圓的切線復(fù)習(xí)

1、直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系位置關(guān)系相交相交相切相切相離相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)d與與r的關(guān)系的關(guān)系公共點(diǎn)名稱(chēng)公共點(diǎn)名稱(chēng)直線名稱(chēng)直線名稱(chēng)2 2個(gè)個(gè)1 1個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)drdrdr交點(diǎn)交點(diǎn)切點(diǎn)切點(diǎn)割線割線切線切線有且僅有有且僅有判定一條直線是圓的切線的方法有：判定一條直線是圓的切線的方法有：（1）與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；）與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（2）圓心到直線的距離等于該圓的半徑，則）圓心到直線的距離等于該圓的半徑，則這條直線是圓的切線這條直線是圓的切線.切線的判定定理切線的判定定理 定理定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端經(jīng)過(guò)半徑的外端, ,并且垂直于這條并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線半徑的

2、直線是圓的切線. .CDOA如圖如圖OAOA是是O O的的半徑半徑, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是O O的切線的切線. .判斷下圖直線判斷下圖直線l l是否是是否是O O的切線？的切線？并說(shuō)明為什么。并說(shuō)明為什么。OLAOLA切線的判定定理的兩種應(yīng)用切線的判定定理的兩種應(yīng)用1、連半徑，證垂直連半徑，證垂直 如果已知直線與圓有如果已知直線與圓有交點(diǎn)，往往交點(diǎn)，往往要作出過(guò)這一要作出過(guò)這一點(diǎn)的半徑點(diǎn)的半徑，再證明直線垂再證明直線垂直于這條半徑即可直于這條半徑即可.2、作垂線，證半徑作垂線，證半徑 如果不明確直線與圓如果不明確直線與圓的交點(diǎn)，往往的交點(diǎn)，往往要作出圓心要作出圓心到直線

3、的垂線段到直線的垂線段，再證明再證明這條垂線段等于半徑即可這條垂線段等于半徑即可.ABCDEO.切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑過(guò)切點(diǎn)的半徑. .CDCD切切O O于于, A, A是切點(diǎn)是切點(diǎn), , OAOA是是O O的半徑的半徑CDOACDOA. 提示：提示：切線的性質(zhì)定理是證明兩條直線切線的性質(zhì)定理是證明兩條直線垂直的重要根據(jù)垂直的重要根據(jù);作過(guò)切點(diǎn)的半徑是常用作過(guò)切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一經(jīng)驗(yàn)輔助線之一.切線性質(zhì)定理的推廣 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 推推1 1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

4、：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 推推2 2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心你能用一個(gè)定理把圓的切你能用一個(gè)定理把圓的切線的性質(zhì)及它的兩個(gè)推論線的性質(zhì)及它的兩個(gè)推論概括出來(lái)嗎？概括出來(lái)嗎？如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可以推出第三個(gè)就可以推出第三個(gè)：（：（1）垂直于切線；（）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心。）過(guò)圓心。經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線垂直于切線直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線垂直于切線經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓

5、心切線垂直于半徑切線垂直于半徑按圖填空：按圖填空：(1). 如果如果AB是是 O的切線，的切線，那么那么AOB O的切線的切線(2). 如果如果OAAB，那，那么么AB是是切點(diǎn)切點(diǎn)OAAB.(3).如果如果AB是是 O的切線，的切線，OAAB，那么，那么A是是_練一練練一練、切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)、切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 、經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)、經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心、切線和圓心的距離等于半徑、切線和圓心的距離等于半徑n從

6、圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，他們的從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，他們的切線切線長(zhǎng)長(zhǎng)_ ，這一點(diǎn)和圓心的連線，這一點(diǎn)和圓心的連線會(huì)會(huì)_兩條切線的夾角兩條切線的夾角ABPO12切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:PA,PB切切 O于于A,B _ _ 相等相等平分平分PA=PB1=2 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的的切線長(zhǎng)相等切線長(zhǎng)相等；這點(diǎn)；這點(diǎn)與圓心的連線平分與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。這兩條切線的夾角。BAPOPA、PB為為 O的切線的切線PA=PB,APO= BPOl例例1已知：直線已知：直線AB經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) O上的點(diǎn)上的點(diǎn)C，并且，并且OAOB，CACB。求證：直線。求

7、證：直線AB是是 O的切線。的切線。OCBA練習(xí)練習(xí)如圖如圖, O切切PB于點(diǎn)于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則則 O的半徑多少？的半徑多少？AOBP練習(xí)練習(xí)2 2 如圖：如圖：PA,PC分別分別切圓切圓O于點(diǎn)于點(diǎn)A,C兩點(diǎn)兩點(diǎn),B為為圓圓O上與上與A,C不重合的點(diǎn)不重合的點(diǎn),若若P=50,則則ABC=_OCPAB例例如圖如圖AB為為 O的直徑，的直徑，D是弧是弧BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEAC交交AC的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線于于E， O的切線的切線BF交交AD的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線于于F。(1)求證：求證：DE是是 O的切線。的切線。 CDOBFEA(2)若若DE3， O的半徑是的半徑是5，求，求BD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。

