結(jié)構(gòu)力學(xué)力矩分配法

1、第第8 8章章 力矩分配法力矩分配法屬于位移法類型的漸近解法。屬于位移法類型的漸近解法。8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念1. 理論基礎(chǔ)：位移法2. 解題方法：漸進(jìn)法3. 適用范圍：連續(xù)梁、無結(jié)點線位移的剛架4. 計算對象：桿端彎矩，正負(fù)號規(guī)定與位移法相同（一）轉(zhuǎn)動剛度轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時在轉(zhuǎn)動端需施加的力矩。用用SAB表示，表示，施力端施力端A稱為近端，稱為近端，B端稱為遠(yuǎn)端。端稱為遠(yuǎn)端。ABSAB)(a遠(yuǎn)端固定遠(yuǎn)端固定SAB = 4 iABSAB)(b遠(yuǎn)端鉸支遠(yuǎn)端鉸支SAB = 3 iABS遠(yuǎn)端定向支承遠(yuǎn)端定向支承SAB = iAB

2、)(cABSB)(dA遠(yuǎn)端自由遠(yuǎn)端自由SAB = 01. SAB與線剛度與線剛度i=EI/l有關(guān)，還與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。有關(guān)，還與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。2.SAB是指施力端是指施力端A在在沒有線位移沒有線位移的條件下的轉(zhuǎn)動剛度。的條件下的轉(zhuǎn)動剛度。（二）分配系數(shù)：（二）分配系數(shù)：如圖，設(shè)如圖，設(shè)A結(jié)點上作用有一結(jié)點上作用有一集中力偶，試求桿端彎矩集中力偶，試求桿端彎矩MAB、MAC、MAD。解：解： 設(shè)集中力偶使結(jié)點設(shè)集中力偶使結(jié)點A產(chǎn)生產(chǎn)生轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q qA A， 則由轉(zhuǎn)動剛度定義：則由轉(zhuǎn)動剛度定義： ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3)(aACDBMA

3、3. A端可為固定鉸或可動鉸支座，也可為可轉(zhuǎn)動（但端可為固定鉸或可動鉸支座，也可為可轉(zhuǎn)動（但不能移動）的剛結(jié)點。不能移動）的剛結(jié)點。由由)(aACDBMA 0AMAMABMACMADMADACABMMMM AADAACAABSSS AADACABSSS)( AAS 用用 AS表示各桿表示各桿A端轉(zhuǎn)動剛度之和。端轉(zhuǎn)動剛度之和。 AASM ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3將將q qA代入代入MAB、MAC、MAD的表達(dá)式中，得：的表達(dá)式中，得：)(aACDBMA AASMMSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 分配彎矩分配彎矩令令)(D

4、C,B,jSSAAjAj Aj 稱為稱為分配系數(shù)分配系數(shù)，它表示本桿的轉(zhuǎn)動剛度除以，它表示本桿的轉(zhuǎn)動剛度除以 圍繞此結(jié)點所有桿的轉(zhuǎn)動剛度之和。圍繞此結(jié)點所有桿的轉(zhuǎn)動剛度之和。 ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3則分配彎矩為：則分配彎矩為：MSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 令令)(DC,B,jSSAAjAj MMABAB MMACAC MMADAD 分配系數(shù)的特點：分配系數(shù)的特點：匯交于同一結(jié)點的各桿的分配系數(shù)之和等于匯交于同一結(jié)點的各桿的分配系數(shù)之和等于1 1。)(aACDBMA1010圖示結(jié)構(gòu)，各桿線剛度均為圖示結(jié)構(gòu)，各桿線剛

5、度均為I, ,用力矩分配法計用力矩分配法計算時，分配系數(shù)算時，分配系數(shù)AB為（）為（）101A81B41C83D訓(xùn)訓(xùn) 練練B)(aACDBM（三）傳遞系數(shù)：（三）傳遞系數(shù)： (a)圖中圖中A結(jié)點作用集中結(jié)點作用集中力偶力偶M，使結(jié)點使結(jié)點A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角產(chǎn)生轉(zhuǎn)角q qA A時，各桿近端產(chǎn)生彎矩，時，各桿近端產(chǎn)生彎矩，同時也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩。同時也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩。A BAMAABi2 CAMAACi DAM021 ABABBACMM把把CAB稱為傳遞系數(shù)。稱為傳遞系數(shù)。傳遞系數(shù)傳遞系數(shù) 當(dāng)近端有當(dāng)近端有轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角時，遠(yuǎn)端彎矩和近端彎時，遠(yuǎn)端彎矩和近端彎矩的比值。用符號矩的比值。用符號C表示。表示。

