大學(xué)物理-動(dòng)量守恒定律

1、13- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 iiiittiipptFI0ex0d質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 若質(zhì)點(diǎn)系所受的若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力合外力 0exexiiFFCpFtpF,0,ddexex動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律則系統(tǒng)的總動(dòng)量不變則系統(tǒng)的總動(dòng)量不變23- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 ( (1) ) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，但系統(tǒng)內(nèi)任一總動(dòng)量不變，但系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的物體的動(dòng)量是可變的 ( (2) ) 守恒條件：守恒條件：合外力為零合外力為零 0exexiiFF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可近似地認(rèn)為時(shí)，可近似地認(rèn)為 系統(tǒng)總動(dòng)量守恒系統(tǒng)總動(dòng)量守恒inexFF討論討論33- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量

2、守恒定律( (3) ) 若若 ，但滿足，但滿足0exexiiFF0 exxFxiixCmpixv有有xixiixxCmpFv,0ex(4) (4) 動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基最普遍、最基本的定律之一本的定律之一yiyiiyyCmpFv,0exziziizzCmpFv,0ex43- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例例2.2.1 如圖所示，一輛質(zhì)量為如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體的小物體以水平速度以水平速度 滑向車頂，設(shè)物體與車頂間摩擦系滑向車頂，設(shè)物體與車頂間摩擦系數(shù)為數(shù)為 ，欲

3、使物體不滑下車頂，求小車長度至少，欲使物體不滑下車頂，求小車長度至少應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？0v Mm0v解：解：m與與M的摩擦屬于內(nèi)力，的摩擦屬于內(nèi)力，系統(tǒng)水平方向無外力作用，故系統(tǒng)水平方向無外力作用，故水平方向動(dòng)量守恒。水平方向動(dòng)量守恒。0()mvMm v式中式中 為為m、M相對(duì)靜止時(shí)的相對(duì)靜止時(shí)的速度。速度。v53- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律物體物體m的加速度的加速度mgagm 設(shè)小車長至少為設(shè)小車長至少為s，則，則2202vvas222002222()()vvM Mm vsag Mm 但請(qǐng)注意：這個(gè)解答是錯(cuò)誤的！但請(qǐng)注意：這個(gè)解答是錯(cuò)誤的！ 因?yàn)榕ｎD定律只能用于慣性參照系。上面求得因?yàn)?/p>

4、牛頓定律只能用于慣性參照系。上面求得的加速度應(yīng)為物體對(duì)地的加速度。而速度的加速度應(yīng)為物體對(duì)地的加速度。而速度 也也是物體相對(duì)地面的。因而求得的是物體相對(duì)地面的。因而求得的s是物對(duì)地的距離。是物對(duì)地的距離。而不是物體對(duì)車頂而不是物體對(duì)車頂(非慣性參照系非慣性參照系)的運(yùn)動(dòng)距離。的運(yùn)動(dòng)距離。0vv、63- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 正確解法是先求出物體正確解法是先求出物體m相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)距離相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)距離222200122vvvvsag 再求出小車再求出小車M相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)距離相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)距離22202022()M vvvsamg 式中式中 為為M相對(duì)地面的加速度。相對(duì)地面的加速度。0mgaM

5、車的最小長度為車的最小長度為20122min()MvLssg Mm 73- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例例2.2.2 如圖在光滑水平桌面上，光滑小球如圖在光滑水平桌面上，光滑小球 的直的直徑為徑為d，以初速度，以初速度 運(yùn)動(dòng)，與另一直徑相同的靜止運(yùn)動(dòng)，與另一直徑相同的靜止小球小球 發(fā)生碰撞，兩小球球心的間距為發(fā)生碰撞，兩小球球心的間距為b，恢復(fù)系，恢復(fù)系數(shù)為數(shù)為e，求碰撞后兩小球的速度各為多少？，求碰撞后兩小球的速度各為多少？1m10v2m1m2m10vba.接近過程接近過程1m2m10vxyob.形變過程形變過程83- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律解：由于存在球心距，故為非對(duì)心碰撞。取兩球

6、心解：由于存在球心距，故為非對(duì)心碰撞。取兩球心連線為連線為 軸，垂直球心連線為軸，垂直球心連線為 軸，建立坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)xy 由于兩小球光滑，故在相撞時(shí)，由于兩小球光滑，故在相撞時(shí)，y方向相互無力方向相互無力的作用，的作用， 在在y方向速度不變，方向速度不變， 在在y方向速度不變，方向速度不變，仍為仍為0。1m2m 在在 方向，兩小球相互作用是內(nèi)力，動(dòng)量應(yīng)方向，兩小球相互作用是內(nèi)力，動(dòng)量應(yīng)守恒守恒x11010sinybvvvd (1)221 11 10cosxxm vm vm v (2)93- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律由恢復(fù)系數(shù)的定義式由恢復(fù)系數(shù)的定義式(2.2.16)得得式中式中22c

