高等數(shù)學2半期考試復習打印

1、向量代數(shù)與空間解析幾何多元微分學及其應用重積分高數(shù)（下）半期復習重點高數(shù)（下）半期復習重點第第8章章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 本章以矢量代數(shù)為工具，運用本章以矢量代數(shù)為工具，運用形數(shù)結(jié)合形數(shù)結(jié)合的方法，研究空間的曲面的方法，研究空間的曲面和曲線，同時重點研究了平面和直線。和曲線，同時重點研究了平面和直線。一一 基本要求：基本要求： 1. 正確理解正確理解矢量概念矢量概念，熟練掌握矢量的坐標表示式、其代數(shù)運算，熟練掌握矢量的坐標表示式、其代數(shù)運算 及兩個矢量相互平行、垂直的條件或其夾角的求法。及兩個矢量相互平行、垂直的條件或其夾角的求法。 2. 平面平面方程四形式方程四形式

2、 3. 直線直線方程四形式方程四形式 4. 點、直線、平面間的位置關系點、直線、平面間的位置關系 5. 平面與平面的位置關系平面與平面的位置關系 6. 直線與直線的位置關系直線與直線的位置關系 7. 掌握空間曲線及曲面知識；會建立掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程及及空間曲線在空間曲線在坐標面上的投影方程。坐標面上的投影方程。二二 典型例子典型例子矢量矢量坐標表示坐標表示既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量模及方向角模及方向角方向余弦方向余弦,zyxaaaa,：方方向向角角,|cosaxaba a,zzyyxxbababa,zyxaaa)cos(ba,baba| baa

3、Prj| zzyyxxbabababacba)sin(| ba,bac| , ac yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaa,ccbaabc)(zyxzyxzyxcccbbbaaaabc,|222zyxaaaa,|cosaya|cosazaabbPrj| ,zyxbbbb,zyxcccc, bc 成成右右手手系系且且)(cb,a,一一 基本要求基本要求 1. 矢量運算及坐標表示矢量運算及坐標表示xzyn=A,B,CM(a,b,d)A(x a)+B(y b)+C(zd)=01 czbyaxAx+By+Cz+D=0),(),(),( 333222321zyxCzyxBzyxA已已知知三三點

4、點0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxbca(1) 點法式點法式:(2) 一般式一般式.(3) 截距式：截距式：(4) 三點式：三點式：0其中其中 D= Aa Bb Cd2. 平面方程平面方程(1)標準式：標準式：S=m,n,pM(a.,b,c)Lpcznbymax 0022221111DzCyBxADzCyBxAS(2) 參數(shù)式參數(shù)式 : x = a+m t y = b+n t z = c+p t(4) 兩點式兩點式:AB),(),(222111zyxBzyxA已已知知121121121zzzzyyyyxxxx .(3) 一般式一般式L.L3. 直線方程直線

5、方程pzznyymxxl111 ：直直線線| ssdNM222000|CBADCzByAxd (1) 點到平面的距離點到平面的距離 (3) 直線平行于平面直線平行于平面),(000zyxM已已知知點點,0 DCzByAx：平平面面.(2) 點到直線的距離點到直線的距離MdNlMdlN0 CpBnAm.記記,CBAn,pnms),(111zyxN點點.0 111 DCzByAx且且4. 點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系（用解析法判斷）（用解析法判斷）nss (4) 直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 0 CpBnAm(5) 直線垂直于平面直線垂直于平面pCnBmA (6) 直線與平面的夾角

6、直線與平面的夾角 |snsn sinll l.且且0111 DCzByAx.N4. 點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系（用解析法判斷）（用解析法判斷）.pzznyymxxl111 ：直直線線),(000zyxM已已知知點點,0 DCzByAx：平平面面sssnnn 011111 DzCyBxA ：(1) 兩個平面垂直兩個平面垂直0212121 CCBBAA(2) 兩個平面平行兩個平面平行21212121DDCCBBAA (3) 兩個平面重合兩個平面重合21212121DDCCBBAA 已知兩個平面已知兩個平面0 22222 DzCyBxA ：.5. (4) 兩個平面夾角為兩個平面

7、夾角為 222222212121212121cosCBACBACCBBAA (5) 兩個平行平面間的距離為兩個平行平面間的距離為d22212|CBADDd 011111 DzCyBxA ：已知兩個平面已知兩個平面0 22222 DzCyBxA ：d.5. . 1 2n1n2.已知兩條直線已知兩條直線 1111111，：pzznyymxxl (1) 兩條直線共面兩條直線共面(2) 兩條直線的夾角兩條直線的夾角 (3) 兩條平行直線的距離兩條平行直線的距離d(4) 兩條異面直線間的最短距離兩條異面直線間的最短距離dAB021ABss|211ssss2cosd| ssdABAB2121ssssdAB