8、 GOCBADE1234例例3:已知已知: 如圖如圖 RT ABC中中,C=900, 以以AC為直徑的為直徑的 O交斜邊交斜邊 AB于于D,OEAB交交BC于于E,求證求證: DE是圓是圓O的切線的切線.OCBADE1234例3：已知已知: 如圖如圖 RT ABC中中,C=900, 以以AC為直徑為直徑 的的 O交斜邊交斜邊 AB于于D,OEAB交交BC于于E 求證求證: DE是圓是圓O的切線的切線證明：證明：連結(jié)連結(jié)OD OEAB, 1 12 2，3 34 4， 又又OA=OD,OA=OD, 1=3. 1=3. 2=4 2=4 在在OCEOCE和和ODEODE中中 OC=ODOC=OD，2

9、24 4，OE=OEOE=OE OCEOCEODE.ODE. C=90 C=900 0 ODE=90 ODE=900 0, ,即即DEOD.DEOD. DE DE是是O O的切線。的切線。GHOEFBADC例例4:已知：已知： 如圖如圖ABC中中ADBC，AD= BC ，E，F(xiàn)分別是分別是AB，AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AD與與EF相交于相交于H，求證：求證： 以以EF為直徑的為直徑的 O與與BC相切相切12（兩種輔助線的做法）若明確直線和圓的公共點(diǎn),我們作半徑(連接公共點(diǎn)和圓心),去證明這條半徑和直線垂直;若不明確直線和圓的公共點(diǎn),我們過(guò)圓心作這條直線的垂線,去證明垂線段等于半徑.證明相切的常用思

10、路：GHOEFBADC例4：已知：已知： 如圖如圖ABC中中ADBC，AD= BC ， E，F(xiàn) 分別是分別是AB，AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AD與與EF相交于相交于H， 求證：求證： 以以EF為直徑的為直徑的 O于于BC相切相切12證明：證明：作作OGBC，垂足為，垂足為G E，F(xiàn)分別是分別是AB，AC的中點(diǎn)的中點(diǎn) EFEFBC,BC,且且EFEF BC。 H H是是ADAD的中點(diǎn)，即的中點(diǎn)，即HD= HD= AD. AD AD BC. AD=EF AD=EF HD= HD= EF ADBC, OGBC, EFBC, EFBC,BC, OG=HD= OG=HD= EF OG OG是是O O的半徑。的

11、半徑。 以以EFEF為直徑為直徑O O的與的與BCBC相切相切 1212121212（兩種輔助線的做法）若明確直線和圓的公共點(diǎn),我們作半徑(連接公共點(diǎn)和圓心),去證明這條半徑和直線垂直;若不明確直線和圓的公共點(diǎn),我們過(guò)圓心作這條直線的垂線,去證明垂線段等于半徑.證明相切的常用思路：2. 已知已知:如圖如圖, O交交OA于于C,弦弦BCAC,A30求證：求證： AB是是 C的切線的切線OBAC（6）1.已知已知: 如圖如圖,在以在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦大圓的弦AB和和CD 相等相等,且且AB與小圓相切于與小圓相切于E 求證：求證：CD與小圓相切與小圓相切EFOAB

12、CD.(5)3 3、已知：、已知：ABAB是圓是圓O O的直徑，的直徑，C C是是ABAB延延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CDCD切圓切圓O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D，DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E。求證：求證： CDB = EDBCDB = EDBEACODBCBDOEA5、如、如 ABC中中 C 900,AC12cm,BC=16cm,O的直徑的直徑MN在在AB上上,且且分別切分別切AC于于D,BC于于E,求求MN的長(zhǎng)的長(zhǎng)BCAONMDE方法小結(jié)：根據(jù)切線的方法小結(jié)：根據(jù)切線的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)成比例的性質(zhì),建立方建立方程求解

13、。程求解。5、如、如ABC中中C900,AC12cm,BC=16cm O的直徑的直徑MN在在AB上上,且分別切且分別切AC于于D,BC于于E 求求 MN的長(zhǎng)的長(zhǎng)解：解： 連結(jié)連結(jié)OD，OE,設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為R. O分別切分別切AC,BC于于E， ODOE=R,ODAC,OEBC, 又又 C900， DC=OE=R,ODBC. ,即即.解得，解得， R cm. MN= cm.ODBCADACR1612-R12487967BCAONMDE方法小結(jié)：根據(jù)切線的性質(zhì)，方法小結(jié)：根據(jù)切線的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形利用相似三角構(gòu)造相似三角形利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì),建立建立

