常微分方程發(fā)展簡史--適定性理論階段

1、第二講常微分方程發(fā)展簡史 論階段適定性理高階方程Euler的信中說，他已經(jīng)解決了一,他得到了一個四階線性常微1734年12月Bernoulli Da niel在給當時在圣彼得堡的端固定在墻上而另一端自由的彈性橫梁的橫向位移問題 分方程41，其中k是常數(shù)，x是橫梁上距自由端的距離，y是在x點的相對于橫梁為彎曲位置的垂直位移.Euler在1735年6月前的回信中說道，他也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個方程，對這個方程，除了用級 數(shù)外無法積分他確實得到了四個級數(shù)解，這些級數(shù)代表圓函數(shù)和指數(shù)函數(shù) ，但在當時Euler 沒有了解到這一點1739年9月，Euler在給Bernoulli John的信中指出，上述方程的解可

2、以表示成xx 1xxy=a(cos cosh-)(s insi nh-),kkbkk其中b可由條件y(l) =0來確定彈性問題促使Euler考慮求解常系數(shù)一般線性方程的數(shù)學問題 1739年9月，Euler在給Bernoulli John的信中首次提到了常系數(shù)齊次常微分方程，并說他已取得了成功.在1743年至1750年間，Euler考慮了 $n$階常系數(shù)齊次線性方程y(n) a1y(n 勺亠 亠 any a* = f (x),第一次引入了特解、通解的概念 ，指出通解必包含n個任意常數(shù)，而且是由n個特解分別乘 以任意常數(shù)后相加而成的，創(chuàng)立了求解$n$階常系數(shù)線性齊次微分方程的完整解法-特征方程法.

3、討論了特征根是單根、重根、共軛復根和復重根的情形，這樣Euler完整解決了常系數(shù)線性齊次方程求解問題.1750年至1751年，Euler討論了 n階常系數(shù)線性非齊次方程，他又提出了一種降低方程 階的解法.Euler還是微分方程近似解的創(chuàng)始人，他提出了的 歐拉折線法”不僅解決了常微分方程解的存在性的證明，而且也是常微分方程數(shù)值計算的最主要的方法之一1750 年，Euler又給出了求解微分方程的級數(shù)解法 .1768年至1769年，Euler還將積分因 子法推廣到高階方程，以及利用變換可以將變系數(shù)的 Euler方程化為常系數(shù)線性方程.在Euler工作的基礎上，1763年DAlembert給出了求非齊

4、次線性方程通解的方法，即非齊次方程的通解等于齊次方程的通解加上一個非齊次方程的特解1762年至1765年間，Lagrange J對高階變系數(shù)線性齊次方程的研究也邁出了一步，并引出伴隨方程(這個名字是1873年Fuchs Lazarus取的，Lagrange并未給它取名)，同時發(fā) 現(xiàn)一個定理：非齊次線性常微分方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原來方程對應的齊次方程.Lagrange把Euler L在1743年至1750年間關于常系數(shù)線性齊次微分方程的某些結 果推廣到了變系數(shù)線性齊次方程 Lagrange發(fā)現(xiàn),齊次方程的通解是由一些獨立的特解分別乘以任意常數(shù)后相加而成的，而且若已知高階方程的m個特解就

5、可以將方程降低m階.1774-1775年，Lagrange提出了“常數(shù)變易法”，解出了一般$n$階變系數(shù)非齊次線性常 微分方程這是18世紀微分方程求解的最高成就Newt on I在創(chuàng)建微積分時就給出了求解微分方程的“級數(shù)展開法”和“待定系數(shù)法”1842年Cauchy A完善了“待定系數(shù)法”探索常微分方程的一般積分方法大概到1775年就停止了，此后100年沒有出現(xiàn)新的重大的新方法，直到19世紀末才引進了 Laplace變換法和算子法.從總體上看，17世紀的微分方程仍然是微積分的一部分，并未單獨形成一個分支學科在18世紀，由解決一些具體物理問題而發(fā)展起來的微分方程，已經(jīng)成為有自己的目標和方法的新的

6、數(shù)學分支這段時期，數(shù)學家把注意力主要集中在求常微分方程的解上，并且取得了一系列重大進展對解的理解和尋求，在本質(zhì)上逐漸起了變化.最初，數(shù)學家們用初等函 數(shù)找解，接著是用一個沒有積出的積分來表示解在用初等函數(shù)及其積分來尋求解的巨大努力失敗之后，數(shù)學家們轉(zhuǎn)向用無窮級數(shù)求解了但后來人們逐漸發(fā)現(xiàn)，很多常微分方程求解是非常困難的，甚至是不可能的2、常微分方程適定性理論：19世紀初期和中期19世紀初期和中期是數(shù)學發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)變時期。數(shù)學分析的基礎、群的概念、復 變函數(shù)的開創(chuàng)等都在這個時期。常微分方程深受這些新概念和新方法的影響，進入了它發(fā)展的第二個階段。Riccati 方程在微分方 程早期研究 中出 現(xiàn)