8、A 2222222pzznyymxxl ：.s.B6. d .7. 掌握空間曲線及曲面知識；會建立掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程及及空間曲線在空間曲線在坐標面上的投影方程。（以例子在下面說明）坐標面上的投影方程。（以例子在下面說明）曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.空間曲面空間曲面(2) 不不在在曲曲面面S上

9、上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；7. 掌握空間曲線及曲面知識；會建立掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程及及空間曲線在空間曲線在坐標面上的投影方程。坐標面上的投影方程。研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.1 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的

10、軸軸.方程特點方程特點:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設有平面曲線設有平面曲線（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之為柱面所形成的曲面稱之為柱面.這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準線準線，動直線叫，動直線叫柱面的柱面的母線

11、母線.從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.(1) 平面平面 xy (3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號

12、與與qpzqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx 空間曲線空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為3 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yx

13、H設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面4 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體空間立體曲面曲面。和和兩兩條條對對角角線線的的長長為為確確定定的的平平行行四四邊邊形形與與投投影影為為上上的的在在則則其其夾夾角角矢矢量量。因因為為位位置置關關系系是是則則兩兩矢矢量量的的矢矢量量的的坐坐標

14、標是是則則矢矢量量點點已已知知的的方方向向是是的的模模是是依依次次為為在在三三個個坐坐標標軸軸上上的的投投影影矢矢量量_ , _,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 )4(_, ,1 ,21 , 2,3 , 2 , 1 )3(_ , )2( _, _, 3 , 2 , 1 )1(2122221111babababaMMzyxMzyxMaaa 1, 2, 314143cos ,142cos ,141cos 垂直垂直0 ba321|Prj bbaab 6| ba2| ba.,121212zzyyxx .1. 填空填空._ ) 0 , 1 , 0( )2 , 1, 3( )6(的的平平面面方方程

15、程是是及及軸軸，且且過過點點平平行行于于QPx _| , , , , )5( cbabacacbcbacba則則均為非零矢量，且均為非零矢量，且設設._212312:)0 , 0 , 0( )7(的的距距離離為為到到直直線線原原點點 zyxLM3.知知：它它們們兩兩兩兩垂垂直直。由由, , , bacacbcba | | | | caccbcba 又又：1 | c1. | 1, | | ba同同理理，y + z = 110.解：解：.M解：解：lN(2, 3,1)d2, 2 , 1 s.|ssNMd ._1222 134 11 )12(._0132011423 )11(._083 11 )10

16、( 1)1()1( 1 )9(._ 08 )8(222222222間間夾夾角角為為和和直直線線的的標標準準式式為為 直直線線間間夾夾角角為為和和 兩兩個個平平面面平平面面上上的的投投影影為為之之交交線線在在與與兩兩個個球球面面方方程程為為則則，平平面面垂垂直直于于使使其其母母線線，作作柱柱面面：過過曲曲線線 zyxzyxzyxzyxxyxxOyzyxzyxSxOzSzyxzyxL422 xzzx. 022022 yyxz411172101 zyx4. _ _ _ 1 _ 0 _ 1 _ 1 )15(._ _ 00),( )14(._062 241312 )13(2222222222222222

17、222222222222。：；：；說說出出曲曲面面名名稱稱：軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞曲曲線線的的位位置置是是和和平平面面直直線線zqypxzqypxczbyaxczbyaxczbyaxczbyaxyzxzyfzyxzyx (p, q 同號同號) (p, q 同號同號)橢球面橢球面雙葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面二次錐面單葉雙曲面單葉雙曲面雙曲拋物面雙曲拋物面橢圓拋物面橢圓拋物面相交相交0) ,(22 zyxf0) ,(22 zxyf.M0M垂面方程為垂面方程為0) 1()2() 1( 2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 L1與此平面的交點與此平

18、面的交點M： 11122zyx 012 zyx32 t)32 ,31 ,32( M交交點點.35 ,35 ,35 0 MM , 1 , 1 , 1 3o S取取 得得所所求求直直線線為為：. 111211: zyxL.L= t解：解：L1. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直線垂直相交的直線且與直線且與直線求過點求過點LzyxLM 2. 1o 過過 M0作作 L1 的垂面，的垂面，dL1L2 方法方法 I 思路：思路：1o 過過L1做平面做平面 ，使，使 / L2.2o 點點M L2,點點M 到平面到平面 的距的距 離即為離即為d.M. 241342: 3112

19、1: 21dzyxLzyxL距離距離之間的之間的與與求直線求直線 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2 , 1, 43, 1 , 2 6 ,16 , 1 06)1(16)1(: zyx015616: zyx即即 取點取點M(2,3,4) L2,2226161|15)4(63162| d有有.29311 .n方法方法 II 思路：思路：. 241342: 31121: 21dzyxLzyxL距離距離之間的之間的與與求直線求直線 .解：解：L1L21s2sMN利用混合積的幾何意義：利用混合積的幾何意義：所求的所求的 d 就是三矢量構(gòu)成的就是三矢量構(gòu)成的平行六

