高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法

1、61第 八 章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第 一 節(jié) 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的：學(xué)習(xí)并掌握關(guān)于多元函數(shù)的區(qū)域、極限以及多元函數(shù)概念，掌握多元函數(shù)的連續(xù)性定理，能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，能夠求出連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點的極限。教學(xué)重點：多元函數(shù)概念和極限，多元函數(shù)的連續(xù)性定理。教學(xué)難點：計算多元函數(shù)的極限。教學(xué)內(nèi)容：一、 區(qū)域1 鄰域設(shè)是平面上的一個點，是某一正數(shù)。與點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即=，也就是= 。在幾何上，就是平面上以點為中心、為半徑的圓內(nèi)部的點的全體。2 區(qū)域設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點。如果存在點的某一鄰域，則稱為的內(nèi)點。顯然，的內(nèi)點屬于。如果的點都是內(nèi)點

2、，則稱為開集。例如，集合中每個點都是1的內(nèi)點，因此1為開集。如果點的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點，也有不屬于的點（點本身可以屬于，也可以不屬于），則稱為的邊界點。的邊界點的全體稱為的邊界。例如上例中，1的邊界是圓周和 =4。設(shè)D是點集。如果對于D內(nèi)任何兩點，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上的點都屬于D，則稱點集D是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如，及都是區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集，稱為閉區(qū)域，例如0及14都是閉區(qū)域。對于平面點集,如果存在某一正數(shù)，使得，其中是原點坐標(biāo)，則稱為有界點集，否則稱為無界點集。例如，14是有界閉區(qū)域，0是無界開區(qū)域。二、多元函數(shù)概念在很多自然現(xiàn)象以及實際

3、問題中，經(jīng)常遇到多個變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下：例1 圓柱體的體積V和它的底半徑、高之間具有關(guān)系 。這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定。例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)、體積和絕對溫度之間具有關(guān)系 =，其中為常數(shù)。這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定。定義1 設(shè)是平面上的一個點集。稱映射為定義在上的二元函數(shù)，通常記為 ，（或，）。其中點集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量。數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。是的函數(shù)也可記為 ， 等等。類似地可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。一般的，把定義1中的平面點集換成維空間內(nèi)的點集，則可類似地可以定義元函數(shù)。元函數(shù)也可簡記為，這里

4、點。當(dāng)時，元函數(shù)就是一元函數(shù)。當(dāng)時，元函數(shù)就統(tǒng)稱為多元函數(shù)。關(guān)于多元函數(shù)定義域，與一元函數(shù)類似，我們作如下約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)時，就以使這個算式有意義的變元的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域。例如，函數(shù)的定義域為 （圖8-1），就是一個無界開區(qū)域。又如，函數(shù)的定義域為（圖8-2），這是一個有界閉區(qū)域。 圖8-1 圖8-2設(shè)函數(shù)的定義域為。對于任意取定的點，對應(yīng)的函數(shù)值為。這樣，以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就確定一點 。當(dāng)遍取上的一切點時，得到一個空間點集 ，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形。通常我們也說二元函數(shù)的圖形是一張曲面。三、多元函數(shù)的極限定義2 設(shè)二元函數(shù)的

5、定義域為，是的聚點。如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點時，都有 成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作 ，或 （）。為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于。因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在。但是反過來，如果當(dāng)以不同方式趨于時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。下面用例子來說明這種情形?？疾旌瘮?shù)顯然，當(dāng)點沿軸趨于點時，；又當(dāng)點沿軸趨于點時，。 雖然點以上述兩種特殊方式(沿軸或沿軸)

6、趨于原點時函數(shù)的極限存在并且相等,但是并不存在.這是因為當(dāng)點沿著直線趨于點時,有 ， 顯然它是隨著的值的不同而改變的.例3 求 .解 這里的定義域為，為的聚點。由極限運(yùn)算法則得。四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設(shè)函數(shù)在開區(qū)域（閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是聚點，且。如果,則稱函數(shù)在點連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)的每一點連續(xù)，那么就稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，或者稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。若函數(shù)在點不連續(xù)，則稱為函數(shù)的間斷點。這里順便指出：如果在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)某些孤立點，或者沿D內(nèi)某些曲線，函數(shù)沒有定義，但在內(nèi)其余部分都有定義，那么這些孤立點或這些曲線上的點，都是函數(shù)的不連續(xù)點，即間斷點。前面已經(jīng)討論過的函數(shù)當(dāng)時的