7、osdbd (3)2110cosxxvvev (4)聯(lián)立求解式聯(lián)立求解式(2)式式(4)，可得，可得221210112221 102121()()xxmem vdbvmmde m vdbvmmd103- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律于是，兩小球各自的速度為于是，兩小球各自的速度為22121011012221 102121()()mem vdbbviv jmmdde m vdbvimmd113- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例例2.2.3 如圖示，質(zhì)量為如圖示，質(zhì)量為M的物體有一四分之一滑的物體有一四分之一滑槽，靜止在光滑水平面上。質(zhì)量為槽，靜止在光滑水平面上。質(zhì)量為m的滑塊自其的滑塊自其頂端由

8、靜止開始下滑，求當(dāng)頂端由靜止開始下滑，求當(dāng)m滑住槽底部時(shí)，滑住槽底部時(shí)，M移動(dòng)的距離。移動(dòng)的距離。解：選解：選M、m為一系統(tǒng)，建立圖為一系統(tǒng)，建立圖示坐標(biāo)，設(shè)示坐標(biāo)，設(shè)t時(shí)刻時(shí)刻m的水平速度分的水平速度分量為量為 ，M的水平速度分量為的水平速度分量為V，由于系統(tǒng)水平方向無外力，故水由于系統(tǒng)水平方向無外力，故水平方向動(dòng)量守恒。平方向動(dòng)量守恒。xMVmv兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間積分兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間積分00ttxMVdtmv dt123- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 mMSmsSsM式中，式中，00 ttxSVdtsv dt，。 注意，注意， 是是m相對(duì)地面的水平速度和位移，相相對(duì)地面的水平速度和位移，相對(duì)于

9、滑槽的水平位移為對(duì)于滑槽的水平位移為 ，所以，所以xvs、 sR ()ssSssSmRSMm 133- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律解解(1)A、B運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)多長時(shí)間運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)多長時(shí)間C開始運(yùn)動(dòng)開始運(yùn)動(dòng)? 建立如圖建立如圖(a)坐標(biāo)，三物體看作一系統(tǒng)，系統(tǒng)受坐標(biāo)，三物體看作一系統(tǒng)，系統(tǒng)受例例2.2.4 如圖，如圖，A、B、C三物體質(zhì)量均為三物體質(zhì)量均為M，B、C間由一長度為間由一長度為 的細(xì)繩連接，放在光滑水平桌面上，的細(xì)繩連接，放在光滑水平桌面上，t=0時(shí)，時(shí)，B、C距離為距離為0。求。求(1)A、B運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)多長運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)多長時(shí)間時(shí)間C開始運(yùn)動(dòng)？開始運(yùn)動(dòng)？(2)C開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。開始運(yùn)動(dòng)

10、時(shí)的速度。0lBTAT143- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律外力外力N和和G，故分別應(yīng)用動(dòng)量定理，故分別應(yīng)用動(dòng)量定理水平方向水平方向00costvBNdtM dv 豎直方向豎直方向00(sin )tvAmgNdtM dv 注意到以下關(guān)系：注意到以下關(guān)系：00 sincostABABvdtlNTNTTT聯(lián)解以上方程，可得聯(lián)解以上方程，可得00043 =45 2ltvglNMgg 153- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律(2)C開始運(yùn)動(dòng)的速度開始運(yùn)動(dòng)的速度 C剛開始運(yùn)動(dòng)，三個(gè)物體速度必然相等，此相剛開始運(yùn)動(dòng)，三個(gè)物體速度必然相等，此相當(dāng)于物當(dāng)于物C與物與物A、B這一系統(tǒng)發(fā)生碰撞，忽略重力，這一系統(tǒng)發(fā)

11、生碰撞，忽略重力，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量應(yīng)用動(dòng)量定理對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量應(yīng)用動(dòng)量定理水平方向：水平方向：cos()BCBNtMMVM v 豎直方向：豎直方向：sin()ANtMVv 式中式中N是是C剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪提供的支持力。剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪提供的支持力。與上問類似分析，聯(lián)立求解，最終得到與上問類似分析，聯(lián)立求解，最終得到0245 3VV 163- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例例2.2.6 如圖，光滑水平面上有一輛靜止且質(zhì)量為如圖，光滑水平面上有一輛靜止且質(zhì)量為M的炮車，炮車的仰角的炮車，炮車的仰角 ，相對(duì)于炮車發(fā)射質(zhì)量為，相對(duì)于炮車發(fā)射質(zhì)量為m、出口速度為、出口速度為 的炮彈，求的炮彈，求(1)炮彈剛出炮