20、面體的高平行六面體的高.|2121ssNMssd .| 2 , 1, 43, 1 , 2 | 4, 2 , 32 , 1, 43, 1 , 2 | .29311 .(2)(3)思路思路I：. 221L的的交交線線即即為為所所求求直直線線與與平平面面因為：因為：(1) 它們共面它們共面.(2) 它們不平行它們不平行.( L2平行于已知平面平行于已知平面 ，但顯然，但顯然 L 1 不平行不平行于于 . )相交。相交。問題問題：L2與與 L1 相交嗎？相交嗎？求直線的一般式方程求直線的一般式方程. 2 1 2nL1L2. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyx

21、M相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點求過點 ：的平面的平面且平行于平面且平行于平面先求過先求過10 M.1可可求求出出. 210LM的的平平面面過過已已知知直直線線且且再再求求過過.M0.2可可求求出出具體解答如下：具體解答如下：nM12nL1L2；的平面的平面且平行于平面且平行于平面求出過求出過10 M0143 :1 zyx：的平面的平面過已知直線過已知直線且且再求過再求過210 LMM0, )031( 1M,為為記記點點 2法法矢矢量量則則平平面面 . 2 , 1 , 31 sL的的方方向向數(shù)數(shù)：M1sMMn 102 2 , 1 , 34, 3 ,

22、0 9,12,10 解：解：. 04691210 :2 zyx 046912100143: 2 zyxzyxL所所求求直直線線.思路思路I： 求直線的一般式方程求直線的一般式方程.sn. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點求過點 2 1 (3).思路思路II：. 4437481: zyxl 為為所所求求直直線線1 , 4, 32 , 1 , 34, 3 , 0 1 , 4, 39,12,10 求直線的標準式方程求直線的標準式方程.L11n2n從思路從思路 I 的分析知：的分析

23、知：nnn 124 ,37,48 . 22nL 的的方方向向矢矢為為設設.L2如圖：如圖：.n. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點求過點 2 1 解：解：(3).3 3解解共共面面且且，使使，求求一一單單位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 設設由題設條件得由題設條件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 4 4解解.02:01012:上的投影直線的方程上的

24、投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的平面束方程為的平面束方程為過直線過直線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 5 5解解.,1101:求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周繞繞直直線線zzyxL ), 1(111zyM設設直直線線上上一一點點,11zy 有有位位置置到到達達旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)后后),(), 1

25、(111zyxMzyM由于高度不變由于高度不變,1zz 有有,1不不因因旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而改改變變軸軸的的距距離離到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為. 1222 zyx 一一 重點與難點重點與難點 1. 理解多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分等概念理解多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分等概念 練習練習 理解它們之間的關系理解它們之間的關系(七框圖七框圖 ) (有關七框圖的提問有關七框圖的提問 ). 2. 熟練掌握多元復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)的求法；熟練掌握多元復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)的求法； 3. 掌握隱函數(shù)的求導

26、法則。掌握隱函數(shù)的求導法則。 (1) 一個方程確定的隱函數(shù)一個方程確定的隱函數(shù) *(2) 方程組確定的隱函數(shù)方程組確定的隱函數(shù) 4. 掌握空間曲線的切線及法平面的求法。掌握空間曲線的切線及法平面的求法。 5. 掌握空間曲面的切平面及法線的求法。掌握空間曲面的切平面及法線的求法。 6. 掌握二元函數(shù)極值、給定區(qū)域上的最值、掌握二元函數(shù)極值、給定區(qū)域上的最值、 及條件極值的求法。及條件極值的求法。 7. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念和計算方法，以及二者的關系。理解方向?qū)?shù)與梯度的概念和計算方法，以及二者的關系。二二 典型例題典型例題(8個個)三三 課堂練習課堂練習 1. 求偏導、求全微分求偏導、求全微

27、分(4個個) 2. 計算計算(5個個)第第9章章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1. 二元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的基本概念.),( ),(),( 000AyxfyxPyxP時時，都都有有當當點點以以任任意意方方式式路路無無極極限限，或或者者沿沿某某兩兩條條若若沿沿某某一一條條路路徑徑 ),( yxf.),(, ),(000的的聚聚點點是是點點的的定定義義域域為為DyxPDyxfz .),(lim00Ayxfyyxx 稱稱逆否命題逆否命題：無無極極限限。的的極極限限不不同同，則則徑徑 ),( ),( yxfyxf稱二元函數(shù)稱二元函數(shù) z = f (x,y),),(, ),(000的的聚聚點點是是點