7、極限不存在，所以點是該函數(shù)的一個間斷點。二元函數(shù)的間斷點可以形成一條曲線，例如函數(shù)在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點。與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)。性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，在上一定有最大值和最小值。這就是說，在上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD, 有.性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值和最小值之間的任何值。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點處的極限，而該點又

8、在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值，即.例4 求.解 函數(shù) 是初等函數(shù)，它的定義域為。因不是連通的，故不是區(qū)域。但是區(qū)域，且 ，所以是函數(shù)的一個定義區(qū)域。因, 故.如果這里不引進(jìn)區(qū)域，也可用下述方法判定函數(shù)在點 處是連續(xù)的：因是的定義域的內(nèi)點，故存在的某一鄰域，而任何鄰域都是區(qū)域，所以是的一個定義區(qū)域，又由于是初等函數(shù)，因此在點處連續(xù)。一般地，求，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點，則 在點處連續(xù)，于是。例5 求。解 =小結(jié)：本節(jié)在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)的基本概念。討論中我們以二元函數(shù)為主，針對二元函數(shù)的極限及連續(xù)予以重點介紹。從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù)則可以類推

9、。作業(yè)：第 二 節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)會求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和多階偏導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點：偏導(dǎo)數(shù)的定義，判斷二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的存在性，計算二元、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點：判斷二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的存在性，計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。教學(xué)內(nèi)容：一、 導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法以二元函數(shù)為例，如果只有自變量變化，而自變量 固定（即看作常量），這時它就是 的一元函數(shù)，這函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)對于的偏導(dǎo)數(shù)，即有如下定義：定義 設(shè)函數(shù) =在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量,如果 (1)存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作, , 或 例如，極限（1）可以表示為 .(2)

10、類似地，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為 (3)記作, , 或如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作, , 或類似地，可以定義函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作, , 或偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù) =() 在點 () 處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為其中 ()是函數(shù) 的定義域的內(nèi)點。它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。例1 求 在點(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù)。解 把看作常量，得把看作常量，得將 (1, 2)代入上面的結(jié)果，就得，例2 求的偏導(dǎo)數(shù)。解 , 例3 設(shè),求證：+證 因為 , ,所以 +=+例4 求 的偏導(dǎo)數(shù)。解 把 和都

11、看作常量，得 =由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以 = , =.二元函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義。設(shè)為曲面上的一點，過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為，則導(dǎo)數(shù), 即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點處的切線對軸的斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率。我們已經(jīng)知道，如果一元函數(shù)在某點具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點必定連續(xù)。但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于時，函數(shù)值趨于,但不能保證點按任何方式趨于時，函數(shù)值都趨于 。例如，函數(shù)在點（0，0）對的偏導(dǎo)數(shù)為 同樣有但是我們

12、在第一節(jié)中已經(jīng)知道這函數(shù)在點（0，0）并不連續(xù)。二、 高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), ,那么在D內(nèi) 、都是的函數(shù)。如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)： = , =, = , =其中第二、三個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。同樣可得三階、四階、以及階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。例5 設(shè)，求、 及 。解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6我們看到例5中兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即 = 這不是偶然的。事實上，我們有下述定理。定理 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個

13、二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。例6 驗證函數(shù) 滿足方程 +=0 。 證 因為,所以 =, =, =, =因此 +=+=0.例7 證明函數(shù)，滿足方程 +=0 ,其中.證 =, =+=+.由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以=+,=+.因此+ =+=+=0.例6和例7中兩個方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是數(shù)學(xué)物理方程中一種很重要的方程。小結(jié)：本節(jié)在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)（以二元函數(shù)為重點）偏導(dǎo)數(shù)的定義及存在條件和求法，這是多元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)。作業(yè)： 第 三 節(jié) 全微分及其應(yīng)用教學(xué)目的：學(xué)習(xí)和掌握多元函數(shù)（以二元函數(shù)為主）全微分的定義，掌握二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系，會求多

14、元函數(shù)的全微分。教學(xué)重點：可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系，多元函數(shù)的全微分。教學(xué)難點：計算多元函數(shù)的全微分。教學(xué)內(nèi)容： 一、全微分的定義我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得，上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對和對的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對和對的偏微分.設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一點，則稱這兩點的函數(shù)值之差為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量、的全增量，記作，即 （1）一般說來，計算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形一樣，我們希望用自變量的增量、的線性函數(shù)來近似的代替函數(shù)的全增量

