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文檔簡介

1、 解方程組:解方程組:123123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第把第1個方程分別乘以(個方程分別乘以(-2)、)、(-1)加到第)加到第2個、個、3個方程個方程把第把第1行分別乘以(行分別乘以(-2)、)、(-1)加到第)加到第2、3行行1232323231425xxxxxxx 213104120115把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤戆盐粗肯禂?shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤硐ń夥匠探M消元法解方程組增廣矩陣增廣矩陣把第第3個方程分別乘以(個方程分別乘以(-4)、)、1加到第加到第2個、個、1個方程個方程把第把第3行分別乘以(行分別乘以(-4)、)、1加到第

2、加到第2、1行行133232263185xxxxx 2026003180115把第把第2個方程與第個方程與第3個個方程互換位置方程互換位置把第把第2行與第行與第3行互換位置行互換位置132332265318xxxxx 2026011500318 把第把第3個方程分別乘以個方程分別乘以(-1)、)、1加到第加到第1、2個方程個方程分別把把第分別把把第3行乘以行乘以(-1)、)、1加到第加到第1、2行行123916xxx 100901010016分別把第分別把第1個方程和第個方程和第3個個方程乘以方程乘以12和和 13分別用分別用12和 13乘第乘第1行和第行和第3行行13233356xxxxx

3、101301150016線性方程組的系數(shù)可以排成下面的一個表:線性方程組的系數(shù)可以排成下面的一個表:而利用(而利用(1 1)的系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表:)的系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表:mnmmnnaaaaaaaaa212222111211(3)mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211(4) 稱為線性方程組(稱為線性方程組(1 1)的系數(shù)矩陣)的系數(shù)矩陣. .稱為線性方程組(稱為線性方程組(1 1)的增廣矩陣)的增廣矩陣. . 一個線性方程一個線性方程組的增廣矩陣顯組的增廣矩陣顯然完全代表這個然完全代表這個方程組方程組. . 下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣

4、的初等行變換初等行變換(1) 對調(diào)兩行(對調(diào)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行,記作兩行,記作)jirr (2) 以不為零的數(shù)以不為零的數(shù) k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘數(shù)行乘數(shù) k , 記作記作)kri一、矩陣的初等變換和初等矩陣一、矩陣的初等變換和初等矩陣1、矩陣的初等變換、矩陣的初等變換(3) 把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行對倍加到另一行對 應(yīng)的元素上去應(yīng)的元素上去 (第(第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,記作記作)ijkrr 定義定義 矩陣的初等變換矩陣的初等變換相應(yīng)地有三種相應(yīng)地有三種列初等變換列初等變換(1)交換矩陣的兩

5、列,記作)交換矩陣的兩列,記作ijCC(2)用非)用非0常數(shù)乘以矩陣的某一列的元素,記作常數(shù)乘以矩陣的某一列的元素,記作ikC(3)某一列的元素乘以數(shù))某一列的元素乘以數(shù)k后加到另一列上去,記作后加到另一列上去,記作jiCkC上述六種變換,統(tǒng)稱為矩陣的上述六種變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換初等變換( (換法矩陣換法矩陣) )1. 將將E的第的第i行與第行與第j 行交換得到的初等矩陣行交換得到的初等矩陣 ,1101111011i jijiPj列列行行2、初等矩陣、初等矩陣 單位矩陣單位矩陣E 經(jīng)過一次初等變換得到的經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為矩陣稱為初等矩陣初等矩陣,它們是:,它們是: 11( )

6、11iP kk 行行第第 i( (倍法矩陣倍法矩陣) ) 2 以數(shù)以數(shù) 乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第 i 行行 得初等矩陣得初等矩陣0k 注注 倍法矩陣的特點是:倍法矩陣的特點是: ;其它元素與單位;其它元素與單位矩陣相同矩陣相同. ( , )i i 元k11( )11ijkP k 行行第第i行行第第j( (消法矩陣消法矩陣) )3、把、把E的第的第j 行的行的k倍加到第倍加到第i行上,得到初等矩陣行上,得到初等矩陣注注消法矩陣的特點是:消法矩陣的特點是: ; 其它元素與單位矩陣相同其它元素與單位矩陣相同.( , )i jk元如如 n n = 4 = 4310000100( )0000001P