28、點的的定定義義域域為為DyxPDyxfz .0DP 且且極限極限：即即A為為 f (x,y)當當PP0時的時的(二重二重)極限。極限。連續(xù)連續(xù)：在點在點P0(x0,y0)連續(xù)連續(xù).),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若一一 重點與難點重點與難點. 偏導數(shù)偏導數(shù)： ),(),(00的的全全微微分分指指：在在點點函函數(shù)數(shù)yxyxfz . d),(d),(d0000yyxfxyxfyyx )( ),(),(00 yBxAzyxyxfz的的全全增增量量在在點點若若 ),(),( 00可可微微。在在點點稱稱yxyxfz .全微分全微分：xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0

29、000000yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000.o偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的幾何意義的的幾幾何何意意義義：偏偏導導數(shù)數(shù)),( 00yxfx. ),( ),(000的的正正切切軸軸夾夾角角的的切切線線與與在在點點它它是是曲曲線線 xyxPyyyxfz . ),( tan00yxfx 即即：的的幾幾何何意意義義：偏偏導導數(shù)數(shù)),( 00yxfy. ),( ),(000的的正正切切軸軸夾夾角角的的切切線線與與在在點點它它是是曲曲線線 yyxPxxyxfz . ),( tan00yxfy 即即：.為為什什么么？點點連連續(xù)續(xù)？一一個個在在上上例例中中的的兩兩個個函函數(shù)數(shù)，那

30、那例例。則則則則限限：處處的的二二重重極極限限和和累累次次極極求求函函數(shù)數(shù)在在點點例例 )0 , 0( . 2 _),(lim_,),(limlim _,),(limlim1sin1sin)(),( )2(._),(lim _,),(limlim _,),(limlim 0 0 0 ),( )1( )0 , 0( . 1 000000000000222222 yxfyxfyxfyxyxyxfyxfyxfyxfyxyxyxxyyxfyxxyyxyxxyyx00不存在不存在0不存在不存在不存在不存在都不連續(xù)。都不連續(xù)。(2)在在x軸軸、y軸以外連續(xù)軸以外連續(xù).(1)連續(xù)連續(xù). 二元函數(shù)的極限、連續(xù)

31、及偏導數(shù)練習二元函數(shù)的極限、連續(xù)及偏導數(shù)練習 :以以外外的的點點呢呢？在在)0 , 0(0| ),(|0 yxyxf._)0 , 0( _)0 , 0( , 1sin1sin)(),( yxffyxyxyxf0 0) )處處的的偏偏導導數(shù)數(shù). . 求求點點( (0 0, , 對對例例1 1的的函函數(shù)數(shù) 例例4 4. ._)0 , 0(_)0 , 0( 0 0 0 ),(222222 yxffyxyxyxxyyxf處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)：0 0) ) 求求點點( (0 0, , , 對對例例1 1的的函函數(shù)數(shù)不存在不存在不存在不存在 )0 , 0(xfxfxfx)0 , 0()0 ,(lim0 x

32、x00lim0 0 .)0 , 0(yf. xf沒沒有有定定義義。因因為為 )0 ,( . yf沒有定義。沒有定義。因為因為 ), 0( .00yfyfy)0 , 0(), 0(lim0 yy00lim0 0 3. 3 例例 將二元函數(shù)將二元函數(shù) z = f (x , y) 在點在點(x, y)的以下七個命題填入框圖：的以下七個命題填入框圖： （1）有定義）有定義; （2）有極限）有極限; （3）連續(xù)）連續(xù) ; （4）偏導存在）偏導存在; （5）方向?qū)?shù)存在）方向?qū)?shù)存在; （6）偏導連續(xù)）偏導連續(xù) ; （7）可微）可微.（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2） 存存在在之之間間有有什什么么

33、關關系系？等等及及偏偏導導多多元元函函數(shù)數(shù)有有極極限限、連連續(xù)續(xù)問題：問題：1.成立的怎么證明？成立的怎么證明？2.箭頭是否可逆？舉例箭頭是否可逆？舉例.3.沒有箭頭意味什么？沒有箭頭意味什么？. _),( ),( ),( ),(. 10000條條件件可可導導的的在在點點可可微微是是在在點點yxyxfyxyxf充分充分 )0 , 0( , sin|),( . 2處處的的全全微微分分是是否否存存在在？試試問問點點設設xyxyxf , |)0 ,( xxf .)0 , 0( ),( 處處的的全全微微分分不不存存在在在在點點yxf答：答：有關七框圖的提問有關七框圖的提問(7個個).不不存存在在)0

34、, 0(xf),( ),( ,),( ),( . 30000yxyxfyfxfyxyxf在在點點都都存存在在，的的偏偏導導在在點點 ),( ),( 00yxfyxf或或若作為一元函數(shù)若作為一元函數(shù)不一定。不一定。 ),( 00一一定定連連續(xù)續(xù)嗎嗎？在在點點yx 一一定定連連續(xù)續(xù)嗎嗎？ .,00連連續(xù)續(xù)答答：分分別別在在yyxx .),( ),( ),( ),(0000yxyxfyxyxf在在點點有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，在在點點若若數(shù)數(shù)那那么么在在該該點點處處它它的的偏偏導導連連續(xù)續(xù)在在點點若若 ,),( ),( . 500yxyxf不一定。不一定。一定。一定。 ?反反例例. 5 例例. 一一