15、,從而引入如下定義定義 如果函數(shù)在點的全增量可表示為， （2）其中、不依賴于、而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點可微分，而稱為函數(shù)在點的全微分，記作，即。在第二節(jié)中曾指出，多元函數(shù)在某點的各個偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，卻不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。但是，由上述定義可知，如果函數(shù)在點可微分，那末函數(shù)在該點必定連續(xù)。事實上，這時由（2）式可得 ，從而。因此函數(shù)在點處連續(xù)。下面討論函數(shù)在點可微分的條件。定理1（必要條件） 如果函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在，且函數(shù)在點的全微分為 =+。 （3）證 設(shè)函數(shù)在點可微分。于是，對于點的某個鄰域的任意一點，（2）式總成立。特別當(dāng) 時（2）式也應(yīng)成立，這時，所以（2

16、）式成為 。上式兩邊各除以，再令而取極限，就得x0 lim=，從而偏導(dǎo)數(shù)存在，且等于。 同樣可證=。所以（3）式成立。證畢。我們知道，一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件。但對于多元函數(shù)來說，情形就不同了。當(dāng)函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)都存在時，雖然能形式地寫出 +，但它與之差并不一定是較高階的無窮小，因此它不一定是函數(shù)的全微分。換句話說，各偏導(dǎo)數(shù)的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件。例如，函數(shù)=在點處有 及 ，所以=,如果考慮點沿著直線 趨于，則=,它不能隨而趨于0，這表示時， 并不是較高階的無窮小，因此函數(shù)在點處的全微分并不存在，即函數(shù)在點處是不可微分的。由定理1及這個例子可知，偏導(dǎo)

17、數(shù)存在是可微分的必要條件而不是充分條件。但是，如果再假定函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可以證明函數(shù)是可微分的，即有下面定理。定理2（充分條件） 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。證 因為我們只限于討論在某一區(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)（對于偏導(dǎo)數(shù)也如此），所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思（以后凡說到偏導(dǎo)數(shù)在某一點連續(xù)均應(yīng)如此理解）。設(shè)點為這鄰域內(nèi)任意一點，考察函數(shù)的全增量 。在第一個方括號內(nèi)的表達(dá)式，由于不變，因而可以看作是 的一元函數(shù) 的增量。于是，應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 = 又假設(shè)，在點 連續(xù)，所以上式可寫為 =， （4）其中為、的函數(shù)，且當(dāng)， 時，。

18、 同理可證第二個方括號內(nèi)的表達(dá)式可寫為 ，（5）其中為 的函數(shù)，且當(dāng)時， 。 由（4）、（5）式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量可以表示為。 （6）容易看出 |，它是隨著，即而趨于零。 這就證明了 在點是可微分的。以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及微分的必要條件和充分條件，可以完全類似的推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習(xí)慣上，我們將自變量的增量、分別記作、，并分別稱為自變量的微分。這樣，函數(shù)的全微分就可以寫為 =+. (7)如果三元函數(shù)可以微分，那么它的全微分就等于它的三個偏微分之和，即 =+例1 計算函數(shù)在點處的全微分解 因為 =yexy, =xexyx=2y=1x=2y=1 | =, | =

19、, 所以=例2 計算函數(shù)的全微分.解 因為 =, =+, =, 所以=(+ ) +小結(jié)：本節(jié)在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)（以二元函數(shù)為重點）全微分的定義及存在條件和求法，也可以簡單介紹全微分在近似計算中的應(yīng)用。作業(yè)： 第 四 節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學(xué)目的：掌握多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握全微分形式不變性。教學(xué)重點：針對多元函數(shù)的表達(dá)狀態(tài)（參數(shù)方程、復(fù)合函數(shù)），能夠求其導(dǎo)函數(shù)。教學(xué)難點：抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。教學(xué)內(nèi)容： 定理 如果函數(shù)及都在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： 證 設(shè)獲得增量，這時的對應(yīng)增量為、，由此，

