(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版_習(xí)題答案_第四版_盛驟__浙江大學(xué)

1、表示為:ABC或 ABABC 或 ABC完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案 第四版 盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育出版社)第一章 概率論的基本概念1.一寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一 1)S 2,丄丄00，n 表小班人數(shù)n nn(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10 件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一 2)S=10 , 11, 12, .,n, . (4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4 個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“ 1”，查出次品記為“ 0”，連續(xù)

2、出現(xiàn)兩個(gè)“ 0”就停止檢查，或查滿4 次才停止檢查。(一 (3)S=00 , 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.二設(shè) A, B, C 為三事件，用 A, B, C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A 發(fā)生，B 與 C 不發(fā)生。表示為：ABC或 A(AB+AC)或 A(BUC)(2) A, B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生。(3) A, B, C 中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C(4) A, B, C 都發(fā)生，表示為：ABC(5) A, B, C 都不發(fā)生，表示為：ABC或 S(A+B+C)或 ABC

3、(6) A, B, C 中不多于一個(gè)發(fā)生，即 A, B, C 中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB BC AC。(7) A，B，C 中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：A, B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A B C或ABC(8) A，B，C 中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC 中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6. 三設(shè) A，B 是兩事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7.問在什么條件下 P (AB)取到最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由 P (A) = 0.6,P (B)

4、= 0.7 即知 ABMQ,(否則 AB =$依互斥事件加法定理，P(AUB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 與 P (AUB)6種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55 個(gè)55P(A)罟A26111309.在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。 個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0, 1, 29)(設(shè)后面 4記 A 表“后四個(gè)數(shù)全不同后四個(gè)數(shù)的排法有 104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有A40p(A)需0.504P(A)103(2)求最大的號(hào)碼為 5 的概率。200 個(gè)產(chǎn)品恰有 90 個(gè)次品，取法有400 100種400

5、110090110記“三人中最大的號(hào)碼為 5”為事件 B，同上 10 人中任選 3 人，選法有10種，且 每種選法等可能，又事件 B 相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為 5,其余 2 人號(hào)碼小于 5，選法有1 4種P(B)10312011.七某油漆公司發(fā)出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，紅漆 3 桶。在搬 運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4 桶白漆，3 桶黑漆和 2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為 A。在 17 桶中任取 9 桶的取法有C17種，且每種取法等可能。取得 4 白 3 黑 2 紅的取法有CoC：Cj432P(A) C10行C3

6、 在 1500 個(gè)產(chǎn)品中有 400 個(gè)次品,1100 個(gè)正品，任意取 200 個(gè)。(1)求恰有 90 個(gè)次品的概率。記“恰有 90 個(gè)次品”為事件 A在 1500 個(gè)產(chǎn)品中任取 200 個(gè)，取法有1500200種，每種取法等可能。P(A)1500200(2)至少有 2 個(gè)次品的概率。3，的概率各為多少?對(duì) A 仁必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2 種。（選排列：好比3 個(gè)球在 4 個(gè)位置做排列）P(A1)4 3 264316記：A 表“至少有 2 個(gè)次品”Bo表“不含有次品” ，Bi表“只含有一個(gè)次品”，同上，200 個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法 有霧種，200

7、個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有400霧種A B0B1且 B0, B1互不相容。1100400 1100P(A) 1P(A) 1 P(B。)P(BJ 120011991500150020020013.九從 5 雙不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一雙的概率是多少?記 A 表“4 只全中至少有兩支配成一對(duì)”則A表“ 4只人不配對(duì)”從 10 只中任取 4 只，取法有 罟 種，每種取法等可能。要 4 只都不配對(duì)，可在5 雙中任取 424P(A)C；24C4C10821P(A)1 P(A)132115十一將三個(gè)球隨機(jī)地放入4 個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是 1, 2，去,記 Ai表

