離散型隨機(jī)變量的均值與方差的應(yīng)用

1、一、離散型隨機(jī)變量的均值和方差的概念一、離散型隨機(jī)變量的均值和方差的概念X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為(1)(1)均值均值 稱稱E E( (X X)=_ )=_ 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的均值或的均值或_._.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_._. x x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望平均水平平均水平平均偏離程度平均偏離程度()D X算數(shù)平方根其中

2、其中_為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)方差方差稱稱D(X)=_ 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的方差的方差,它刻畫(huà)了隨機(jī)變量它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值與其均值E(X)的的_注：注：方差是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平方差是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均均程度的量，它的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。值的平均程度越小，即越集中于均值。nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()(XD X為 標(biāo) 準(zhǔn) 差記作：記作：二、離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)：二、離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)： (1) (1)E E( (aXaX+ +b

3、b)=_.)=_. (2) (2)D D( (aXaX+ +b b)=_.()=_.(a a, ,b b為常數(shù)為常數(shù)) )aEaE( (X X)+)+b ba a2 2D D( (X X) )p(1)pp(1)nppnp (1)若若X服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布,則則E(X)=_ ,D(X)=_. (2)若若XB(n,p),則則E(X)=_,D(X)=_. 2.2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差1.1.線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：2.2.有一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品, ,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品, ,從中有放從中有放 回地任取回地任取3 3件件, ,若若

4、X X表示取到次品的次數(shù)表示取到次品的次數(shù), ,則則D D( (X X)=)= _. _.1691173.3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 則則 ( ) A. A.n n=8,=8,p p=0.2 B.=0.2 B.n n=4,=4,p p=0.4=0.4 C. C.n n=5,=5,p p=0.32 D.=0.32 D.n n=7,=7,p p=0.45=0.45,28. 1)(, 6 . 1)(),(DEpnB且A h h h hDD則則，且，且、已、已知知,138131例例1 1：從從4 4名男生和名男生和2 2名女生中任選名女生中任選3 3人參加演講比人參加演講比賽賽, ,設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量

5、X X表示所選表示所選3 3人中女生的人數(shù)人中女生的人數(shù). .(1)(1)求求X X的分布列的分布列; ;(2)(2)求求X X的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差; ;解析(1)X的分布列為：的分布列為：X012P515153(2)由由(1)，X 的均值為的均值為E(X)=1 X的方差為的方差為D(X)=52 練習(xí)：練習(xí)：某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的均值與方差的均值與方差; (2)求重復(fù)求重復(fù)5次投籃時(shí)次投籃時(shí),命中次數(shù)命中次數(shù)的均值與方差的均值與方差.解析：解析：(1)投籃一次，命中次數(shù)投籃一次，命中次數(shù)的分布列為：

6、的分布列為：01P0.40.6 故故E=p=0.6,D=p(1-p)=0.60.4=0.24. 練習(xí)：練習(xí)：某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的均值的均值;方差方差; (2)求重復(fù)求重復(fù)5次投籃時(shí)次投籃時(shí),命中次數(shù)命中次數(shù)的均值與方差的均值與方差.故故E=np=50.6=3.D=np(1-p)=50.60.4=1.2.解析：解析：(2)(2)重復(fù)重復(fù)5 5次投籃，命中次數(shù)次投籃，命中次數(shù)服從服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 即即B B(5,0.6)(5,0.6)例例2: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量具有分布列具有分布列P P( (= =k k)

7、= )= k k=1,2,3,=1,2,3, 4,5, 4,5, 求求E E(2(2+5),+5),D D(2(2-1),-1), ,51. 3515515514513512511)(E解析：解析：. ) 1( DE(2+5)=2E()+5=11. 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, ,則則= =a a+b +b 仍是隨機(jī)仍是隨機(jī) 變量變量, ,在求在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)的性質(zhì), ,可以避免再求可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算. . .)()()()()()()(24101451513551345133513251312222

8、2 D. 2)() 1(DD點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)： D(2-1)=4D()=8,練習(xí)：練習(xí)： 甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)所得環(huán)數(shù)X1， X2分布列如下：分布列如下：用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。射擊水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽好？應(yīng)派哪一名選手參賽好？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4這表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊

9、這表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會(huì)很大，但甲射手發(fā)揮比較穩(wěn)定，中平均得分差別不會(huì)很大，但甲射手發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在多數(shù)得分在9環(huán)，而乙射手得分相對(duì)比較分散。環(huán)，而乙射手得分相對(duì)比較分散。解：解：9, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX答：派甲射手去參加比賽較好。答：派甲射手去參加比賽較好。1.求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的方法與步驟：的均值、方差的方法與步驟：(1)找出隨機(jī)變量找出隨機(jī)變量X的可能取值；的可能取值； 寫(xiě)出隨機(jī)變量寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；的分布列；(2)由期望、方差的定義求由期望、方差的定義求E(X)，D(X

