第4章 剪切及扭轉(zhuǎn)

1、本章主要討論的幾個(gè)問題：本章主要討論的幾個(gè)問題：(1)剪切構(gòu)件的受力和變形特點(diǎn)；剪切構(gòu)件的受力和變形特點(diǎn)；(2)剪切和擠壓的近似計(jì)算；剪切和擠壓的近似計(jì)算；(3)扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)；扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)；(4)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力計(jì)算；圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力計(jì)算；(5)剪切虎克定律；剪切虎克定律；(6)扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度條件。扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度條件。4.1剪切構(gòu)件的受力與變形特點(diǎn)剪切構(gòu)件的受力與變形特點(diǎn)受力特點(diǎn)：合力大小相等、方向相反、作用線距離很小。受力特點(diǎn)：合力大小相等、方向相反、作用線距離很小。變形特點(diǎn)：兩相鄰截面間發(fā)生錯(cuò)動。變形特點(diǎn)：兩相鄰截面間發(fā)生錯(cuò)動。發(fā)生相對錯(cuò)動的面稱為發(fā)生相對錯(cuò)動的

2、面稱為剪切面。剪切面。4.2 剪切和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算一、剪應(yīng)力計(jì)算和剪切強(qiáng)度條件一、剪應(yīng)力計(jì)算和剪切強(qiáng)度條件假設(shè)剪應(yīng)力假設(shè)剪應(yīng)力在截面上均勻分布：在截面上均勻分布： =Q/A強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： ， 其中：其中： = b/nb對塑性材料：對塑性材料：=(0.60.8)對脆性材料：對脆性材料：=(0.81.0)4.2 剪切和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算jyjy= F A二、擠壓應(yīng)力計(jì)算和擠壓強(qiáng)度條件二、擠壓應(yīng)力計(jì)算和擠壓強(qiáng)度條件假設(shè)擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力jy在截面上均在截面上均勻分布勻分布：強(qiáng)度條件為：強(qiáng)度條件為：jyjyjyF=A jy= (1.7 -2.0) (注意擠壓

3、面面積的算法注意擠壓面面積的算法)jy為材料許用擠壓應(yīng)力，為材料許用擠壓應(yīng)力，其值由試驗(yàn)確定。其值由試驗(yàn)確定。對于塑性較好的低碳鋼材料：對于塑性較好的低碳鋼材料：4.2 剪切和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算例例4-1 如圖所示的起重吊鉤，起吊重物如圖所示的起重吊鉤，起吊重物F = 20kN, 鋼板厚度鋼板厚度= 8mm，銷釘?shù)牟牧?，銷釘?shù)牟牧蠟闉?6Mn，其許用剪應(yīng)力，其許用剪應(yīng)力 = 140MPa，許用擠壓應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力jy = 230MPa，試設(shè)計(jì)銷，試設(shè)計(jì)銷釘直徑釘直徑d。FF/2F/24.2 剪切和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算Q = F 2 = 10kN(1)選取分離體，

4、畫出受力圖：選取分離體，畫出受力圖：(2)求剪切面的剪力：求剪切面的剪力：(3)應(yīng)用強(qiáng)度條件：應(yīng)用強(qiáng)度條件： 2 2Q Q1 10 0k kN NA A= = = 7 71 1. .4 43 3m mm m1 14 40 0M MP Pa a經(jīng)計(jì)算圓整，經(jīng)計(jì)算圓整，d=10mm4.2 剪切和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算(4)校核擠壓強(qiáng)度：校核擠壓強(qiáng)度：j jy yj jy yj jy yF FF F / / 2 21 10 0k kN N= = = = = 1 12 25 5M MP Pa a A Ad d8 8m mm m1 10 0m mm m所以銷釘安全。所以銷釘安全。4.2 剪切

5、和擠壓的近似計(jì)算剪切和擠壓的近似計(jì)算沖床的最大沖力沖床的最大沖力F=400kN，沖頭材料的許用應(yīng)力，沖頭材料的許用應(yīng)力 jy=440MPa，被剪切鋼板的剪，被剪切鋼板的剪切強(qiáng)度極限切強(qiáng)度極限 b=360MPa, 求圓孔最小直徑求圓孔最小直徑 和鋼板的最大厚度。和鋼板的最大厚度。解：根據(jù)擠壓條件：解：根據(jù)擠壓條件： jyjyjyjyjyjyF F=A A根據(jù)剪切條件：根據(jù)剪切條件：b bQ Q=A A2 2400kN400kN 440MPa 440MPad d4 4 d34mm d34mm400kN400kN 360MPa 360MPadd 10.4mm10.4mm該沖床在最大載荷作用下所能沖剪