8、“杯中球的最大個(gè)數(shù)為個(gè)” i= 1,2,3,三只球放入四43種，每種放法等可能對(duì) A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C34 3種。2（從 3 個(gè)球中選 2 個(gè)球，選法有C3，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有 4種，最后將剩余的 1 球放入其余的一個(gè)杯中，選法有 3 種。對(duì) A3：必須三球都放入一杯中。放法有 4 種。（只需從 4 個(gè)杯中選 1 個(gè)杯子，放入此 3 個(gè)球，選法有 4 種）41P（A3）3_2431616.十二50 個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在 10 個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用 3 只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，

9、問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記 A 表“ 10 個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn) E 看作是用三個(gè)釘一組， 三個(gè)釘一組去鉚完 10 個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M 中不分先后次序。但 10 組釘鉚完 10 個(gè)部件要分先后次序）對(duì) A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有C33C：7C：4C；3X10種法二：用古典概率作把試驗(yàn) E 看作是在 50 個(gè)釘中任選 30 個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對(duì) E:鉚法有A。種，每種鉚法等可能P(A2)C4 343916對(duì) E:鉚法有C；。C：7C：C；3種，每種裝法等可能P(A)333C3C47

10、C44C3C3C50C47C23C；310119600.00051對(duì) A:三支次釘必須鉚在“ 1, 2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上，或“ 28, 29,30”位置上。這種鉚法有A3A47A3A4A A410A；A4；種P(A)10 A/3 A；119600.0005117.十三 已知P(A) 0.3, P(B)0.4, P(AB) 0.5,求 P(B| A B)。解一：P(A) 1P(A)0.7, P(B) 1P(B) 0.6, A AS A(B B) AB AB注意(AB)(AB).故有P (AB)=P (A) - P (AB)=0.7 - 0.5=0.2。再由加法定理，P (

11、AUB)= P (A)+ P (B)-P (AB)=0.7+0.6-0.5=0.811118.十四P(A) , P(B|A)才，P(A|B)扌，求P(A B)。由乘法公式，得P(AB) P(A)P(B|A)于是P(B| A B)PB(A_B)P(AB)P(A B)解二：P(AB)P(A)P(B | A)由已知05 07 P(B | A)P(B|A)0.50.7P(B | A)PBA B)定義就詈21- 故 P(AB) P(A)P(B| A)-751P(BA) _ EP(A) P(B) P(AB) 0.7 0.6 0.50.25解：由P(A|B)定義毘 BP(B)丄 17 P(B)1P(B)6P

12、(A)P(B | A由已知條件由加法公式，得P(A B) P(A) P(B) P(AB) 111-119.十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為 1 點(diǎn)的概率(用兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB 中求 P(A|B)，即將事件 B 作為樣本空間，求事件 A 發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x, y) ( x, y=1,2,3,4,5,6 )并且滿足 x,+y=7，則樣本空間為S=( x, y)| (1,6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果(x, y)等可能。2 1A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為 7

13、 時(shí)，其中有一顆為 1 點(diǎn)。故P(A) -2 -463方法二：(用公式P(A|B)P(AB)P(B)S=( x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A= “擲兩顆骰子，x, y 中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B= “擲兩顆骰子，x,+y=7”。則P(B) 6 6626,P(AB)22，622故P(A| B)P(AB)622丄P(B)16 3620.十六據(jù)以往資料表明，某一3 口之豕，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母親得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病|母親 及孩子得病=0.4。求母親及孩子

14、得病但父親未得病的概率。解：所求概率為 P (ABC)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件， 這里不是求 P (C|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6 (X5=0.3, P (C|AB)=1 - P (C |AB)=1 - 0.4=06從而 P (ABC)= P (AB) P(C|AB)=0.3 0.6=0.18.21.十七已知 10 只晶體管中有 2 只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。(1) 二只都是正品(記為事件 A )10 只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種10 只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一

15、個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記 A1， A2分別表第一、二次取得正品。8728P(A) P(A1A2)P(A)P(A2|AJ -10 945(2)二只都是次品(記為事件 B)法一：P(B)c；C2o145法二：P(B)AAw145法三：P(B)P(A1A2)P(A1)P(A2|)2 1 110945(3)只是正品，一只是次品(記為事件C)法一：P(C)C8c?15法二：1 1 2P(C) (C8C?A216法一：用組合做P(A)C2C0280.6245法二：用排列做法三：P(C)P(AA2AA2)且AA2與 AA2互斥PHAdA)p(Ai)P(A2|A)磊

