平面圖形的幾何性質(zhì)

1、附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)學(xué)時(shí)2基本內(nèi)容靜矩、矩形及相互關(guān)系，慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑，慣性矩與慣性積的移軸公式和轉(zhuǎn)軸公式，主軸與形心主軸、主矩與形心主矩，組合圖形的形心、形心主軸與形心主矩的計(jì)算方法。教學(xué)目的1、 理解平面圖形幾何性質(zhì)（形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等）的概念。2、 能正確計(jì)算組合圖形的形心、形心主軸、形心主慣性矩。重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等概念及其計(jì)算。難點(diǎn)：慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性矩的計(jì)算。教學(xué)方法以常見的圓形、圓環(huán)、矩形、T形、常見型鋼截面的組合圓形為主。作業(yè) 附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)

2、A-1 引言不同受力形式下桿件的應(yīng)力和變形，不僅取決于外力的大小以及桿件的尺寸，而且與桿件截面的幾何性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)研究桿件的應(yīng)力、變形，以及研究失效問題時(shí)，都要涉及到與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。這些幾何量包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性短、慣性積、主軸等，統(tǒng)稱為“平面圖形的幾何性質(zhì)”。研究上述這些幾何性質(zhì)時(shí)，完全不考慮研究對象的物理和力學(xué)因素，作為純幾何問題加以處理。A-2 靜矩、形心及相互關(guān)系任意平面幾何圖形如圖A-1所示。在其上取面積微元dA，該微元在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x、y。定義下列積分： （A-1） 分別稱為圖形對于x軸和y軸的截面一次矩或靜矩，其單位為 。如果將dA視為

3、垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對于z軸和y軸的力矩； 和 則分別為dA對z軸和y軸之矩。圖A-1圖形的靜矩與形心圖形幾何形狀的中心稱為形心,若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點(diǎn)。設(shè) 、 為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力之矩定理 (A-2)或 (A-3)這就是圖形形心坐標(biāo)與靜矩之間的關(guān)系。根據(jù)上述定義可以看出：1.靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)，同一平面圖形對于不同的坐標(biāo)軸有不同的靜矩。對某些坐標(biāo)軸靜矩為正；對另外某些坐標(biāo)軸為負(fù)；對于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對其靜矩等于零。2.如果已經(jīng)計(jì)算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心位置，則可計(jì)算圖形的靜矩。實(shí)際計(jì)算中，對于簡單的、規(guī)

4、則的圖形，其形心位置可以直接判斷。例如矩形、正方形、圓形、正三角形等的形心位置是顯而易見的。對于組合圖形，則先將其分解為若干個(gè)簡單圖形(可以直接確定形心位置的圖形)；然后由式(A-2)分別計(jì)算它們對于給定坐標(biāo)軸的靜矩，并求其代數(shù)和；再利用式(A-3),即可得組合圖形的形心坐標(biāo)。即: (A-4) (A-5)A-3 慣性炬、極慣性炬、慣性積、慣性半徑圖A-1中的任意圖形，以及給定的Oxy坐標(biāo)，定義下列積分： (A-6) (A-7)分別為圖形對于x軸和y軸的截面二次軸矩或慣性矩。定義積分 (A-8)為圖形對于點(diǎn)O的截面二次極矩或極慣性矩。定義積分 (A-9)為圖形對于通過點(diǎn)O的一對坐標(biāo)軸x、y的慣性

5、積。定義 , 分別為圖形對于x軸和y軸的慣性半徑。根據(jù)上述定義可知：1.慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置的不同，可能為正，也可能為負(fù)。三者的單位均為 或 。2.因?yàn)?= + ，所以由上述定義不難得出= + (A-10)3.根據(jù)極慣性矩的定義式(A-8)，以及圖A-2中所示的微面積取法，不難得到圓截面對其中心的極慣性矩為(A-11) (A-12)式中,d為圓的直徑；R為半徑。類似地，還可以得圓環(huán)截面對于圓環(huán)中心的極慣性矩為 , (A-13)式中，D為圓環(huán)外徑；d為內(nèi)徑。 4.根據(jù)慣性矩的定義式(A-6)、(A-7)，注意微面積的取法(圖A-3所示)，不難求得矩形對于平行其邊界的軸