6、的圓該沖床在最大載荷作用下所能沖剪的圓孔最小直徑為孔最小直徑為34mm，所能沖剪鋼板的最，所能沖剪鋼板的最大厚度為大厚度為10.4mm4.3 扭轉(zhuǎn)變形的概念扭轉(zhuǎn)變形的概念TT受力特點(diǎn)：在桿件的兩端作受力特點(diǎn)：在桿件的兩端作用著一對大小相等、方向相用著一對大小相等、方向相反的外力矩反的外力矩T。變形特點(diǎn)：兩個(gè)不同的橫截變形特點(diǎn)：兩個(gè)不同的橫截面產(chǎn)生相對的轉(zhuǎn)動。面產(chǎn)生相對的轉(zhuǎn)動。注意：在一般情況下注意：在一般情況下, 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)桿件扭轉(zhuǎn)時(shí), 有一系列外力矩作用在桿件上有一系列外力矩作用在桿件上, 但但是當(dāng)桿件處于等速轉(zhuǎn)動時(shí)是當(dāng)桿件處于等速轉(zhuǎn)動時(shí), 這些外力矩的代數(shù)和等于零。這些外力矩的代數(shù)和等于零

7、。4.4 傳動軸外力矩的計(jì)算傳動軸外力矩的計(jì)算要研究圓軸受扭轉(zhuǎn)后的強(qiáng)度問題，首先要分析其外力。對于傳動軸，通要研究圓軸受扭轉(zhuǎn)后的強(qiáng)度問題，首先要分析其外力。對于傳動軸，通常不直接給出外力矩的數(shù)值，而是給出軸的轉(zhuǎn)速常不直接給出外力矩的數(shù)值，而是給出軸的轉(zhuǎn)速n 和所傳遞的功率和所傳遞的功率P。根。根據(jù)功率據(jù)功率P 和轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速n 可以換算出外力矩可以換算出外力矩T。22n n角角速速度度： =rad s=rad s6060機(jī)機(jī)功功率率： P = Fv = FR P = Fv = FR又又因因： FR = T FR = T22n n所所以以： P = T P = T= =606060P60P所所以以

8、： T = T =22n n P P T = 9. 5 T = 9. 5n n 5 5電為TT作用在圓軸上的外力矩，作用在圓軸上的外力矩，kNm;P軸所傳遞的功率，軸所傳遞的功率，kW;n軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，r/min。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定律剪切虎克定律變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：(1) 縱向線變成螺旋線，原來的小矩形縱向線變成螺旋線，原來的小矩形abcd 變成斜平行四邊形。變成斜平行四邊形。(2) 周向線各自繞圓筒軸線轉(zhuǎn)過一定的角度周向線各自繞圓筒軸線轉(zhuǎn)過一定的角度, 不同的周向線轉(zhuǎn)過的角度大不同的周向線轉(zhuǎn)過的角度大小不一樣小不一樣, 但周向線的大小、形狀以及各周向線之間的距

9、離均未改變。但周向線的大小、形狀以及各周向線之間的距離均未改變。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定律剪切虎克定律T = 0 ，T = 0 ， 可 可以以得得出出： ( (yy)x =(x =(xx)y y由靜力平衡條件：由靜力平衡條件： 這說明這說明: 在相互垂直的兩個(gè)面上如同時(shí)存在著剪應(yīng)力，則它們的大小相在相互垂直的兩個(gè)面上如同時(shí)存在著剪應(yīng)力，則它們的大小相等，方向必須都是指向或都是背向兩面的交線。剪應(yīng)力之間的這種關(guān)等，方向必須都是指向或都是背向兩面的交線。剪應(yīng)力之間的這種關(guān)系稱為系稱為剪力互等定理剪力互等定理，又稱為，又稱為剪力雙生定律剪力雙生定律。這種在互相垂直的面上。這種在互相垂直的面上

10、只有剪應(yīng)力作用的受力情況稱為只有剪應(yīng)力作用的受力情況稱為純剪切純剪切。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定律剪切虎克定律剪切虎克定律：剪切虎克定律：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)剪應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)剪應(yīng)力不不超過材料的剪切比例極限超過材料的剪切比例極限p 時(shí)，時(shí)，剪應(yīng)剪應(yīng)力力與與剪應(yīng)變剪應(yīng)變成正比，即：成正比，即：= G= G剪切彈性模量剪切彈性模量G、拉壓彈性模量、拉壓彈性模量E 以及橫向變形系數(shù)以及橫向變形系數(shù)都是表示材料彈都是表示材料彈性性質(zhì)的常數(shù)，這三個(gè)常數(shù)都可由實(shí)驗(yàn)確定。同時(shí)性性質(zhì)的常數(shù)，這三個(gè)常數(shù)都可由實(shí)驗(yàn)確定。同時(shí), 在它們之間有一定在它們之間有一定的關(guān)系，對于各向同性的材料，它