16、彳麗 15(4)第二次取出的是次品(記為事件D)法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：P(D)C92A25Ao5法三：P(D)P(AA2人耳)且 A A 與 AA2互斥HAJPIA) P(A)P(A2|A) 80 1 -1 1 122.十八某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是 多少？記 H 表撥號(hào)不超過三次而能接通。Ai表第 i 次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。H A1A1A2AA2A3三種情況互斥P(H) P(Ai) P(瓦)P(AdAi)

17、P(AI)P(A2I入)P(A3I瓦A2)1_9 1_9811010 9109810如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵?B 已發(fā)生的條件下，求 H再發(fā)生的概率。P(H |B) PA1| B A1A2| B A1A2A3|B)P(A |B) P(A |B)P(A2|BAJP(A |B)P(A2|BA)P(A3IBA1A2)141431355 4 5 7 3 524.十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n 只白球 m 只紅球，乙袋中裝有 N 只白球M 只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋 中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19 題(1)記 A1,

18、 A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記 B 表“再從乙袋中取得白球”。TB=A1B+A2B 且 A1, A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A0P (B| A2)=nN 1mNnm NM1 nm NM1十九(2)第一只盒子裝有 5 只紅球，4 只白球；第二只盒子裝有 4 只紅球，5 只白球。 先從第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。記 C1為“從第一盒子中取得 2 只紅球”。C2為“從第一盒子中取得 2 只白球”。C3為“從第一盒子中取得 1 只紅球，1 只白球”，D 為“從第二盒子中取得白球”，顯然 C1,

19、 C2, C3兩兩互斥，C1UC2UC3=S,由全 概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)22 1 15 CLZ C5C4C；11 C；11C；1126.二一 已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人 , A2=女人 , B=色盲，顯然 A1UA2=S, A1A2= $由已知條件知P(A1) P(A2) 2 P(B|A) 5%, P(B| A2) 0.25%5399由貝葉斯公式，有二十二一學(xué)生接連參加同一

20、課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P ；若第一次不及格則第二次及格的概率為P( 1)若至少2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第 i 次及格，i=1,2已知 P (A1)=P(A2|A”=P,P(A2|A)P2(1)B=至少有一次及格所以B 兩次均不及格 A1A2- P(B) 1 P(B) 1 P(AA2)1 P(A)P(A2A)1 1 P(A)1 P(A2|AjP3121 (1 P)(1-)-P-P222由乘法公式，有 P (A1A2)= P (A1) P (A2| A1)

21、 = P2由全概率公式，有P(A2) P(AJP(A2| A) P(A)P(A2| A)PP P (1 P) fP2P2P(A |B)P(AB)P(B)P(A)P(B| A)P(A)P(B|A) P(A2)P(B|A2)15151252 100 2 100002021P(AA2)定義P(AA2)P(A2)(*)（先用條件概率定義，再求P （B1B2）時(shí)，由全概率公式解）將以上兩個(gè)結(jié)果代入(* )得P(A1| A2)P2P2P2PP 128.二十五某人下午 5:00 下班，他所積累的資料表明:解：設(shè) A= “乘地鐵”，B= “乘汽車”，C= “5:455:49 到家”，由題意，AB= $ ,AU

22、B=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由貝葉斯公式有0.5 0.45_ 0.4590 6923P(C | A)1P(C|B)*0.651329.二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5 只，其中 10 只一等品；第二箱 30只，其中 18 只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一 只，作不放回抽樣。試求（1 ）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè) Bi表示“第 i 次取到一等品”i=1 , 2Aj表示“第 j 箱產(chǎn)品” j=1,2，

23、顯然 A1UA2=SA1A2= $到家時(shí)間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于 5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47 到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。P(A|C)P(C | A)P(A)(1)P(BJ1 10 1 1822 50 2 3050.4（ B1= A1B +A2B 由全概率公式解）。(2)P(B2| B1)PB2)PQ)（先用條件概率定義，再求P （B1B2）時(shí)，由全概率公式解）110_9218 17孑矗扃刃0.4