35、定定連連續(xù)續(xù)嗎嗎？ 一一定定存存在在嗎嗎？點點連連續(xù)續(xù)：在在 )0 , 0( )(22yxx,yf )(lim 00 x,yfyx因因為為).0 , 0( 0 lim2200fyxyx . |lim 00lim)00( 0220不不存存在在但但是是xxxx,fxxx .)00( 也也不不存存在在同同理理，,fy4.),( ),( ),( ),(0000yxyxfyxyxf在點在點則則的偏導數(shù)存在，的偏導數(shù)存在，在點在點若若 不一定。不一定。 ?反反例例. 6 例例.點點偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在：在在 )0 , 0( | xyz zzd 事事實實上上， 0 0|0|lim)00( 0 xx,zxx處

36、處一一定定可可微微嗎嗎？ 0)00( ,zy同同理理，處不可微：處不可微：在點在點但是，但是，)0 , 0(),(yxzz 00| xy| xy 22)()( d yxozz 只只須須考考察察？)( 22yxo 0|lim 2200 yxxyyx而而) . 0 (即即知知取取 yx證畢證畢. . 3 如如前前面面例例 又又如如：6. 0 0 0 1sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf 的偏導數(shù)在點的偏導數(shù)在點可微，則可微，則在點在點若若 ),( ),( ),( 00yxfyxyxf 不一定。不一定。 ?反反例例. 7 例例.:)0 , 0(處可微處可微在點在點 1cos21

37、sin2),( 222222 yxyxxyxxyx fx 但但. ),(00一定連續(xù)嗎？一定連續(xù)嗎？yx它在點它在點 (0, 0) 的任何鄰域中都無界，的任何鄰域中都無界，處處在點在點)0 , 0( ),(yxfx處也不連續(xù)。處也不連續(xù)。在點在點同理，同理，)0 , 0(),(yxfy不連續(xù)。不連續(xù)。, 0)0 , 0()0 , 0( yxff因為因為 22d yxff而而且且22221sinyxyx . 00 0 yx7.3. 隱函數(shù)的求導法則隱函數(shù)的求導法則.ddyxFFxy 且且(1) 一個方程確定的隱函數(shù)一個方程確定的隱函數(shù)一一個個自自變變量量的的情情形形： 1o，的的某某一一鄰鄰域域

38、內(nèi)內(nèi)在在點點設設函函數(shù)數(shù)100 ),(),(CyxyxF , 0),(00 yxF0),( yxF則則方方程程，一一個個函函數(shù)數(shù)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)唯唯一一確確定定在在點點)( ),(00 xfyyx ，滿滿足足)( 00 xfy ，1)(Cxf ，若若2 ),(CyxF 的的二二階階導導數(shù)數(shù)也也存存在在，則則隱隱函函數(shù)數(shù) )( xfy 22ddxy.且且, 0),(00 yxFy并并且且3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF xyxdddd3. 隱函數(shù)的求導隱函數(shù)的求導., zxFFxz .zyFFyz (1) 一個方程確定的隱函數(shù)一個方程確定的隱函數(shù)多多個個自自變變量量的的情情

39、形形： 2o，的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點設設函函數(shù)數(shù)1000 ),(),(CzyxzyxF 法則法則, 0),( 000 zyxF且且, 0),(000 zyxFy0),( zyxF則則方方程程，一一個個函函數(shù)數(shù)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)唯唯一一確確定定在在點點),(),(000yxf zzyx ，并并且且滿滿足足),( 000yxfz 3. 隱函數(shù)隱函數(shù) 0),(0),(vuyxGvuyxF方方程程組組.，設設函函數(shù)數(shù)1 ),(),(CvuyxGvuyxF , ),(),( JvxGFxu 而而且且*(2) 方程組確定的隱函數(shù)方程組確定的隱函數(shù)的求導法則的求導法則).,(),( yxvv

40、yxuu ，確確定定了了一一對對函函數(shù)數(shù)：則則當當雅雅各各比比行行列列式式時時， 0),(),( vuGFJ, ),(),(JvyGFyu . ),(),(JyuGFyv , ),(),(JxuGFxv 4.空間曲線的切線及法平面空間曲線的切線及法平面空間曲線空間曲線 L處的切線方向處的切線方向上的點上的點 ),(0000zyxML處的切線處的切線點點 ),(0000zyxM處處的的法法平平面面點點 ),(0000zyxM )()()(:tzztyytxxL00 ttM 對對應應 )(),(),(000tztytxn )()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000