11、們之間的關(guān)系是：的關(guān)系，對于各向同性的材料，它們之間的關(guān)系是：E EG =G =2(1+2(1+) )4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力根據(jù)平衡條件：根據(jù)平衡條件：n nA AT T = = 0 0 ， 可可以以得得出出： T T = = T T這個(gè)內(nèi)力矩稱為這個(gè)內(nèi)力矩稱為扭矩扭矩?？梢钥闯?，扭矩?？梢钥闯?，扭矩Tn 在軸的全長是一個(gè)常數(shù)。在軸的全長是一個(gè)常數(shù)。一、橫截面上的內(nèi)力一、橫截面上的內(nèi)力4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力maxmaxAA = = l ,BB = = l 二、扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力二、扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力

12、縱線所傾斜的角度即縱線所傾斜的角度即剪應(yīng)變剪應(yīng)變，以，以表示。表示。maxmax=l4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力根據(jù)剪切虎克定律剪應(yīng)力根據(jù)剪切虎克定律剪應(yīng)力與剪應(yīng)變與剪應(yīng)變成正比這一關(guān)系：成正比這一關(guān)系：maxmax=maxmax=maxmax令：，極性矩，位是或；令，抗扭截面模量位是或；截面上任意一nAAA2maxmaxnAmaxmax244Amaxnmaxnmaxnmaxmax33maxT =dT =( dA)= dA = T = dAI = dA ImmmT T =I T =IIW =W,mm =mW稱稱為為慣慣單單稱 圓 為單點(diǎn)的剪力公式： nT

13、 =I應(yīng)4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力三、剪應(yīng)力的計(jì)算公式三、剪應(yīng)力的計(jì)算公式4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力四、四、極慣性矩和抗扭截面模量的計(jì)算極慣性矩和抗扭截面模量的計(jì)算4444)Ddddd心：空心：實(shí)實(shí)圓圓軸軸圓圓軸軸44334444I =D0.1D32 W =D0.2D16I =(D0.1(D32 W =(D0.2(D164.7 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件 nmaxmaxT=W圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為: : 代入得：nx33ma1W =D166TD 將將為扭轉(zhuǎn)時(shí)的許用剪應(yīng)力，為扭

14、轉(zhuǎn)時(shí)的許用剪應(yīng)力，的值可查閱有關(guān)手冊。的值可查閱有關(guān)手冊。一般在靜載荷作用下一般在靜載荷作用下: 于塑性材料，可?。河诖嘈圆牧?，可?。?= (0.50.6) = (0.81.0) 對對4.7 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件例例4-3 圖中有槳式的攪拌器圖中有槳式的攪拌器, 攪拌軸上共有上下兩層槳葉。已知電動機(jī)攪拌軸上共有上下兩層槳葉。已知電動機(jī)功率功率Pk=17kW，攪拌軸轉(zhuǎn)速，攪拌軸轉(zhuǎn)速n=60r/ min，機(jī)械效率是，機(jī)械效率是90%，上、下兩，上、下兩層攪拌槳葉因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占總功率層攪拌槳葉因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占總功率Pk的的35% 和和65

15、%。此軸采用。此軸采用117mm6mm，不銹鋼管制成，其許用剪應(yīng)力，不銹鋼管制成，其許用剪應(yīng)力 =30MPa。試校核此軸的強(qiáng)度。如將此軸改為實(shí)心軸，試確定其直徑，。試校核此軸的強(qiáng)度。如將此軸改為實(shí)心軸，試確定其直徑，并比較這兩種圓軸的用鋼量。并比較這兩種圓軸的用鋼量。4.8 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件工程上一般都用工程上一般都用l 為為1m 時(shí)的相對扭轉(zhuǎn)角時(shí)的相對扭轉(zhuǎn)角0表示扭轉(zhuǎn)變形的大小表示扭轉(zhuǎn)變形的大小,0 的單位為的單位為/m, 如果力矩的單位是如果力矩的單位是kNm , I 的單位是的單位是m4 , l 用用1m表示表示, 則上式可改寫為：則上式可改寫為：變幾幾何