10、)；特別地，若隨機(jī)變量滿足線性性質(zhì)或服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)特別地，若隨機(jī)變量滿足線性性質(zhì)或服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和和D(X)2. 均值與方差在實(shí)際生產(chǎn)、生活中的作用：均值與方差在實(shí)際生產(chǎn)、生活中的作用：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差反映了它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中于離散程度。在離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中于離散程度。在實(shí)際應(yīng)用中先運(yùn)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高，如果均實(shí)際應(yīng)用中先運(yùn)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高，如果均值相同，則計(jì)算方差來(lái)分析最后的選取由實(shí)際情況而定。

11、值相同，則計(jì)算方差來(lái)分析最后的選取由實(shí)際情況而定。思考題：思考題：規(guī)律方法規(guī)律方法 求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的均值、方差的方法與步驟：的方法與步驟：(1)理解理解X的意義，寫(xiě)出的意義，寫(xiě)出X的可能取值；的可能取值；(2)求求X取每一個(gè)值的概率；取每一個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出隨機(jī)變量寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；的分布列；(4)由期望、方差的定義求由期望、方差的定義求E(X)，D(X)特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和和D(X) 從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)

12、期望考察，兩人水平相當(dāng)；從方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成2題的概率考察，題的概率考察，甲通過(guò)的可能性大因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作甲通過(guò)的可能性大因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)能力較強(qiáng)題型三題型三 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 【例例3 3】 (12分）分）(2008(2008廣東理廣東理,17),17)隨機(jī)抽取某廠的隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)某種產(chǎn) 品品200200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126126件、二件、二等品等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件件. .已知生產(chǎn)已知生產(chǎn)1 1件一、件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分

13、別為二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6 6萬(wàn)元、萬(wàn)元、2 2萬(wàn)元、萬(wàn)元、1 1萬(wàn)元萬(wàn)元, ,而而1 1件次品虧損件次品虧損2 2萬(wàn)元萬(wàn)元. .設(shè)設(shè)1 1件產(chǎn)品的利潤(rùn)件產(chǎn)品的利潤(rùn)( (單位單位: :萬(wàn)元萬(wàn)元) )為為. . (1) (1)求求的分布列；的分布列； (2)(2)求求1 1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)( (即即的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望) )； (3)(3)經(jīng)技術(shù)革新后經(jīng)技術(shù)革新后, ,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品, ,但次品率降但次品率降 為為1%,1%,一等品率提高為一等品率提高為70%.70%.如果此時(shí)要求如果此時(shí)要求1 1件產(chǎn)品的件產(chǎn)品的 平均利潤(rùn)不小于平均利潤(rùn)不小于4.73

14、4.73萬(wàn)元萬(wàn)元, ,則三等品率最多是多少？則三等品率最多是多少？思維啟迪思維啟迪 確定隨機(jī)變量確定隨機(jī)變量寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望計(jì)算數(shù)學(xué)期望列不等式求解列不等式求解. .解解 (1)(1)的所有可能取值有的所有可能取值有6,2,1,-2.6,2,1,-2.故故的分布列為的分布列為(2)(2)E E( ()=6)=60.63+20.63+20.25+10.25+10.1+(-2)0.1+(-2)0.020.02=4.34(=4.34(萬(wàn)元萬(wàn)元). ). .02. 02004)2(, 1 . 020020) 1(,25. 020050)2(,63. 0200126)

15、6(PPPP6 62 21 1-2-2P P0.630.630.250.250.10.10.020.02(3)(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x x，則此時(shí)，則此時(shí)1 1件產(chǎn)品的件產(chǎn)品的 平均利潤(rùn)為平均利潤(rùn)為E E( ()=6)=60.7+20.7+2(1-0.7-0.01-(1-0.7-0.01-x x)+)+x x+ +(-2)(-2)0.01=4.76-0.01=4.76-x x(0(0 x x0.29),0.29),依題意依題意, ,知知E E( ()4.73,)4.73,即即4.76-4.76-x x4.73,4.73,解得解得x x0.03.0.03.所以三等

16、品率最多為所以三等品率最多為3%.3%. 解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變 量取每一個(gè)值所表示的具體事件量取每一個(gè)值所表示的具體事件, ,求得該事件發(fā)生的求得該事件發(fā)生的概率概率, ,本題第本題第(3)(3)問(wèn)充分利用了分布列的性質(zhì)問(wèn)充分利用了分布列的性質(zhì)p p1 1+ +p p2 2+ +p pi i+=1. +=1. 探究提高探究提高 1.1.期望與方差的常用性質(zhì)期望與方差的常用性質(zhì). .掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給 解題帶來(lái)方便解題帶來(lái)方便: : (1) (1)E E( (a a+ +b b)=)=aEaE( ()+)+b b; ; E

17、 E( (+ +)=)=E E( ()+)+E E( ();); D D( (a a+ +b b)=)=a a2 2D D( ();); (2) (2)若若BB( (n n, ,p p),),則則E E( ()=)=npnp, ,D D( ()=)=npnp(1-(1-p p).).方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.基本方法基本方法 (1)(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)已知隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn) 差差, ,可直接按定義可直接按定義( (公式公式) )求解；求解； (2)(2)已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量的期望的期望 、方差、方差, ,求