41、 zztzyytyxxtx )()(:xzzxyyL00 xxM 對對應應 )(),(, 100 xzxyn )()(100000 xzzzxyyyxx 0)( )()(00000 zzxzyyxyxx 0),(0),(:zyxGzyxFL 00, MzyxMzyxGGGFFFn 000000 MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx . . . . . 0,MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFF.5.空間曲面的切平面及法線空間曲面的切平面及法線曲面曲面S的方程的方程處處的的法法線線方方向向上上的的點點 ),(0000zyxMS處的切平面處的切平面點點 )

42、,(0000zyxM處處的的法法線線點點 ),(0000zyxM0),(: zyxFS),(:yxfzS 0, MzyxFFFn 01, Myxffn . .0)(,()(,( )(,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx.000|000MzMyMxFzzFyyFxx 0)()(,()(,( 000000000 zzyyzyxfxxzyxfyx1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx.6. 二元函數(shù)極值的求法二元函數(shù)極值的求法.),( 的的極極值值求求yxfz ; 00 )1(求求駐駐點點解解 yxff. )2(20的的符符號號，驗驗對對每每

43、一一駐駐點點ACBM ),(yyxyxxfCfBfA 02 ACB若若A 0(或或C 0(或或C 0), 02 ACB若若待定。待定。, 02 ACB若若非非極極值值點點。0M.f (M0 )為極大值。為極大值。f (M0 )為極小值。為極小值。步步驟驟：.求求 f (x,y) 在給定區(qū)域上的最大值和最小值在給定區(qū)域上的最大值和最小值求在區(qū)域內(nèi)的駐點，求在區(qū)域內(nèi)的駐點，及邊界上的最值嫌疑點；及邊界上的最值嫌疑點；擇其最大者為最大值，最小者為最小值。擇其最大者為最大值，最小者為最小值。求求 u = f (x,y,z)的條件極值的條件極值: . 0),( ; 0)( zyxx,y,z 設設限限制制

44、條條件件 . )( x,y,zfF則則引引入入 定定。的的駐駐點點后后由由實實際際意意義義確確得得到到F).( :x,y,zfu 目目標標函函數(shù)數(shù)7. 方向?qū)?shù)與梯度的概念方向?qū)?shù)與梯度的概念它是函數(shù)在一點處沿給定方向的變化率。它是函數(shù)在一點處沿給定方向的變化率。方向?qū)?shù)是單向?qū)?shù)：方向?qū)?shù)是單向?qū)?shù)：的的區(qū)區(qū)別別與與關關系系。數(shù)數(shù)與與偏偏導導數(shù)數(shù)軸軸正正、負負方方向向的的方方向向?qū)а匮豿zx 方方向向是是增增加加的的。沿沿時時，函函數(shù)數(shù)當當 )(0lPflf 方方向向是是減減少少的的。沿沿時時，函函數(shù)數(shù)當當 )(0lPflf 方向?qū)?shù)的計算公式：方向?qū)?shù)的計算公式：,cos,cos,cos

45、 ,),(0 lMPfu沿沿方方向向在在點點 coscoscos0000MzMyMxMffflf 則則.梯度是個向量。梯度是個向量。其模是該點各方向?qū)?shù)的最大值。其模是該點各方向?qū)?shù)的最大值。梯度的計算公式：梯度的計算公式： 00,gradMzyxMfffu .方向?qū)?shù)是個數(shù)。方向?qū)?shù)是個數(shù)。其方向其方向,是函數(shù)在該點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向；是函數(shù)在該點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向；二二.典型例題典型例題時，極限不存在。時，極限不存在。當當證明證明(0,0)( , 263 x,yyxyxz例例 1.證明：證明：時的極限：時的極限：沿沿考慮動點考慮動點 (0,0) )( 3 kxyx,y 26

46、30 0 3lim yxyxkxyx lim62660 0 3xkxkxkxyx . 12kk 因其值依賴于因其值依賴于 k, 所以原極限不存在。所以原極限不存在。在在全全平平面面連連續(xù)續(xù)。證證明明 0 0 0 ),( 2222222 yxyxyxyxyxf。各各點點處處函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在 0 22 yx證明：證明：處，由于處，由于點點在在 )0 , 0( |222222yyxxyxyx | y 22yx 0. )0 , 0(0lim 22200fyxyxyx 故函數(shù)在全平面連續(xù)。故函數(shù)在全平面連續(xù)。 0 例例 2. 00 yx正正向向所所成成的的角角度度。軸軸的的的的切切線線與與在在點點求