16、何形形：由由虎虎克克定定律律得得：又又代代入入得得：maxmaxmaxmaxnnmaxR = ll= G=GRT RT l=,=IGIn0T180 =GI扭轉(zhuǎn)剛度條件：扭轉(zhuǎn)剛度條件：n00T180 =GIG I 稱為軸的抗扭剛度稱為軸的抗扭剛度, 決定于軸的材料與截面的形狀與尺寸。軸的決定于軸的材料與截面的形狀與尺寸。軸的G I 值越大值越大, 則扭轉(zhuǎn)角則扭轉(zhuǎn)角0 越小越小, 表明抗扭轉(zhuǎn)變形的能力越強(qiáng)。表明抗扭轉(zhuǎn)變形的能力越強(qiáng)。4.8 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件0 0n n4444-644444-643 300009-69-6T180T180 =GIGIT = 2.43k

17、N T = 2.43kN m mI = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105 )= 5.33I = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105 )= 5.3310m10m2.432.4310 10 180180 = 0.33= 0.33/ m / m 808010 10 5.335.331010例例4-4 試校核例試校核例4-3的攪拌軸剛度的攪拌軸剛度, 已知已知G= 80103 MPa , 0 = 0.5/m。所以，剛度足夠。所以，剛度足夠。本章習(xí)題講解本章習(xí)題講解習(xí)題習(xí)題4-4 圖示為安裝鉸刀用的搖動套筒圖示為安裝鉸刀用的搖動套筒, 已知已知T =

18、0.05kNm，銷釘?shù)闹睆綖椋N釘?shù)闹睆綖?mm，它的許用應(yīng)力，它的許用應(yīng)力 =80MPa，設(shè)搖動套筒與鉸刀柄間的間隙很小，設(shè)搖動套筒與鉸刀柄間的間隙很小，試核算銷釘?shù)募羟袕?qiáng)度。試核算銷釘?shù)募羟袕?qiáng)度。 銷銷釘釘強(qiáng)強(qiáng)22222 22 2解解：T = FT = F25mm25mmT0.05kN T0.05kN m mF = 2kNF = 2kN25mm25mm25mm25mmQ = F = 2kNQ = F = 2kNdd6 6又又 A = 28.3mmA = 28.3mm4444Q2kNQ2kN= 70.7MPa = 70.7MPa A28.3mmA28.3mm所所以以的的剪剪切切度度符符合合要

19、要求求。本章習(xí)題講解本章習(xí)題講解習(xí)題習(xí)題4-5 圖中鍵的尺寸為圖中鍵的尺寸為b hl=10mm8mm35mm，若鍵的許用應(yīng)，若鍵的許用應(yīng)力力 =60MPa，搖柄套的許用擠壓應(yīng)力，搖柄套的許用擠壓應(yīng)力jy =200MPa。問加在搖柄端部。問加在搖柄端部的力的力F 可以有多大可以有多大? 強(qiáng)強(qiáng)計(jì)計(jì)鍵鍵解解：1 根1 根據(jù)據(jù)剪剪切切度度算算：Q Q= ， A AQA QA = b= bll60MPa60MPa = 10mm = 10mm35mm35mm60MPa = 21kN60MPa = 21kN用用F 表F 表示示的的外外力力：F = Q21kNF = Q21kN根根據(jù)據(jù)杠杠桿桿平平衡衡原原理理

20、：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm21kN 15mm21kN 15mm15mmF = 0.42kNF = 0.42kN750mm750mm750mm750mm本章習(xí)題講解本章習(xí)題講解 擠擠壓壓強(qiáng)強(qiáng)計(jì)計(jì)綜綜jyjyjyjyjyjyjyjyjyjy2 根2 根據(jù)據(jù)度度算算：F F=A Ah hFAFA=ll200MPa = 4mm200MPa = 4mm3535200MPa = 28kN200MPa = 28kN2 2根根據(jù)據(jù)杠杠桿桿平平衡衡原原理理：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm28kN 15mm28kN

21、15mm15mmF = 0.56kNF = 0.56kN750mm750mm750mm750mm上上所所述述，力力F最F最大大值值是是0.42kN。0.42kN。本章習(xí)題講解本章習(xí)題講解習(xí)題習(xí)題4-12 階梯形圓軸如圖所示階梯形圓軸如圖所示, d1=40mm, d2=70mm。已知由輪。已知由輪3 輸入的輸入的功率功率P3=30kW，輪，輪1 輸出的功率為輸出的功率為P1=13kW，軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速，軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n=200r/min，材料的許用剪應(yīng)力，材料的許用剪應(yīng)力=60MPa，G=8104MPa，許用單位，許用單位扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角0 =2/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。為為軸軸勻勻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動數(shù)數(shù)畫畫圖圖123123123123解解：因因速速，所所以以：P P