7、 kk1000010000100001E2,41000010( )00100001kPk1,40001010000101000P 用初等矩陣用初等矩陣右乘右乘給定矩陣,其結(jié)果就是對給定給定矩陣,其結(jié)果就是對給定矩陣施行相應(yīng)的初等矩陣施行相應(yīng)的初等列列變換。變換。 用初等矩陣用初等矩陣左乘左乘給定的矩陣,其結(jié)果就是對給給定的矩陣,其結(jié)果就是對給定的矩陣施以相應(yīng)的初等定的矩陣施以相應(yīng)的初等行行變換。變換。3、初等矩陣與初等、初等矩陣與初等 變換變換 之間的關(guān)系之間的關(guān)系定理定理 ,得左乘階初等矩陣用nmijjiaAPm)(,mnmminiijnjjnjiaaaaaaaaaaaaAP21212111

8、211,行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行行對對調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把:施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對對矩矩陣陣,右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類類似似地地,AEnji,mnmimjmnijnijjiaaaaaaaaaaaaAP12222111111,).( jiccjiAA列列對對調(diào)調(diào)列列與與第第的的第第把把:施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對對矩矩陣陣;行行的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù))(kriAki mnmminiiniaaakakakaaaaAkP212111211)(行行第第 i類類似似地地,左左乘乘矩矩

9、陣陣以以AkEi)( ).()(kciAkAkEii 列列的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù),其其結(jié)結(jié)果果矩矩陣陣右右乘乘以以,左左乘乘矩矩陣陣以以,AkEji)(1112112,112212( )niiinj ijijijninmmmnaaaaaaPk Aakaakaakaaaa).(ijkrrjkiA行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把 ).()(,jijikccikjAAkE列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把,其其結(jié)結(jié)果果相相當(dāng)當(dāng)于于右右乘乘矩矩陣陣類類似似地地,以以3431323324212223141112133433323124232221141312113,

10、11000000100100100aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAP 31343332312423222114131211ccaaaaaaaaaaaaA 343132332421222314111213aaaaaaaaaaaa例如例如 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA若若如果矩陣如果矩陣A 經(jīng)過有限次初等變換變成經(jīng)過有限次初等變換變成BA 容易驗證等價關(guān)系滿足:容易驗證等價關(guān)系滿足:(1) 反身性:對任意矩陣反身性:對任意矩陣 A,AA (2) 對稱性:對稱性:ABBA,則則若若(3) 傳遞性:傳遞性:CACBBA則則,若若二、矩陣的

11、等價和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1、等價矩陣、等價矩陣定義定義 矩陣矩陣B,則稱矩陣,則稱矩陣A與矩陣與矩陣B等價,記作等價,記作矩陣矩陣A 的行階梯形的行階梯形 0000034000521302301200000000*00*0*rba oooIr的矩陣稱為矩陣的矩陣稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。的標(biāo)準(zhǔn)形。(主對角線上(主對角線上1的個數(shù)可以是的個數(shù)可以是0) 00000000010000100001第第r 行行即即2、矩陣、矩陣A 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形形如形如例例2 設(shè)設(shè) 321020310121,101202102411BA問:矩陣問:矩陣A和和B是否等價?是否等價? 解解 先求先求 A、B

12、的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形 38320210000110120210241114131224ccccccA 38300210000123rr 320002100001233rr 321021100121321020310121B對對B施行一系列初等變換得施行一系列初等變換得 0100001000013200001000013432323)21(2ccrcc 321021100001 130021100001BAOIBOIA,所所以以33 010000100001130000100001定理定理 對任意矩陣對任意矩陣nmijaA)(存在一系列存在一系列m階初等階初等sPPP、矩陣21和和n階初等矩陣階初等矩陣tQQQ、21使得使得OOOIQQQAQPPPPrttss121121,121PPPPPsstQQQQ21于是有于是有:在定理中令在定理中令:推論推論 對任意矩陣對任意矩陣 存在存在m階可逆陣階可逆陣PnmijaA)(和和n階可逆陣階可逆陣Q,使得,使得OOOIPAQr例010102001A將矩陣化為等價標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。解解可以看成是由可以看成是由3階單位矩陣階單位矩陣 經(jīng)經(jīng)4次初等變換次初等變換,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得. 而這而這4次初等變換所對應(yīng)的初等方陣為次初等變換所對應(yīng)的初等方陣為:,0101000011 P,1020100011Q,

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