14、方程求解。方程求解。6、已知、已知,如圖如圖,D(0,1), D交交y軸于軸于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn),交交x軸負(fù)半軸于軸負(fù)半軸于C點(diǎn)點(diǎn),過(guò)過(guò)C點(diǎn)點(diǎn)的直線的直線:y=2x4與與y軸軸交于交于P.試猜想試猜想PC與與 D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由由.解：解：令令x=0，得得y=-4;令令y=0,得得x=-2C(-2,0), P(0,-4) 又又D(0,1)OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5在在RtCOD中中, CD2=OC2+OD2=4+1=5在在RtCOP中中, CP2=OC2+OP2=4+16=20在在CPD中中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25CD2+CP2

15、=DP2CDP為直角三角形為直角三角形,且且DCP=90PC為為 D的切線的切線.直線直線y=-2x-4PC是是 O的切線，理由如下：的切線，理由如下：6、已知、已知,如圖如圖,D(0,1), D交交y軸于軸于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn),交交x軸負(fù)半軸于軸負(fù)半軸于C點(diǎn)點(diǎn),過(guò)過(guò)C點(diǎn)點(diǎn)的直線的直線:y=2x4與與y軸軸交于交于P.試猜想試猜想PC與與 D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由由. 思考：判斷在直線思考：判斷在直線PC上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)E，使得，使得SEOC=4SCDO,若存在，若存在，求出點(diǎn)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：假設(shè)在直線解：假設(shè)在直

16、線PC上存在這樣的點(diǎn)上存在這樣的點(diǎn)E(x0,y0),使得使得SEOC =4S CDO，1122121CODODCDS4210yCDSEOC40 y40 yE點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線PC：y=-2x-4上，上，當(dāng)當(dāng)y0=4時(shí)有：時(shí)有：442x4 x 當(dāng)當(dāng)y0=-4時(shí)有：時(shí)有：442x0 x在直線在直線PC上存在滿(mǎn)足條件的上存在滿(mǎn)足條件的E點(diǎn)，其的坐標(biāo)為點(diǎn)，其的坐標(biāo)為(-4,4) , (0,-4) .邊長(zhǎng)為，的三角形，其內(nèi)心和邊長(zhǎng)為，的三角形，其內(nèi)心和外心間的距離是外心間的距離是。7 7、2108686r8、如圖，、如圖，PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，試探究為切點(diǎn)，試探究ABO與

17、與APB的關(guān)系，的關(guān)系，并證明并證明. 9、如圖所示，、如圖所示，EB、EC是是 O的兩條的兩條切線，切線，B、C是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，A、D是是 O上兩上兩點(diǎn)，如果點(diǎn)，如果E=46，DCF=32；求求A的度數(shù)的度數(shù)10、從圓外一點(diǎn)向半徑為、從圓外一點(diǎn)向半徑為9的圓作切線，的圓作切線，已知切線長(zhǎng)為已知切線長(zhǎng)為18，從這點(diǎn)到圓的最短距，從這點(diǎn)到圓的最短距離為離為 1111、如圖，正方形、如圖，正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4cm4cm，以，以正方形的一邊正方形的一邊BCBC為直徑在正方形為直徑在正方形ABCDABCD內(nèi)作內(nèi)作半半圓，再過(guò)圓，再過(guò)A點(diǎn)作半圓的切線，與半圓相點(diǎn)作半圓的切線，與半圓相

18、切于切于F點(diǎn)，與點(diǎn)，與DC相交于相交于E點(diǎn)點(diǎn)求梯形求梯形ABCE的面積的面積12. 如圖：如圖：ABC中，中，C900，點(diǎn)，點(diǎn)O在在BC上，以上，以O(shè)C為半徑的半圓切為半徑的半圓切AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D,若若BE4,BD2,求求 O的半的半徑和邊徑和邊AC的長(zhǎng)的長(zhǎng) BACEOD13、如圖，、如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，AD、DC、BC是切線，點(diǎn)是切線，點(diǎn)A、E、B為切點(diǎn)，為切點(diǎn)， (1)求證：求證：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的長(zhǎng)的長(zhǎng). OABCDEF 14、ABC外切于外切于 O ，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，A600，BC7, O的半的半徑為徑為 求求ABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)3ECFDABO1515、如圖，、如圖，I I為為ABCABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)的內(nèi)切圓，點(diǎn)D D，E E分別為邊分別為邊AB,ACAB,AC上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且DEDE為為I I的切線，的切線，若若ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為212