12、口，炮彈剛出炮口，炮車的反沖速度炮車的反沖速度;(2)若炮筒長若炮筒長 ，求炮彈發(fā)射過程，求炮彈發(fā)射過程中，炮車的反沖距離。中，炮車的反沖距離。 ulxyu xvMm解：解：(1)除重力外，系統(tǒng)不受除重力外，系統(tǒng)不受外力外力( cos)cosxxxMvm uvmuvMm 173- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律(2)設(shè)設(shè)t時(shí)刻炮彈在炮筒中速度為時(shí)刻炮彈在炮筒中速度為 ，對(duì)應(yīng)炮車，對(duì)應(yīng)炮車反沖速度為反沖速度為( )u t( )cos( )xmu tvtMm 炮車的反沖位移為炮車的反沖位移為00( )cos( )ttxmu txvt dtdtMm 注意到注意到0( )tu t dtl于是得于是得0(

13、 )coscostmu tmlxdtMmMm 183- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律M0vm, 例：如圖所示例：如圖所示, ,一輛質(zhì)量為一輛質(zhì)量為 的平頂小車在光滑水的平頂小車在光滑水平軌道上以速度平軌道上以速度 作勻速直線運(yùn)動(dòng)作勻速直線運(yùn)動(dòng). .今在車頂?shù)那敖裨谲図數(shù)那安窟呇靥庉p輕放上一質(zhì)量為部邊沿處輕輕放上一質(zhì)量為 的小物體的小物體, ,物體相對(duì)物體相對(duì)地面的速度為地面的速度為0.0.設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為物體不致于從頂上滑出去物體不致于從頂上滑出去, ,問車頂?shù)拈L度最短應(yīng)為問車頂?shù)拈L度最短應(yīng)為多少？多少？解：以地面為參照系解：以地面為參照系, ,物體放到

14、車頂后從靜止開始物體放到車頂后從靜止開始加速加速, ,加速度為加速度為ag 車受到摩擦力車受到摩擦力 fmg 193- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 在運(yùn)動(dòng)的過程中在運(yùn)動(dòng)的過程中, ,物體與車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒物體與車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒, ,以以 表示物體與車可以達(dá)到的共同速度表示物體與車可以達(dá)到的共同速度, ,則則v0()MvMm v0/()vMvMm 221/ 2/ 2)svavg （ ）（2220()/ (2)svva 2202() s2M vvmg 達(dá)到此速度之前達(dá)到此速度之前, ,物體相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離物體相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離 小車前進(jìn)的距離小車前進(jìn)的距離/amg M 其中其中 2

15、03- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律20 2()MvLg Mm 20min2()MvLg Mm 即即 21Lss如圖所示，物體不滑出去應(yīng)滿足如圖所示，物體不滑出去應(yīng)滿足213- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例：例：兩個(gè)質(zhì)量分別為兩個(gè)質(zhì)量分別為 的物體的物體 A A和和 B, B, 物體物體 B B為梯形物塊，為梯形物塊， 和和 如圖所示如圖所示. .物體物體 A A以及以及 B B 與地面之間均為光滑接觸與地面之間均為光滑接觸. .開始時(shí)物體開始時(shí)物體 A A位于物體位于物體 的左上方頂端處的左上方頂端處, ,物體物體 A A和和 B B相對(duì)于地面均處于靜止相對(duì)于地面均處于靜止?fàn)顟B(tài)狀態(tài). .求

16、：當(dāng)物體求：當(dāng)物體 A A沿物體沿物體 B B由斜面頂端滑至兩物體分離由斜面頂端滑至兩物體分離時(shí)時(shí), ,物體物體 B B的動(dòng)量。的動(dòng)量。mM、Hh、 ABHh 223- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律ABvBu解：建坐標(biāo)如圖解：建坐標(biāo)如圖, ,并設(shè)物體并設(shè)物體 對(duì)物體的對(duì)物體的 速度為速度為 , ,物體物體 對(duì)地的速度為對(duì)地的速度為 . .水平方向動(dòng)量守恒水平方向動(dòng)量守恒(cos )0Mum uv 222211()sin(cos )22mg HhMum vuv22 ()()g HhMuMmMmMtg （ x機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 由由(1)(1)、(2)(2)式可解出物體的動(dòng)量大小為式可解出物體的