7、的一 類重要的非 線性 方程就 是所謂的 Riccati方程 d = p(x)y2 q (x y r X )它最早是由研究聲學的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco伯dx爵于1723年至1724年間通過變量代換從一個二階方程降階得到的一個一階方程 Riccati的工作之所以者的重視，不僅由于他處理了二階微分方程，而且由于他有把二階方程化到一階 方程的想法，使降階法成為處理高階方程的主要方法之一1686年, Leibniz向數(shù)學界推出求解方程yx y (Riccati方程的特例)的通解的這一挑戰(zhàn)性問題，且直言自己研究多年而未果如此偉大的數(shù)學家，如此簡單的方程，激發(fā)了許多數(shù)學家

8、的研究熱情雖然此方程形式簡單，但經(jīng)過幾代數(shù)學家的努力仍不得其解1725年，Daniel Bernoulli用初等方法求解了一個特殊的Riccati方程，他證明了 Riccati方程，dy ay =bxm(a = 0),當m = 0, -2,( k為正整數(shù))時能化為變量可分離dx2 k -1方程.1760年至1761年,Euler L證明方程y： y?二axn在已知一個特解 y的情況下,通過變換z =1/ y -yi可化為線性方程；DAlembert J最先研究了一般形式的Riccati方程,而且對這類方程采用了“ Riccati方程”這一名稱.Abel N研究了 Abel第一類和第二類方程的若

9、干特 殊類型，特別是對于Jacobi方程得到了通解.1841年，法國數(shù)學家 Liouville證明了 Riccati方程除了某些特殊情形外 ，對一般的 p,q,r ,不能用初等積分法求其通解 .當然，對于一般的非線性方程將更是如此 ，這與代數(shù) 學中，五次和五次以上方程沒有根式公式解的結論有相似的理論意義Poincare J曾經(jīng)將代數(shù)方程求根的問題（見代數(shù)學）和常微分方程求解問題的歷史發(fā)展 作過對比，這種對比既直觀又富有成果。例如： 1824年，Abel N H證明五次代數(shù)方程沒有一般的用根式求解的公式，從而結束了一般代數(shù)方程求根式通解的企圖。類似地，1841年Liouville證明了 Ricc

10、ati方程除了某些特殊情形外，對一般的p,q,r ,不能用初等積分法求其通解，從而結束了一般常微分方程求通解的企圖。 1832年,Gailois E創(chuàng)造了群的概念，并將代數(shù)方程的根用根式表達的可能性和代數(shù)方程的根組成的置換群的可解性相聯(lián)系，得到可能性的充分必要條件是可解性。類似地，1874年Lie M S將群的概念用于常微分方程，引入了將常微分方程的解變?yōu)榻獾倪B續(xù)變換群 的概念。當連續(xù)變換群已知時，常微分方程的積分因子即可顯式地寫出，從而解決了解 的可積性問題。這些工作從正反兩方面將常微分方程的理論提高到一個新的水平。Riccati的工作迫使人們另辟蹊徑，考慮不借助于解的表達式而從方程本身的特

11、點去推斷其解的性質(zhì)（周期性、有界性、穩(wěn)定性等）,以及尋找各種近似求解的方法，從而導致微分方程理論的研究進入了一個多樣化的發(fā)展時期在物理，力學上所提出的微分方程問題，又大都要求滿足某種附加條件的特解，即所謂定解問題的解這樣，人們開始改變了原來的想法，不去求通解，而從事定解問題的研究研究熱潮逐漸由求方程的通解轉(zhuǎn)向常微分方程定解問題的適定性.18世紀以后不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問題，也迫使數(shù)學家轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥栴}的思考常微分方程理論研究中的一個基本問題是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一 ？這個問題的解決不僅可以使數(shù)學家避免對一些根本無解的方程作無謂的探索，而且直接影響并導致微

12、分方程的基本理論這些基本理論包括：解的存在及唯一性、延展性、解的整體存在性、解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性等初值問題解的存在性19世紀初期，Cauchy A等人建立了數(shù)學分析 （又稱分析學）的基礎。無限、極限、連續(xù)、 可微等等概念得到了精確的意義。Cauchy也是復變函數(shù)論的奠基人之一.Cauchy的一個考慮了微分方程的解的存在性問題，在相當一般條件下解的存在唯一性定理，為ODEs的研究奠定了堅實的基礎，后來又有許多數(shù)學家做了大量工作，逐漸形成了常微分方程的基本理論.1768年，L. Euler最早考慮了一般常微分方程的解的存在性問題，并提出用簡單的折線來近似地描繪所要尋求的積分曲線-后人

