(shí)，f(x)的值域是

12、_；若f(x)的值域是12，1，則的取值范圍是_.解析若6x3，則62x656，此時(shí)12sin2x6 1，即f(x)的值域是12，1.若6x，則62x626.因?yàn)楫?dāng) 2x66或 2x676時(shí)，sin2x6 12，所以要使f(x)的值域是12，1，則有22676，即62，即的取值范圍是6，2 .答案12，16，2三、解答題9.(2020長(zhǎng)春模擬)設(shè)函數(shù)f(x) 3sinxcosxcos2xa.(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)x6，3 時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值與最小值的和為32，求實(shí)數(shù)a的值.解(1)f(x)32sin 2x1cos 2x2asin2x6 a12，所以t.

13、由22k2x6322k(kz z)，得6kx23k(kz z)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是6k，23k(kz z).(2)因?yàn)?x3，所以62x656，所以12sin2x6 1.當(dāng)x6，3 時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值與最小值的和為1a12 12a12 32，解得a0.10.(2019河南中原名校聯(lián)考)已知abc的內(nèi)角a，b，c滿(mǎn)足sinasinbsincsincsinbsinasinbsinc.(1)求角a；(2)若abc的外接圓半徑為 1，求abc的面積s的最大值.解(1)設(shè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.根據(jù)題意及正弦定理，可得abccbabca2b2c2bc，所以 cosab2

14、c2a22bcbc2bc12.又因?yàn)?0a，所以a3.(2)設(shè)abc的外接圓半徑為r，則r1，由asina2ra2rsina2sin3 3，所以 3b2c2bc2bcbcbc，即bc3，所以s12bcsina123323 34(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，取等號(hào)).所以abc的面積s的最大值為3 34.b 級(jí)能力提升11.(2019成都七中月考)設(shè)銳角abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且c1，a2c，則abc周長(zhǎng)的取值范圍為()a.(0，2 2)b.(0，3 3)c.(2 2，3 3)d.(2 2，3 3解析因?yàn)閍bc為銳角三角形，所以 0a2，0b2，0c2，又a2c，所以 02c2，0

15、c2c2，所以6c4，所以22cosc0，sina 3cosa，即 tana 3.0a，a3.由余弦定理得a216b2c22bccosa(bc)23bc(bc)23bc22，則(bc)264，即bc8(當(dāng)且僅當(dāng)bc4 時(shí)等號(hào)成立)，abc的周長(zhǎng)abc4bc12，即最大值為 12.答案1214.如圖，在平面四邊形abcd中，a3，e在邊ab上，be3，aece，dece，bec的面積為3 32，記bec02 .(1)若3，求線段bc的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段de的長(zhǎng)度最??？求出該最小值.解(1)當(dāng)3時(shí)，sbec12becesin123ce323 32，解得ce2.在bec中，由余弦定理，得bc2be2ce22bececos94232127，bc 7.(2)在aed中，a3，aed2，ade6.由正弦定理可知desinaaesin ade，故de3ae2sin6.sbec12becesin3 32，ce3sin.又aece，de3ae2sin63ce2sin632sinsin633sin2sincos312sin 232cos 2323sin23 32.02，32323，32sin23 1.故當(dāng) 232，即512時(shí)，線段de的長(zhǎng)度最小，最小值為 6(2