24、8572532.二十六(2)如圖 1 , 2, 3, 4, 5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為 p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)L o立，求 L 和 R 是通路的概率。記 Ai表第 i 個(gè)接點(diǎn)接通記 A 表從 L 到 R 是構(gòu)成通路的。A=A1A2+ AiA3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥P (A)=P (AiA2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2) P (AiA2A3A5)+ P (A1A2A4A5)+ P (A1A2A3A4) +P (A1A3A4A5)+ P (A1A2A3A4A5) P (A2A3A4A5)+ P (A1A2A3A4

25、A5)+ P (A1A2AA4A5) + (A1A2A3A4A5) + P (A1A2A3A4A5) P (A1A2A3A4A5)又由于 A1, A2, A3, A4, A5互相獨(dú)立。故P (A)=p2+ p3+ p2+ p3 p4+p4+p4+p4+p5+p4+ p5+ p5+ p5+ p5 p5=2 p2+ 3p3-5p4+2 p5二十六(1)設(shè)有 4 個(gè)獨(dú)立工作的元件 1, 2, 3, 4。它們的可靠性分別為 P1, P2,P3, P4，將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記 Ai表示第 i 個(gè)元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,A 表示系統(tǒng)正常。TA=A1A2A3+ A1A

26、4兩種情況不互斥P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3A4)(加法公式)=P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4) P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)=P1P2P3+ P1P4 P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨(dú)立)34.三一-袋中裝有 m 只正品硬幣，n 只次品硬幣，(次品硬幣的兩面均印有國徽) 在袋中任取一只，將它投擲r 次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多45- R解：設(shè)“出現(xiàn) r 次國徽面” =Br“任取一只是正品” =A由全概率公式，有m 1rnrP(Br)咻時(shí)十)卩并十)齊(5

27、)齊1(條件概率定義與乘法公式)35甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高 Hi表示飛機(jī)被 i 人擊中，i=1, 2, 3。B1, B2, B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)H1B1B2B3B1B2B3B1B2B3，三種情況互斥。H2B1B2B3B1B2B3B1B2B3三種情況互斥H3B2B2B3又 B1, B2, B2獨(dú)立。P(HJ P(BJP(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6

28、 0.5 0.70.36P(H2)P(BJP(B2)P(B3)P(BJP(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)0.4 0.5 0.3少？P(A|BP(A)P(Br| A)Pm0.4, 0.5, 0.7。0.6，若三人都擊+ 0.4 0.5E.7+0.6 X 07=0.41P (H3)=P (BI)P (B2)P (B3)=0.4 區(qū) 507=0.14A=HiA+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(Hi)P (A|Hi)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)=0.36 0.2+0.41 0.6+0.14 1=0.45836.三十三設(shè)由以往記

29、錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2% (這一事件記為Ai)，10% (事件 A2)，90% (事件 A3)的概率分別為 P (Ai)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05， 現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為 B)，試分別求 P (AI|B)P (A2|B), P (A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以 取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地) B 表取得三件好物品。B=AiB+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(AI)P (B|AI)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|

30、A3)=0.8)(0.98)3+0.15 .9)3+0.05 Q.1)3=0.8624P(AiB)P(A)P(B|AJ0.8 (0.98)3P(B)P(B)0.8624P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15 (0.9)3P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05 (0.1)3P(B)P(B)0.8624又因:37.三十四將 A, B, C 三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸 出為其它一字母的概率都是 (1 a)/2。今將字母串 AAAA , BBBB, CCCC 之一輸入信道，輸入 AAAA, BBBB,CCCC 的概率分別為 pi, p2,

31、 p3(pi+p2+p3=1)，已知輸出為 ABCA，問 輸入的是 AAAA 的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)解：設(shè) D 表示輸出信號(hào)為 ABCA , Bi、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為 AAAA, BBBB, CCCC，貝yBi、B2、B3為一完備事件組，且 P(Bi)=Pi, i= 1,2, 3。再設(shè) A 發(fā)、A 收分別表示發(fā)出、接收字母 A,其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))=P (B收| B發(fā))=P (C收| C發(fā))=a,P (A收| B發(fā))=P (A收| C發(fā))=P (B收| A發(fā))=P (B收| C發(fā))=P (C收| A發(fā))=P (C收| B發(fā))=丄尹