18、求的線性函數(shù)的線性函數(shù)= =a a+ +b b的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期的期 望、方差的性質(zhì)求解；望、方差的性質(zhì)求解； (3)(3)如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布( (如如 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等),),可直接利用它們的期望、可直接利用它們的期望、 方差公式求解方差公式求解. . 1.1.在沒(méi)有準(zhǔn)確判斷概率分布模型之前不能亂套公式在沒(méi)有準(zhǔn)確判斷概率分布模型之前不能亂套公式. .2.2.對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題, ,必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析, ,一般一般 要將問(wèn)題中的

19、隨機(jī)變量設(shè)出來(lái)要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái), ,再進(jìn)行分析再進(jìn)行分析, ,求出隨求出隨 機(jī)變量的概率分布機(jī)變量的概率分布, ,然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期 望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差. . 失誤與防范失誤與防范問(wèn)題問(wèn)題1：如果你是教練，你會(huì)派誰(shuí)參加比賽呢？：如果你是教練，你會(huì)派誰(shuí)參加比賽呢？問(wèn)題問(wèn)題2：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？應(yīng)派哪一名選手參賽？問(wèn)題問(wèn)題3：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？應(yīng)派哪一名選手參賽？X18910P0.20.60

20、.2X28910P0.40.20.49, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX練習(xí)：練習(xí)： (2008(2008湖北理，湖北理，17)17)袋中有袋中有2020個(gè)大小相個(gè)大小相 同的球同的球, ,其中記上其中記上0 0號(hào)的有號(hào)的有1010個(gè)個(gè), ,記上記上n n號(hào)的有號(hào)的有n n個(gè)個(gè) ( (n n=1,2,3,4).=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球現(xiàn)從袋中任取一球, ,表示所取球的標(biāo)表示所取球的標(biāo)號(hào)號(hào). (1) (1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差； (2)(2)若若= =a a+ +b b, ,E E( ()=1,)=1,D D( ()=11,)=11,

21、試求試求a a, ,b b的值的值. . 解：解： (1)(1)的分布列為的分布列為 0 01 12 23 34 4P P2120110120351(2)(2)由由D D( ()=)=a a2 2D D( (),),得得a a2 22.75=11,2.75=11,即即a a= =2.2.又又E E( ()=)=aEaE( ()+)+b b, ,所以當(dāng)所以當(dāng)a a=2=2時(shí)時(shí), ,由由1=21=21.5+1.5+b b, ,得得b b=-2.=-2. 當(dāng)當(dāng)a a=-2=-2時(shí)時(shí), ,由由1=-21=-21.5+1.5+b b, ,得得b b=4. =4. .75. 251)5 . 14(203)

22、5 . 13(101)5 . 12(201)5 . 11 (21)5 . 10()(. 5 . 1514203310122011210)(22222DE. 4, 2, 2, 2即為所求或baba1.1.若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布列如表的分布列如表, ,則則E(X)E(X)等于等于 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由分布列的性質(zhì)由分布列的性質(zhì), , 可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+ +x x=1, =1, E E( (X X)=0)=02 2x x+1+13 3x x+2+27 7x x+3+32 2x

23、 x+4+43 3x x+5+5x x =40 =40 x x= =X X0 01 12 23 34 45 5P P2 2x x3 3x x7 7x x2 2x x3 3x xx 181x.920C5.5.已知某一隨機(jī)變量已知某一隨機(jī)變量 的概率分布列如下的概率分布列如下, ,且且 =6.3,=6.3,則則a a的值為的值為 ( ) ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A.5 B.6 C.7 D.8 解析解析 由分布列性質(zhì)知：由分布列性質(zhì)知：0.5+0.1+0.5+0.1+b b=1,=1,b b=0.4.=0.4. =4 =40.5+0.5+a a0.1+90.

24、1+90.4=6.3.0.4=6.3.a a=7. =7. )( E)(E4 4a a9 9P P0.50.50.10.1b bC3.3.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示且設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示且E E( () )=1.6,=1.6,則則a a- -b b 等于等于 ( ) ( ) A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析解析 由由0.1+0.1+a a+ +b b+0.1=1,+0.1=1,得得a a+ +b b=0.8 =0.8 又由又由E E( ()=0)=00.1+10.1+1a a+2+2b b+3+30.1=1.6,0.1=1.6, 得得a a+2+2b b=1.3 =1.3 由由, ,解得解得a a=0.3,=0.3,b b=0.5,=0.5,a a- -b b=-0.2. =-0.2. 0 01 12 23 3P P0.10.1a ab b0.10.1C4.4.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量+ +=8,=8,若若BB(10,0.6),(10,0.6),則則E E( (), ), D D( () )分別是分別是 ( ) ( ) A.6 A.6和和2.4 B.22.4 B.2和和2.42