47、求曲曲線線 )5 , 4 , 2( 4)(41 22xyyxz 解：解：這是偏導數(shù)的幾何意義問題。這是偏導數(shù)的幾何意義問題。.例例 3.設所成角為設所成角為 ， tan42 yxxz 4242 yxx . 1 . 4 .例例4.什什么么角角度度？相相交交的的曲曲線線交交成成平平面面與與和和兩兩個個曲曲面面 2 3 6 2222 yyxzyxz解：解： 23 : 26: 222221的的交交點點：與與先先求求曲曲線線 yyxzlyyxzl聯(lián)立這三個方程，聯(lián)立這三個方程，. 35 , 2 , 1 35 , 2 , 1 QP和和 21111 yxxzkxlP軸軸的的斜斜率率為為：對對，曲曲線線在在點

48、點21222 yxxzkxl軸軸的的斜斜率率為為：對對曲曲線線= 2 32 解得點：解得點：軸軸的的傾傾角角的的差差，就就是是它它們們的的切切線線對對的的夾夾角角與與因因為為 21xll 1tan2121kkkk 74 . 74arctan , 也也有有同同樣樣在在點點 Q. 74arctan .多元復合函數(shù)多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法偏導數(shù)的求法. 5例例., ),(22222xyzyxzyzxzCfxyyxyfz 求求解：解：).2(21f yfxyxz ).2(21fxf yyfyz yxz 2)2()2(2222212121121fxf yyffxf yxyf yfx 2221222112

49、21)(2422fxyfyxyfxyf yfx xyz 2)2(21f yfxyy .例例 6.dd,dd,01)(3)(2222322xyxyxyyxyx求求的的函函數(shù)數(shù)為為確確定定由由方方程程 解：解：1)(3)(),(22322 yxyxyxF令令xyxxFx6)(6222 1)(6222 yxxyyxyFy6)(6222 1)(6222 yxyyxFFxy ddyx 1)(61)(6222222 yxyyxx 22ddxy yxxdd2ddyxyxy .322yxy . 06: )1 , 2, 1( 222222的切線方向的方向?qū)?shù)的切線方向的方向?qū)?shù)處沿曲線處沿曲線在點在點求函數(shù)求函

50、數(shù) zyxzyxLPzyxxu解：解：曲線曲線 L 在點在點 P(1,2,1) 處切向量為處切向量為: 2 ,2 ,2Pzyxl 1 , 1 , 1 ,6 , 0 , 6 其方向余弦其方向余弦266cos ,21 , 0cos 21cos PxuPzyxyz2322222)( ,665 PyuPzyxxy23222)( ,631 Pzu,661 2166121665Plu321 .例例 7.Pzyxxz23222)( 例例 8. ),( 010422 222的的極極值值所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程yxfzzyxzyx 解：解： zxFFxz 21zx zyFFyz 21zy = 0

51、= 0得駐點：得駐點：x = 1, y = 1代入原式得代入原式得 0124 2 zz 6 , 2 zz. )6 , 1, 1( )2, 1, 1( 和和得得曲曲面面上上的的點點： 22 xz, )2()1()2(2zxzxz 22 yz, )2()1()2(2zyzyz 2 yxz. )2()1(2zyzx 在點在點 (1, 1,2) 處，處，在點在點 (1, 1, 6) 處，處，, 0 ,41 , 41 BCA, 0 ,41 , 41 BCA為為極極小小值值。 2)1, 1( z為為極極大大值值。 6)1, 1( z.注：幾何上也易解。原方程可化為球面注：幾何上也易解。原方程可化為球面.

52、16)2()1()1(222 zyx的的最最大大值值值值即即為為，上上下下頂頂點點處處的的，半半徑徑為為其其中中心心在在點點 4)2 , 1, 1(zz 和和最最小小值值。.由由 .)1, 0 , 1( ),( 2 (4)22處處的的全全微微分分點點在在確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程 Pyxzzxyzzx三三 1.求偏導、求全微分求偏導、求全微分. . , , )( )2(22212xzyzyxzxzCCfyxfz 求證：求證：其中其中設設 。處處的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)在在點點求求 )0 , 0( 0 0 0 (1)2424242 yxyxyxyxz . , e (3)22222)(y

53、zyxzxzzyxzyx ，求求，已知已知三三 2.計算：計算：).( grad, )( )3(222rfzyxrrf求求為為可可微微函函數(shù)數(shù)，其其中中設設 的的極極值值。求求函函數(shù)數(shù)切切平平面面方方程程。的的上上平平行行于于平平面面求求橢橢球球面面 12153 )5( 02 12 )4(23222yxxyxzzyxzyx 成角度。成角度。軸正向所軸正向所的切線與的切線與在點在點求曲線求曲線 )3 , 1 , 1( 11 )1(22yxyxz . 6 , 2 , 3 )211( )2(22的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)處沿方向處沿方向，在點在點求函數(shù)求函數(shù) lPxyz zxyu聚點聚點： .),(, )