32、又 P(ABCA|AAAA)= P (D | B) =P (A收| A發(fā))P (B收| A發(fā))P (C收| A發(fā))P (A收| A發(fā))同樣可得 P (D | B) =P (D | B) =a(打)3于是由全概率公式，得3P(D)P(Bi)P(D|Bi)i 12/1 a、2,1 a、3pia()(P2P3)a由 Bayes 公式，得P(Bi)P(D|Bi)P (AAAA|ABCA)= P (B1| D)=巳書 2aR2aP (1 a)( P2P3)P(A |B)P(A2|B)P(A | B)0.87310.12680.0001二十九設(shè)第一只盒子裝有 3 只藍(lán)球，2 只綠球，2 只白球；第二只盒子

33、裝有 2 只 藍(lán)球，3只綠球，4 只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記 厲、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1 ）記 C=至少有一只藍(lán)球C= A1B 什 A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1, 5 種情況互斥由概率有限可加性，得P(C) P(AiB) P(AIB2)P(AB3)P(A2BI) P(A3BJ獨(dú)立性 P(A)P(BI) P(A)P(B2)P(AI)P(B

34、3)P(A2)P(BI) P(A3)P(BI)323334222257979797979 9(2) 記 D=有一只藍(lán)球，一只白球 ，而且知 D= A1B3+A3B1兩種情況互斥P(D) P(AIB3P(A3BI) P(AI)P(B3)P(A3)P(BI)1663P(CD) P(D) 16P(C) P(C) 35三十A, B, C 三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A, B,C 的電話的概率分別為2,-，丄。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C 三人外出的概555率分別為丄，丄丄，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求244(1)無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了

35、3 個(gè)電話，求(3)這 3 個(gè)電話打給同一人的概率；(4)這 3 個(gè)電話打給不同人的概率； (5) 這 3 個(gè)電話都打給 B，而 B 卻都不在的概率。解：記 Ci、C2、C3分別表示打給 A，B，C 的電話(3)P(D |C)(注意到 CD D)Di、D2、D3分別表示 A，B，C 外出注意到 Ci、C2、C3獨(dú)立，且P(C1) P(C2) -, P(C3)丄551 1P(DJ 寸，P(D2)P(D3)寸(1)P (無人接電話)=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)1111, _ _24432(2)記 G= “被呼叫人在辦公室” ，G C1D? C2H C3DI三種情況

36、互斥，由有 限可加性與乘法公式(3)H 為“這 3 個(gè)電話打給同一個(gè)人”22222211117(H )555555555125（4）R 為“這 3 個(gè)電話打給不同的人”2214555125亍是P(R)6 12524125（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是 1，所以每一次打給 B 電話而 B 不在的概率為丄，且各次情況相互獨(dú)立4第二章 隨機(jī)變量及其分布1一 一袋中有 5 只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量 X 的分布律解：X 可以取值 3, 4，5，分布律為P(G) P(CiDJ PGD2) PGD3)P(CJP(瓦

37、|Ci) P(C2)P(|C2)21231313?575420由于某人外岀與P（C3）P（D |c3）否和來電話無關(guān)故P（瓦|Ck）P（瓦）R 由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C 的三個(gè)電話，每種情況的概率為是 P（ 3 個(gè)電話都打給 B, B 都不在的概率）-/ 1 3=(4)164也可列為下表X:3,4, 5X:0, 1,P：2235，35，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為 q =1 p（0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)全

38、概率公式并注意到PX Y|Y 10注意到 X,Y 獨(dú)立即PX Y |Y kPX kPYk 1kPX1 1 1 _2 1 A33 9 3 271981=P (X=1) P (Y= 0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)C30.6 (0.4)2 (0.3)3Cj(0.6)20.4 (0.3)8C32(0.6)20.4 C30.7(0.3)2 (0.6)3(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)3Cf (0.7)20.30.2439十有甲、乙兩種味道和顏色極為