6、的慣性矩： , (A-14) 根據(jù)式(A-10)、(A-11)，注意到圓形對于通過其中心的任意兩根軸具有相同的慣性矩，便可得到圓截面對于通過其中心的任意軸的慣性矩均為 (A-15)對于外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)截面, (A-16) 應(yīng)用上述積分，還可以計(jì)算其他各種簡單圖形對于給定坐標(biāo)軸的慣性矩。必須指出，對于由簡單幾何圖形組合成的圖形，為避免復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算，一般都不采用積分的方法計(jì)算它們的慣性矩。而是利用簡單圖形的慣性矩計(jì)算結(jié)果以及圖形對于平行軸慣性矩之間的關(guān)系，由求和的方法求得。A-4 慣性矩與慣性積的移軸定理圖A-4中所示之任意圖形，在坐標(biāo)系Oxy系中，對于x、y軸的慣性矩和慣性積為另有一坐標(biāo)

7、系Ox1y1，其中x1和y1分別平行于x和y軸，且二者之間的距離為a和b。所謂移軸定理是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。即通過已知對一對坐標(biāo)軸的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標(biāo)軸的慣性矩與慣性積。下面推證二者間的關(guān)系。根據(jù)平行軸的坐標(biāo)變換 將其代人下列積分 ， 得展開后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定義，得 (A-17)如果x、y軸通過圖形形心，則上述各式中的 = =0。于是得 (A-18)此即關(guān)于圖形對于平行軸慣性矩與慣性積之間關(guān)系的移軸定理。其中，式(A-18)表明：1.圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的

8、乘積。2.圖形對于任意一對直角坐標(biāo)軸的慣性積，等于圖形對于平行于該坐標(biāo)軸的一對通過形心的直角坐標(biāo)軸的慣性積，加上圖形面積與兩對平行軸間距離的乘積。3.因?yàn)槊娣e及a2、b2項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。a、b為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，故二者同號時(shí)abA為正，異號時(shí)為負(fù)。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。A-5 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理所謂轉(zhuǎn)軸定理是研究坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圖形對這些坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。圖A-5所示的圖形對于x、y軸的、慣性矩和慣性積分別為 、 和 。現(xiàn)將Oxy坐標(biāo)系繞坐標(biāo)原點(diǎn)。反時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角，得到一新的坐標(biāo)系，記為Ox1

9、y1。要考察的是圖形對新坐標(biāo)系的 、 、 與 、 、 之間的關(guān)系。根據(jù)轉(zhuǎn)軸時(shí)的坐標(biāo)變換：于是有 將積分記號內(nèi)各項(xiàng)展開，得 (A-19)改寫后，得 （A-20） 上述式(A-19)和(A-20)即為轉(zhuǎn)軸時(shí)慣性矩與慣性積之間的關(guān)系。若將上述 與 相加，不難得到這表明：圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與角無關(guān)，即在軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其和保持不變。上述式(A-19)、(A-20)，與移軸定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通過形心。當(dāng)然，對于繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系也是適用的，而且也是實(shí)際應(yīng)用中最感興趣的。A-6主軸與形心主軸、主矩與形心主矩從式(A-19)的第三式可以看出，對于確定的點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)坐標(biāo)軸

10、旋轉(zhuǎn)時(shí)，隨著角度的改變，慣性積也發(fā)生變化，并且根據(jù)慣性積可能為正，也可能為負(fù)的特點(diǎn)，總可以找到一角度0以及相應(yīng)的x0、y0軸，圖形對于這一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零。為確定0，令式(A-19)中的第三式為零，即 由此解得 (A-21)或 (A-22)如果將式(A-20)對求導(dǎo)數(shù)并令其為零，即， 同樣可以得到式(A-21)或(A-22)的結(jié)論。這表明:當(dāng)改變時(shí), 、 的數(shù)值也發(fā)生變化，而當(dāng)=0時(shí)，二者分別為極大值和極小值。定義 過一點(diǎn)存在這樣一對坐標(biāo)軸，圖形對于其慣性積等于零，這一對坐標(biāo)軸便稱為過這一點(diǎn)的主軸。圖形對主軸的慣性矩稱為主軸慣性矩，簡稱主慣性矩。顯然，主慣性矩具有極大或極小的特征。根據(jù)式