17、動(dòng)量大小為方向：沿方向：沿 軸正向。軸正向。233- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2.2.5 火箭飛行問題火箭飛行問題 1. 火箭推力問題火箭推力問題 點(diǎn)火發(fā)射前，火箭總動(dòng)量為點(diǎn)火發(fā)射前，火箭總動(dòng)量為0。點(diǎn)火后，火箭燃。點(diǎn)火后，火箭燃料燃燒產(chǎn)生的氣體從火箭尾部噴管高速噴出，依據(jù)料燃燒產(chǎn)生的氣體從火箭尾部噴管高速噴出，依據(jù)動(dòng)量定理，火箭獲得克服其重力的飛行動(dòng)力。動(dòng)量定理，火箭獲得克服其重力的飛行動(dòng)力。 設(shè)火箭豎直飛行，設(shè)火箭豎直飛行，t 時(shí)時(shí)刻火箭質(zhì)量為刻火箭質(zhì)量為M，飛行速，飛行速度為度為 ; 時(shí)刻時(shí)刻 微過程中火箭噴出氣體質(zhì)微過程中火箭噴出氣體質(zhì)量為量為 ，氣體相對(duì)火箭，氣體相對(duì)火箭vttd

18、tdm243- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律的速度為的速度為 ， 火箭速度變?yōu)榛鸺俣茸優(yōu)?。選擇。選擇地面為參照系，在這微過程中，燃?xì)獾膭?dòng)量變化地面為參照系，在這微過程中，燃?xì)獾膭?dòng)量變化量為量為utdtvdv ()vdvu dmvdmudmdv dmudm 式中式中 是燃?xì)庀鄬?duì)于地面的速度。是燃?xì)庀鄬?duì)于地面的速度。()vdvu 依據(jù)動(dòng)量定理，火箭獲得的推力來源于燃?xì)庖罁?jù)動(dòng)量定理，火箭獲得的推力來源于燃?xì)鈩?dòng)量的改變量，如果忽略掉燃?xì)獾闹亓涂諝獾膭?dòng)量的改變量，如果忽略掉燃?xì)獾闹亓涂諝獾淖枇?，則火箭的推力為阻力，則火箭的推力為 ppdmFdtudmFudt(2.2.34)253- -2動(dòng)量守恒

19、定律動(dòng)量守恒定律 可見，火箭獲得的推力正比于噴出燃料相對(duì)于可見，火箭獲得的推力正比于噴出燃料相對(duì)于火箭的速度以及火箭單位時(shí)間噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量?；鸺乃俣纫约盎鸺龁挝粫r(shí)間噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量。例如，運(yùn)載阿波羅登月飛船的土星例如，運(yùn)載阿波羅登月飛船的土星V火箭，其第一火箭，其第一級(jí)火箭的級(jí)火箭的則推力則推力 。 425001 4 10/./um sdm dtkg s，73 5 10.pFN2. 火箭的運(yùn)動(dòng)方程火箭的運(yùn)動(dòng)方程 以火箭箭體與燃料組成的系統(tǒng)為對(duì)象，設(shè)系統(tǒng)以火箭箭體與燃料組成的系統(tǒng)為對(duì)象，設(shè)系統(tǒng)所受合外力所受合外力(重力與空氣阻力重力與空氣阻力)為為 ，則由動(dòng)量定理，則由動(dòng)量定理，有有F()()(

20、)FdtMdm vdvdm vdvuMv263- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律忽略二階小量忽略二階小量 ，并化簡，并化簡dmdv將式將式(2.2.34)代入代入(2.2.36)，可得，可得 FdtMdvudmdvdmFMudtdt(2.2.36)pdvFFMdt(2.2.37) 因?yàn)榛鸺龁挝粫r(shí)間噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量就等于火箭因?yàn)榛鸺龁挝粫r(shí)間噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量就等于火箭箭體質(zhì)量的減少，即箭體質(zhì)量的減少，即273- -2動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律dmdM (2.2.38)將式將式(2.2.38)代入代入(2.2.37)，就得到火箭箭體的運(yùn)動(dòng)方，就得到火箭箭體的運(yùn)動(dòng)方程程dvdMFMudtdt(2.2.39)3. 火箭的速度公式火箭的速度公式 如果只考慮重力而忽略空氣阻力，這時(shí)，如果只考慮重力而忽略空氣阻力，這時(shí)， ，式，式(2.2.39)成為成為F Mgd