39、相似的名酒各4 杯。如果從中挑 4 杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少?猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10 件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2 拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng) 5 件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第 2 次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第 1 次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢

40、驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X 表示 10 件中次品的個(gè)數(shù)，Y 表示 5 件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（ 10，0.1），YB（ 5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.910 0.349（2）P XW2= P X=2+ P X=1=C；00.120.98C100.1 0.990.581（3）P Y=0=0.95 0.590（4）P 0XW2, Y=0（0XW2與 Y=2獨(dú)立）（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10 次，成功 3 次。試問他是解：（1）P （一次成功）=丄C8170（2） P （連續(xù)試驗(yàn) 10 次，成功3 次）=Co詰）3（需廠

41、3而00。此概率太小，按實(shí)=P 0XW2P Y= 0=0.5810.5900.343(5)P X=0+ P 0 8) P (X 9)(查入=4 泊松分布表)=0.051134 0.021363=0.029771(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10 的概率。P (X 10)=P (X 11)=0.002840 (查表計(jì)算)十二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于 3 的概率。PX 3 PX 40.566530十六以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間X 的分布函數(shù)是0.4 xFx(x)求下述概率：(1) P至多 3 分鐘 ; (2) P 至少 4 分鐘; ( 3) P3 分鐘至 4 分鐘之間

42、(4)P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘 ; ( 5) P恰好 2.5 分鐘解：(1) P至多 3 分鐘= P Xw3 =FX(3)13 P3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3Xw4=FX(4) FX(3) e12e4P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘= P至多 3 分鐘+ P至少 4 分鐘5P恰好 2.5 分鐘= P (X=2.5)=00,x 1,18.十七設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為Fx(x) In x,1 x e,1,x e.求(1) P (X2), P 0XW3, P (2X 篤)；(2)求概率密度 fx(x).解: (1) P (Xw2)=FX(2)= In2 , P (0 4) =1FX

43、(4)e1.61.6e1.2e1,6當(dāng) 2 x 時(shí)，F(xiàn) (x)2P(2 X 5FX(|)Fx55ln In 2 ln 24f(x)F(x)7x0,其它e,20.十八(2) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f (x)為(1)f(x)其它f(x)xx其他求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出(2)中的 f (x)與 F (x)的圖形。解：當(dāng)一 1 xw1 時(shí):1F(x) 0dxx21 x2dxn1 . arcs inxn2丄n212x21 .Xarcs in x21當(dāng) 1 0。解不等式，得 K 2 時(shí)，方程有實(shí)根。P(K 2) f(x)dx5】dx 0dx225525.二十三 設(shè) XN (3.22)(1)求

44、 P (2X5),P (4) 1)。P(X 10)1OfX(x)dx1e510 x5dx10因此YB(5,e2).即 P(Yk)5e2k(12 5ke ),(k123,4,5P(Y 1) 1 P(Y 1)P(Y 0) 1(2 5e )(1d)5 1 (11353363)51 0.867750.48330.5167.24.二十二設(shè) K(0,5)上服從均勻分求方程4x24xK K 20有實(shí)K 的分布密度為:f(K)丄 0 K5 00 其他P|X|2, P=0.9998 0.0002=0.9996=153P (2XW5) =002 3=0.8413 0.3085=0.5328P (42)=1 P (

45、|X|2)= 1 P ( 2 P2 )若 XN 5,3 )=00(T(T一x 110查表得 占1.645.x 110 19.74129.74.故最小的 X129.74.27.二十五由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為卩=10.05,d=0.06 的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05 0.12 內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少?設(shè)螺栓長度為 XPX 不屬于(10.05 0.12, 10.05+0.12)=1 P (10.05 0.12X3)=1P (XW3)=1 $=10.5=0.5C 使得 P (X C )=P (XWC)P (X C )=1P (XWC )= P (XWC)P (

46、XWC )=丄=0.52C 3P (XWC )=$0.5,查表可得寧0 C =3某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓（收縮區(qū),26.二十四在該地區(qū)任選一 18 歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求2以 mm-Hg 計(jì))服從N(110,12 )(1)P (XW105) P (100 x)W0.05.0.4167)1(0.4167)10.66160.3384P(100 X120) (12(100 11012)(I2 (|)12 (0.8333)10.7976 10.5952(2) P(Xx) 1 P(X x)(x 110)(12)x0.05(-瀘)0.95.(10.05 0.12)10.05=1 (10.05