11、(A-20)和(A-21)，即可得到主慣性矩的計(jì)算式 (A-23)需要指出的是對于任意一點(diǎn)(圖形內(nèi)或圖形外)都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。工程計(jì)算中有意義的是形心主軸和形心主矩。當(dāng)圖形有一根對稱軸時(shí)，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點(diǎn)的主軸。例如圖A-6所示的具有一根對稱軸的圖形，位于對稱軸y一側(cè)的部分圖形對x、y軸的慣性積與位于另一側(cè)的圖形的慣性積，二者數(shù)值相等，但反號。所以，整個(gè)圖形對于x、y軸的慣性積 =0，故圖A-6對稱軸為主軸x、y為主軸。又因?yàn)镃為形心，故x、y為形心主軸。A-7組合圖形的形心、形心主軸工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的是組

12、合圖形的形心主慣性矩，即圖形對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此必須首先確定圖形的形心以及形心主軸的位置。因?yàn)榻M合圖形都是由一些簡單的圖形(例如矩形、正方形、圓形等)所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利用簡單圖形的幾何性質(zhì)以及移軸和轉(zhuǎn)軸定理。一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行。將組合圖形分解為若干簡單圖形，并應(yīng)用式(A-5)確定組合圖形的形心位置。以形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Ozy坐標(biāo)系x、y軸一般與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡單圖形對自身形心軸的慣性矩，利用移軸定理(必要時(shí)用轉(zhuǎn)軸定理)確定各個(gè)簡單圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積，相加(空洞時(shí)則減)后便得到整個(gè)圖形的 、

13、和 。應(yīng)用式(A-21)和(A-22)確定形心主軸的位置，即形心主軸與x軸的夾角0。利用轉(zhuǎn)軸定理或直接應(yīng)用式(A-23)計(jì)算形心主慣性矩 和 。可以看出，確定形心主慣性矩的過程就是綜合應(yīng)用本章A-2A-6全部知識的過程。常用圖形的慣性矩與抗彎截面系數(shù)(2) 空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)(3) 實(shí)心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)(4) 空心圓截面的慣性矩A-8 例題例題A-1 截面圖形的幾何尺寸如圖A-7所示。試求圖中具有斷面線部分的Ix、Iy。解: 根據(jù)積分定義，具有斷面線的圖形對于x、y軸的慣性矩，等于高為h、寬為b的矩形對于x、y軸的慣性矩減去高為 的矩形對于相同軸的慣性矩，即上述方法稱為

14、負(fù)面積法。用于圖形中有挖空部分的情形，計(jì)算比較簡捷。例題A-2 T形截面尺寸如圖A-8a所示。試求其形心主慣性矩。解：1.分解為簡單圖形的組合。將T形分解為如圖A-8b所示的兩個(gè)矩形I和II。2.確定形心位置首先，以矩形I的形心C1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖A-8b所示的C1xy坐標(biāo)系。因?yàn)閥軸為T字形的對稱軸，故圖形的形心必位于該軸上。因此，只需要確定形心在y軸上的位置，即確定yc。根據(jù)式(A-5)的第二式，形心C的坐標(biāo)。 3.確定形心主軸因?yàn)閷ΨQ軸及與其垂直的軸即為通過二者交點(diǎn)的主軸，所以以形心C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖A-12c所示的Cx0y0坐標(biāo)系，其中y0通過原點(diǎn)且與對稱軸重合，則x0、y0即為形心主軸。4.采用疊加法及移軸定理計(jì)算形心主慣性矩 和 根據(jù)慣性矩的積分定義，有 例題A-3 圖A-9a所示為一薄壁圓環(huán)截面，D0為其平均直徑，為厚度，若、D0均為已知，試求薄壁圓環(huán)截面對其直徑軸的慣性矩。 解：求圓環(huán)截面對其直徑軸的慣性矩可采用負(fù)面積法，即 其中, 。對于 的薄壁圓環(huán)截面，為了使公式簡化，可采用近似方法計(jì)算。 取積分微元dA如圖