20、函數(shù)對應(yīng)地獲得增量根據(jù)假定，函數(shù)在點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式有 這里，當(dāng)，時， 將上式兩邊各除以，得 因為當(dāng)時，所以 =+這就證明了復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式計算證畢用同樣的方法，可把定理推廣到復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個的情形例如，設(shè)、，復(fù)合而得復(fù)合函數(shù) 則在與定理相類似的條件下，這復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算在公式及中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形例如，設(shè)，復(fù)合而得復(fù)合函數(shù) 如果及都在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算： =+, =+ 類似地，設(shè)、及都在點

21、具有對及對的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且可用下列公式計算：=+，=+如果具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)可看作上述情形中當(dāng)，的特殊情形，因此 ， ， ，從而復(fù)合函數(shù)具有對自變量及的偏導(dǎo)數(shù)，且由公式及得 ， 注意 這里與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把中的及看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)與也有類似的區(qū)別例設(shè) 而，求和解 =+ =1 =，=+1例設(shè)，而求和解例設(shè)， 而，求全導(dǎo)數(shù)解= =例設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 及解 令,，則為表達(dá)簡便起見，引入以下記號：，這里下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)，同理有、

22、等等。因所給函數(shù)由及，復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有，（）求及時，應(yīng)注意及仍舊是復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有，于是+ 例設(shè)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式：解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式，可把函數(shù)換成極坐標(biāo)及的函數(shù)：現(xiàn)在要將式子及用、及函數(shù)對、的偏導(dǎo)數(shù)來表示為此，要求出的偏導(dǎo)數(shù)、。這里，復(fù)合而成，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得： ，兩式平方后相加，得：全微分形式不變性 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果 、又是、的函數(shù)、，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為，其中及分別由公式和給出，把公式及中的及代入上式，得由此可見，無論是自變量、的函數(shù)或者中間

23、變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。小結(jié)：本節(jié)要將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在多元函數(shù)微分學(xué)中起著重要作用。本節(jié)主要針對幾類普遍存在的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行了介紹。作業(yè)：第 五 節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式教學(xué)目的：掌握由一個方程和方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)公式，熟練計算隱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。教學(xué)重點：由一個方程確定的隱函數(shù)求導(dǎo)方法。教學(xué)難點：隱函數(shù)的高階導(dǎo)函數(shù)的計算。教學(xué)內(nèi)容：一、一個方程的情形 在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數(shù)的方法?，F(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在

24、定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，, ，則方程=0在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (2)公式（2）就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這個定理我們不證。現(xiàn)僅就公式(2)作如下推導(dǎo)。將方程(1)所確定的函數(shù)代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個復(fù)合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于連續(xù)，且，所以存在(x0,y0)的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(2)的兩端看作的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，即得 例1 驗證方程在點

25、(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時，的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在=0的值。解 設(shè)，則,.因此由定理1可知，方程在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時，的隱函數(shù)。下面求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù) =， ; = 。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).既然一個二元方程(1)可以確定一個一元隱函數(shù)，那末一個三元方程 ()=0 (3)就有可能確定一個二元隱函數(shù)。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)()的性質(zhì)來斷定由方程()=0所確定的二元函數(shù)=的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)()在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏

26、導(dǎo)數(shù)，且，則方程()=0在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 =,=. (4)這個定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導(dǎo).由于 (, )0,將上式兩端分別對和求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 +=0, +=0。因為連續(xù)，且,所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)0，于是得 =,=。 例2 設(shè)，求解 設(shè) () =，則=2, =.應(yīng)用公式(4)，得 =。再一次對求偏導(dǎo)數(shù)，得二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數(shù)。而且增加方程的個數(shù)，例如，考慮方程組 (5)這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨(dú)立變化

27、，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)、的性質(zhì)來斷定由方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3 設(shè)函數(shù)、在點的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)式): =在點不等于零，則方程組，在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (6) 這個定理我們不證. 例3 設(shè)，求,和.解 此題可直接利用公式(6)，但也可依照推導(dǎo)公式(6)的方法來求解。下面我們利用后一種方法來做。將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項，得 在的條件下， 將

28、所給方程的兩邊對求導(dǎo)，用同樣方法在的條件下可得 小結(jié)：本節(jié)在前面已提出隱函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出了隱函數(shù)存在定理1、2、3，使我們能夠計算有一個方程或方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。作業(yè)：第 六 節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用教學(xué)目的：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，學(xué)習(xí)并掌握空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線方程的形成過程和確定方法。教學(xué)重點：空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的方程。教學(xué)難點：曲線切線、曲面切平面的切向量。教學(xué)內(nèi)容：一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 (1)這里假定式(1)的三個函數(shù)都可導(dǎo)。在曲線上取對應(yīng)于的一點及對應(yīng)于的