47、0.12)10.050.060.06X （以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為卩=160,d（未求 Y=X2的分布律再把 X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y:0 149P:1 11111561553031.二十八設(shè)隨機(jī)變量X 在(0,1) 上服從均勻分布(1) 求 Y=eX的分布密度 X的分布密度為：f (x)100 x 1X 為其他Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY,反函數(shù)存在且a= mi ng (0), g (1)= mi n(1, e)=1maxg (0), g (1)= max(1, e)= eY的分布密度為：嘰y)fh(y)|h(y)| 1i1ye0y 為其他

48、(2)求 Y=2lnX 的概率密度。/Y= g (X)=2l nX 是單調(diào)減函數(shù)YP (120vXw200)=:200160120 160又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(x)=1 -0 (x)上式變?yōu)?01400.80解出40便得400.9404 n o d4031.25再查表，得1 . 281T1.28130.二十七設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為:40(T40T0.80X: - 2,0,1,3111151530Y=X2: ( 2)2(1)2(0)2(1)211丄651521130Y的分布律為:又X h(Y) e2反函數(shù)存在。a= ming (0), g (1)= min(+ g,0 )=0滬 maxg (0)

49、, g (1)= max (+g, 0 )= +gY 的分布密度為：嘰y)fh(y) |h(y)| 132.二十九設(shè) XN ( 0, 1)(1)求 Y=eX的概率密度Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù) 又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在a= ming ( g), g 什g)=min(0, +g)=03= maxg ( g), g 什g)= max(0, +g)= +gY 的分布密度為：1(ln y)2嘰可fh(y)|h(y)|2ne0(2) 求 Y=2X2+1 的概率密度。在這里，Y=2X2+1 在(+g,g)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。 設(shè) Y的分布函數(shù)是 FY(y),則FY

50、( y)=P (YWy)=P (2X2+1 y)當(dāng) y 1 時(shí)：Fy(y) P .y21X .y212neTdx=PX1萬(y)= FY( y) =-e2dx12(y 1)(3)求 Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函數(shù)為FY( y)=P (Y y )=P ( | X | y)當(dāng) y 0 時(shí)，F(xiàn)Y( y)=0Y 的概率密度為:當(dāng) yw0 時(shí)：(y)= FY( y) = (0) =033.三十(1)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x)，求 Y = X3的概率密度。/Y=g (X )= X3是 X 單調(diào)增函數(shù)，丄又X=h (Y ) =Y，反函數(shù)存在，且a= ming ( 8), g 什 g

51、 )=min(0, + g)=3= maxg ( g), g 什g)= max(O, +g)= +gY 的分布密度為：丄12“ (y)= f h ( h ) | h ( y)| =f(y3)-y3, y,但 y 0(0) 0(2)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布，求法一： X 的分布密度為:f(x)Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) x 0 時(shí) y=x2反函數(shù)是x y當(dāng) xl 時(shí),當(dāng) y0 時(shí)，F(xiàn)Y( y)=P (| X | y )=P ( y X0 時(shí):(y)= FY( y)=yY2ny1SxJ_ey廠yyxydx 0 1 e , y 000, y 034.三一 設(shè) X 的概率密度為求 Y=si

52、n X 的概率密度。vFY( y)=P (Yy)=P (si nXy)當(dāng) y 0 時(shí)：FY( y)=0當(dāng) 0y1 時(shí)：FY(y) = p (sinXy) = P (0Xarc sin y 或 n- arc sin yWXnarcsin y2x=2dx010n當(dāng) 1y 時(shí)：FY( y)=1 Y 的概率密度” (y )為:y0 時(shí)，(y )= FY( y) = (0 ) = 010nL1y21y 時(shí)，(y )= FY( y) =(1)= 0 36.三十三某物體的溫度 T (F )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有TN( 98.6, 2)，試求0()法二：YFY(y) P(Y y)JJ-P( ,y X y)丫fY