13、稱這種方法為 Euler折線法（差分法）,它標志了微分方程近似計算方法的開端 . 1890 年, Peano G 在方程右端函數(shù)連續(xù)的假設下解是否存在的問 題進行了研究 1892年G. Pea no(1889年給出用集合定義自然數(shù)的Pea no公理；1890年第一次構造出充滿正方形的連續(xù)曲線的例子 , 即 Peano 曲線 ) 第一次對此問題給與了正面的回答 , 證明了著名的 Peano 存在性定理 . 這一結果通常被稱為 Cauchy-Peano 定理 . 1915 年, Perron 在更一般條件下研究了解的存在性 .Cauchy-Peano 存在性定理證明方法很多 , 例如 : Eule

14、r 折線法 , Cauchy 的優(yōu)級數(shù)法 , Schauder 不動點定理方法等 . 在數(shù)學史上 , 用拓撲學方法證明 Caucy-Peano 存在性定理是 1922 年 G. Birkhoff 和 O. Kellogg 第一個給出的.1976 年，Gardner 給出了 Cauchy-Peano 存在 性定理的一個新的初等證明 , 它沒有用到 Arzela-Ascoli 定理, 而且也沒有用到積分的概念 . 更為有趣的是，在沒有積分概念的情況下，應用Garder方法可以證明關于連續(xù)函數(shù)的原函數(shù) 的存在定理 . 眾所周知 ， 在微積分學中 ， 原函數(shù)的存在定理是通過 Newton-Leibni

15、z 公式給出 的， 積分是不可缺少的概念 .初值問題解的唯一性Cauchy 在 1820 年首先嚴格證明了在相當一般的條件下微分方程解的存在唯一性定理，為微分方程理論的發(fā)展奠定了堅實的基礎 ， 1825 年他開始對解的延拓等問題進行研究 ； 1836 年用優(yōu)級數(shù)法證明了解析系數(shù)微分方程解的存在性 ； 1896年， E Lindelof 用取絕對值的方法 得到了最好的優(yōu)級數(shù).1876年，德國數(shù)學家Lipschitz R把Cauchy的條件作了適當?shù)臏p弱，提 出了著名的 Lipschitz 條件 .1838年，Liouville J在研究熱傳導方程時提出了逐次逼近法；1890年，Picard C給

16、出了逐次逼近法的普遍形式 ， 并逐漸形成了微分方程的一般理論 ， 這一理論無論是對于求解還是研 究解的各種性質(zhì)都是最基本的 .在微分方程理論中 ， 逐次逼近法是比較經(jīng)典的方法 . 最早 ， Cauchy， Lipschitz， Peano 等曾 使用這種方法解決 某些特殊類型方程解的存在性問題 . E Lindelof 在 1897年也使用過逐次 逼近法解決微分方程解的存在性問題 ， 并且還在 1899年證 明了隱函數(shù)定理 . 在此之前 ， A Cauchy和R Lipschitz在對右端函數(shù)加上較強的條件得到過同樣的結論.1893年，Picard C把這一方法應用到一般非線性微分方程上來，

17、因而又稱為 Picard 逐次逼近法 ， 建立了Cauchy-Pichard 解的存在唯一性定理。解的存在唯一性是微分方程理論研究中的最重要的基本問題， 是微分方程理論研究的基礎 . 從 Cauchy 起， 對唯一性問題的研究已有非常之多 ， 條件也是多種多樣的 . 在歷史上 ， 許多著名數(shù)學家對此問題 進行過深入的研究， 得到了許多非常好的結果 ， 例如：Resenbelett-Nagumo-Perron(1925)定理、Osgood(1898)-Tamarkin-Montel 定理、Kamke 定理等 等. 1993 年， Agarwal 和 Lakshmikantham 對解的存在唯一性問題的研究結果作了全面系統(tǒng)的 總結 ， 對各種不同的判據(jù)作了詳盡的分析比較 ， 為此問題的進一步研究提供了必要的思路 . 從此書可以看出 ， 所有的判據(jù)都是充分性判據(jù) ， 都有一定的適用范圍 ， 一個自然問題是能否 找到解唯一的充分必要條件 ? 2004 年， 在右端函數(shù)連續(xù)的前提下 ， 王克和范猛建立了自治純 量常微分方程解唯一的充分必要條件 ， 徹底地解決了自治純量常微分方程的解的唯一性問 題. 對于其他類型的微分方程 ， 這仍然是一個公開問題 . 直到現(xiàn)在 ， 解