29、鄰近一點。根據(jù)解析幾何，曲線的割線的方程是 當(dāng)沿著趨于M時，割線的極限位置就是曲線在點處的切線(圖87).用除上式的各分母，得 令這時 通過對上式取極限，即得曲線在點處的切線方程為 = (2)這里當(dāng)然要假定不能都為零.如果個別為零，則應(yīng)按空間解析幾何有關(guān)直線的對稱式方程的說明來理解。切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量 就是曲線在點處的一個切向量。通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點處的法平面，它是通過點而以為法向量的平面，因此這法平面的方程為 (3)例1 求曲線在點 (1,1,1)處的切線及法平面方程。解 因為而點 (1,1,1),所對應(yīng)的參數(shù)，所以 于是，切線方程為 ,法平面方程為 即 如

30、果空間曲線的方程以 的形式給出，取x為參數(shù)，它就可以表為參數(shù)方程的形式 若都在x=x0處可導(dǎo)，那末根據(jù)上面的討論可知，,因此曲線在點處的切線方程為 (4)在點處的法平面方程為 (5)設(shè)空間曲線的方程以 (6)的形式給出，是曲線上的一個點，又設(shè)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 這時方程組(6)在點的某一鄰域內(nèi)確定了一組函數(shù)要求曲線在點M處的切線方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)兩式就行了.為此，我們在恒等式 兩邊分別對x求全導(dǎo)數(shù)，得 由假設(shè)可知，在點M的某個鄰域內(nèi) 故可解得 于是是曲線在點處的一個切向量，這里 分子分母中帶下標(biāo)0的行列式表示行列式在點的值.把上面的切向量乘以得 這也是曲

31、線在點處的一個切向量，由此可寫出曲線在點處的切線方程為 (7)曲線在點處的法平面方程為 (8)如果而中至少有一個不等于零，我們可得同樣的結(jié)果.例2 求曲線,在點 (1,-2,1)處的切線及法平面方程。解 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項，得 由此得 從而 故所求切線方程為 法平面方程為 ,即 二、 曲線的切平面與法線我們先討論由隱式給出曲面方程 () = 0 (9)的情形，然后把由顯式給出的曲面方程作為它的特殊情形.設(shè)曲面由方程(9)給出，是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)()的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零.在曲面上，通過點任意引一條曲線（圖88），假定曲線的參數(shù)方程為 (10)對應(yīng)于點且不全為零，則由(

32、2)式可得這曲線的切線方程為 =我們現(xiàn)在要證明，在曲面上通過點且在點處具有切線的任何曲線，它們在點處的切線都在同一個平面上.事實上，因為曲線完全在曲面上，所以有恒等式 ,又因()在點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且和)存在，所以這恒等式左邊的復(fù)合函數(shù)在時有全導(dǎo)數(shù)，且這全導(dǎo)數(shù)等于零: 即有(11)引入向量則(11)式表示曲線（10）在點M處的切向量 與向量垂直.因為曲線(10)是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點的切線都與同一個向量垂直,所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上（圖88）.這個平面稱為曲面在點的切平面.這切平面的方程是 (12)通過點而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點的法

33、線。法線方程是 (13)垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量，向量 就是曲面在點處的一個法向量?，F(xiàn)在來考慮曲面方程 (14)令 () = z, 可見 x()=x, y()=y, z()=-1.于是，當(dāng)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)x、y在點連續(xù)時，曲面（14）在點處的法向量為 切平面方程為 或 (15)而法線方程為 這里順便指出，方程(15)右端恰好是函數(shù)在點的全微分，而左端是切平面上點的豎坐標(biāo)的增量.因此，函數(shù)在點的全微分，在幾何上表示曲面在點處的切平面上點的豎坐標(biāo)的增量.如果用、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與軸的正向所成的角是一銳角，則法向量的方向余弦為 這里，把分別簡