53、(y)=y 0.y 0.f(x)2x2n00 xnx 為其他n2x2narcs in yndxP(X y) P(X0y 2,聯(lián)合分布律c；c；丄C；35c3c2cf6C；35c3c；c；6C；35C32C；3C；35cfc2c；12C；35C32C；3C；35c；c；2C；35P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =C；C；235P X=3, Y=2 =0k(6 x y), 0 x 2, 2 y 45.三設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)概率密度為f(x,

54、y)0,其它(1)確定常數(shù) k。(2)求 P X1, Y3(3)求 P (X1.5(4 )求 P (X+Y 03ze60(2)設(shè) z 表示前兩周需要量，其概率密度為fz(z)3zz6e，z 00z 0設(shè)E表示第三周需要量，其概率密度為:xex, x 0 fE(X)0 x 0z 與E相互獨(dú)立n= z +E表示前三周需要量Z=X+Y 表示兩周需要的商品量，由X 和 Y 的獨(dú)立性可知:xf(x,y)xe器x 0, y其它當(dāng) z0 時(shí),fz(z) = 0由和的概率公式知fz(z)fx(z y)fy(y)dyz0(zy)e(zy)yeydy3z e6fz(z)則：0,當(dāng)u0 時(shí)fn(U) = 0解：設(shè)

55、X1，X2, X3, X4為 4 只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：u1 /(u063y) e(u y)y ,ye dy5ueu120所以n的概率密度為5uue fn(u)120u00u0fn（U）f(u y)f(y)dy22. 二十二 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命 （以小時(shí)計(jì)） 近似地服從 分布。隨機(jī)地選取 4 只求其中沒有一只壽命小于180 小時(shí)的概率。2N (160, 20 )fT(t)12n20e2(t 160)22 202fX 180FX(180).2202180(t 160)dt廠dt2 20令 t 16020u 112eTdu(180 60)20查表 0.8413設(shè)

56、 N=minX1, X2, X3, X4P N180= P X1180, X2180, X3180, X4180=P X1804=1 pX1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的分布律為X012345Y1P Y=3|X= 0=3變量 V=max X, Y P V= 0=P X=0 Y= 0=0=0.01+0.02+0.01=0.04+ P Y=2, X= 0+ P Y=2, X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16+ P Y=3, X= 0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X= 2=0.05+0.05+0.05+0.0

57、6+0.01+0.02+0.04=0.28P V= 4=P X=4，Y= 0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)顯然 U 的取值為 0, 1, 2，3P U=O=P X=0, Y=0+ + P X=0, Y=3+ P Y=0, X=1000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求V=max (X, Y )的分布律

58、求U = min (X, Y )的分布律由條件概率公式PX 2,Y2P X=2|Y= 2=PY 20.010.030.05_0.05 0.05 0.050.080.050.250.2同理顯然隨機(jī)變量，其取值為V: 0P V= 1=P X=1 , Y= 0+ P X= 1,Y=1+P X=0，Y=1P V= 2=P X=2，Y= 0+ P X=2,Y=1+P X=2,Y=2P V= 3=P X=3，Y= 0+ P X= 3，Y=1+P X=3,Y=2+ P X=3，Y=3P V= 5=P X=5，Y= 0+ P X=5，Y= 3(1)求P X=2|Y=2, P Y=3| X= 0+ + P Y=

59、0, X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或縮寫成表格形式2)V012345Pk00.040.160.28 0.24 0.283)U0123Pk0.280.300.250.17(4) W=V+U 顯然 W 的取值為 0, 1 ,8PW=0= PV=0 U=0=0PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0V=maxX, Y=0 又 U=min X, Y=1 不可能 上式中的 PV=0，U=1=0 ，又PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2PW=2=PV+U=2= PV

60、=2, U=0+ PV=1，U=1= PX=2 Y=0+ PX=0Y=2+PX=1Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1+ PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13PW=4= PV=4, U=0+ P V=3，U=1+ PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+PX=3，Y=1+PX=1，Y=3+ PX=2，Y=2 =0.19PW=5= PV+U= 5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1 +PV=3，U=2 =PX=5Y=0+ PX=5