54、,(000的的聚聚點點是是點點的的定定義義域域為為DyxPDyxfzD0P0P00PDP的的點點，稱稱點點都都有有的的任任意意一一個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)若若點點的的聚聚點點。為為D的的聚聚點點；內(nèi)內(nèi)點點是是 D.的的聚聚點點邊邊界界點點也也是是 D，的的聚聚點點可可以以屬屬于于 DD.D也也可可以以不不屬屬于于.。的的內(nèi)內(nèi)點點和和邊邊界界點點的的集集合合的的聚聚點點就就是是 DD.沿沿x軸正方向軸正方向 l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) 與偏導數(shù)與偏導數(shù) 的區(qū)別：的區(qū)別：xz ),( yxfz 設設).,( 00yxM點點lzxM 軸軸正正方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)點點處處沿沿. 1.xz 等等于

55、于該該點點處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)軸軸負負方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)點點處處沿沿 xM. 2.xz 等等于于xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim 00000),(00沿沿x軸正方向的方向?qū)?shù)軸正方向的方向?qū)?shù) 與偏導數(shù)與偏導數(shù) 的關系：的關系：xz lz ),(),(lim 00000),(00yxfyxflzyx lz .其中其中 大于零大于零；其中其中 x可以大于零，也可以小于零可以大于零，也可以小于零。三三 1. 求導解答求導解答 (1)解：解：。處處的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)在在點點求求 )0 , 0( 0 0 0 2424242 yxyxyxyxz )0 , 0()0 ,(li

56、m 0 xfxfx )0,0(xz 000lim420 xxxx = 0 )0,0(yz )0 , 0(), 0(lim0yfyfy 000lim20yyyy = 0(2) . :, , )( 22212xzyzyxzxzCCfyxfz 求求證證其其中中設設, fxz 左左：; 2 fyxz, fyz右右：, 22fxz . ff右右左左解：解：證畢證畢. . , e 22222)(yzyxzxzzyxzyx ，求求，已已知知: 求求導導兩兩邊邊對對 x)1(e1 )(xzxzzyx 解：解： 0)e1)(1( )(，即即： zyxxz 0e1 )(，因因： zyx 01 ， xz . 1 x

57、z故故 . 1 yz同同理理， . 0 22222 yzyxzxz(3).解：解：.d2ddyxzP (4) .)1, 0 , 1(),( 2 22處處的的全全微微分分點點在在確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程 Pyxzzxyzzx0 2 22 xyzzx F設設1 : zxFFxzP處處在在點點則則, 22yzzxxFx , xzFy 22xyzxzFz , 21 PxF, 1 PyF. 21 PzF2 zyFFyz.所成角度。所成角度。軸正向軸正向的切線與的切線與在點在點求曲線求曲線 )3 , 1 , 1( 11 22yxyxz 解：解：(1,1)22(1,1)1 tan yxyyz .

58、 6 .這是偏導數(shù)的幾何意義問題。這是偏導數(shù)的幾何意義問題。 設所成角為設所成角為 ，三三 2. 計算解答計算解答 (1)33 解：解：,2yzyux .計算解答計算解答 (2).6 , 2 , 3 )211( 22的的方方向向?qū)?shù)數(shù)處處沿沿方方向向，在在點點求求函函數(shù)數(shù) lPxyz zxyu,2xzxyuy xyzuz 2, 1 Pxu, 0 Pyu3 Pzu6 , 2 , 371cos,cos,cos 的的方方向向余余弦弦l coscoscos PzPyPxPuuulu 76373 .715 計算解答計算解答 (3)解：解：.).( grad, )( 222rfzyxrrf求求為為可可微

59、微函函數(shù)數(shù)，其其中中設設 ,)( grad zfyfxfrf xrfxf , ryfyf . rzfzf , rxf . )( gradzy,x,rfrf 同理：同理：(4) 的的切切平平面面方方程程。上上平平行行于于平平面面求求橢橢球球面面 02 12 222 zyxzyx解：解：主主要要是是求求切切點點。 ,2 11/ ，則則 n2 ,4 ,2, zyxFFFnzyx .2 , 1, 1 . , 4,2 zyx, n為為設設所所求求切切平平面面的的法法矢矢量量. 代代入入橢橢球球面面，定定. 1122 . 1122 , 11221 , 112 得得切切點點為為. 2112 zyx切切平平面

60、面為為 (5) 的極值。的極值。求函數(shù)求函數(shù) 12153 23yxxyxz 012601533 22xyzyxzyx由由).1, 2(),2, 1(),1 , 2(),2 , 1( 得得駐駐點點：求求二二階階偏偏導導：.6 ,6 ,6xzyzxzyyxyxx ),(00yxABCACB 2結(jié)結(jié) 論論 (1, 2) (2, 1) (1, 2) (2, 1)6612 0z(1,2)非極值非極值12126 0z( 1, 2)非極值非極值 12 12 6 0極大值極大值 z( 2, 1)=28列表分析：列表分析：第第10章章1.熟練掌握二重積分的極坐標熟練掌握二重積分的極坐標2.會改變二重積分的積分次