34、記為,。例3 求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程。解 () =, =（x, y, z）= |(1 ,2 ,3) =（2,4,6）.所以在點(1,2,3)處此球面的切平面方程為 即 法線方程為 即 由此可見，法線經(jīng)過原點(即球心).小結(jié)：本節(jié)在空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線兩方面研究了微分法的幾何應(yīng)用。利用導(dǎo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，針對空間曲線的一般表現(xiàn)方式，給出了空間曲線的切向量，從而確定了空間曲線的切線與法平面方程；同時針對由隱式給出的曲面方程，推導(dǎo)出曲面的切平面與法線方程，并給出了曲面法向量的方向角。作業(yè)：第 七 節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)目的：掌握方向?qū)?shù)的定義和求法；掌握梯度

35、的定義、求法及其與等高線的關(guān)系。教學(xué)重點：方向?qū)?shù)與梯度的求法。教學(xué)難點：方向角的確定。教學(xué)內(nèi)容：一、方向?qū)?shù)現(xiàn)在我們來討論函數(shù)在一點沿某一方向的變化率問題。設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義.自點引射線。設(shè)軸正向到射線的轉(zhuǎn)角為（逆時針方向：0；順時針方向：0），并設(shè)(+,+)為上的另一點且。我們考慮函數(shù)的增量(+,+)與、兩點間的距離的比值.當(dāng)沿著趨于時，如果這個比的極限存在，則稱這極限為函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即 (1)關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計算，我們有下面的定理。定理 如果函數(shù)在點是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且有 (2)其中為軸到方向的轉(zhuǎn)角。證 根據(jù)函數(shù)在點可微

36、分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為 兩邊各除以，得到 所以 這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為 例1 求函數(shù)=在點處沿從點到點 方向的方向?qū)?shù)。解 這里方向即向量=的方向，因此軸到方向的轉(zhuǎn)角，因為 在點 ，,.故所求方向?qū)?shù) 對于三元函數(shù)=來說，它在空間一點沿著方向 (設(shè)方向的方向角為的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為 (3)其中，=,=,=。同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點處可微分，那末函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù)為 (4)二、 梯度與方向?qū)?shù)有關(guān)聯(lián)的一個概念是函數(shù)的梯度.在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點，都可定出一個向量 這向量稱為函數(shù)=在點的梯度，記作，即 = 如果

37、設(shè)是與方向同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計算公式可知 這里，()表示向量與的夾角。由此可以看出，就是梯度在射線上的投影，當(dāng)方向與梯度的方向一致時，有 () 1，從而有最大值.所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，也就是說,梯度的方向是函數(shù)在這點增長最快的方向.因此，我們可以得到如下結(jié)論:函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.由梯度的定義可知，梯度的模為 當(dāng)不為零時，那末軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 我們知道，一般說來二元函數(shù)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線的方程為 這條曲線在面上的投影是一條平面曲線，它在平面

38、直角坐標(biāo)系中的方程為 對于曲線上的一切點，已給函數(shù)的函數(shù)值都是，所以我們稱平面曲線為函數(shù)的等值線.由于等值線上任一點處的法線的斜率為 ,所以梯度 為等值線上點處的法向量，因此我們可得到梯度與等值線的下述關(guān)系：函數(shù)在點的梯度的方向與過點的等值線在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)。這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。例2 求解 這里 因為 所以 例3 設(shè)，求。解 ,于是 。小結(jié)：本節(jié)主要研究函數(shù)在一點沿某一方向的變化率問題，給出方向?qū)?shù)的定義及其相關(guān)的梯度的定義，推導(dǎo)出方向?qū)?shù)和梯度的求法，并通過梯度的意義介紹了等

39、值線、等量面、數(shù)量場與向量場等概念。作業(yè)： 第 八 節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實際問題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)內(nèi)容：一、 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點，如果都適合不等式，則稱函數(shù)在點有極大值。如果都適合不等式 ，則稱函數(shù)在點有極小值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。例1 函數(shù)在點（0，0）處有極小值。因為對于點（0，0）的任一鄰域內(nèi)異

40、于(0，0)的點，函數(shù)值都為正，而在點（0，0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因為點（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點。例 函數(shù)在點（0，0）處有極大值。因為在點（0，0）處函數(shù)值為零，而對于點（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點，函數(shù)值都為負(fù)，點（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點。例函數(shù)在點（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負(fù)的點。 定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證 不妨設(shè)在點處有極大值。依極大值的定義，在點的某鄰域內(nèi)異于的點都適合不等式 特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點，也應(yīng)適合不等式 這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有 類似地可證 從幾何上看，這時如果曲面在點處有切平面，則切平面成為平行于坐標(biāo)面的