6、 ABMAABSAABi4 ADMAADSAADi3 ACMAACSAACi21ABBAABMMCMAB = 3iABqA0ABBAABMMCMAB= iABqAMBA = - iAB qA1ABBAABMMCqAlAB近端近端遠(yuǎn)端遠(yuǎn)端ABqAqAAB傳遞系數(shù)與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)：傳遞系數(shù)與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)：（三）傳遞系數(shù)：（三）傳遞系數(shù)：MAB = 4 iAB qAMBA = 2 iAB qA基本概念總結(jié)：基本概念總結(jié)：規(guī)律：規(guī)律：分配系數(shù)要計算；分配系數(shù)要計算；計算圍繞一個點；計算圍繞一個點；傳遞系數(shù)憑觀看；傳遞系數(shù)憑觀看；觀看只看桿遠(yuǎn)端。觀看只看桿遠(yuǎn)端。 在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）

7、按各桿分配在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）按各桿分配系數(shù)分配給各桿近端截面；各桿遠(yuǎn)端彎矩分別等于系數(shù)分配給各桿近端截面；各桿遠(yuǎn)端彎矩分別等于各桿近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。各桿近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。8.2 單結(jié)點力矩分配法單結(jié)點力矩分配法基本運(yùn)算基本運(yùn)算用力矩分配法計算下列結(jié)構(gòu)，并作用力矩分配法計算下列結(jié)構(gòu)，并作M圖。圖。PEIABCEIl2l2l)(a（一）確定基本結(jié)構(gòu)（在（一）確定基本結(jié)構(gòu)（在B結(jié)點增加附加剛臂），再加結(jié)點增加附加剛臂），再加 上荷載。如圖上荷載。如圖b。PBAC)(bRgBAMgBCMBgBCgBAMMR 此時：此時： R 等于固端彎矩之和，以等于固端彎矩之和，以順時針順時針為正

8、為正，稱，稱R為為結(jié)點不平衡力矩結(jié)點不平衡力矩或或固端固端彎矩引起的不平衡力矩彎矩引起的不平衡力矩。（一）確定基本結(jié)構(gòu)（在（一）確定基本結(jié)構(gòu)（在B結(jié)點增加附加剛臂），再加結(jié)點增加附加剛臂），再加 上荷載。如圖上荷載。如圖b。PBAC)(bgBCgBAMMR 此時：此時：BAC)(bR)(cBAM BCM B)( RMBABA 此時：此時：R)( RMBCBC （二）放松結(jié)點（二）放松結(jié)點B，產(chǎn)生，產(chǎn)生反向反向力矩力矩R：同時：各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生傳遞彎矩：同時：各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生傳遞彎矩：BAMMAB 210 CBM（三）（三）(b)圖圖+(c)圖圖=(a)圖，即：圖，即： BAM ABM BCM gABM

9、ABM BCM 0 CBM gBAMBAM PEIABCEIl2l2l)(a 、 叫分配彎矩：叫分配彎矩：它等于分配它等于分配系數(shù)乘以系數(shù)乘以負(fù)的負(fù)的R。BAM BCM 力矩分配法的計算步驟：力矩分配法的計算步驟：1.由轉(zhuǎn)動剛度計算分配系數(shù)：由轉(zhuǎn)動剛度計算分配系數(shù)：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算分配彎矩和傳遞彎矩：計算分配彎矩和傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩： 5.校核。（結(jié)點平衡）校核。（結(jié)點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳

10、遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM 歸納： ，傳遞彎矩。放松節(jié)點，分配彎矩衡力矩。固端彎矩，有節(jié)點不平固定節(jié)點，各桿端有，傳遞彎矩。放松節(jié)點，分配彎矩衡力矩。固端彎矩，有節(jié)點不平固定節(jié)點，各桿端有例例1、用力矩分配法求解圖示結(jié)構(gòu)，并作、用力矩分配法求解圖示結(jié)構(gòu)，并作M圖：圖：解：解：BEIACEIm4m4kN/m10074731、計算分配系數(shù)：、計算分配系數(shù)： BBASSBA74 iii34473741 BC2、計算固端彎矩：、計算固端彎矩：3 .1331212 qlMgAB3 .133 gBAM3、計算不平衡力矩：、計算不平衡力矩：3 .133 R分配系數(shù)分配系數(shù)gM

11、固固端端彎彎矩矩3 .133 3 .13300分配傳遞分配傳遞結(jié)點一次結(jié)點一次B09.38 17.76 13.57 0 MM 或或總總4 .171 13.57013.57 4 .17113.5720081 2ql73.85圖M)(mkN 力矩分配法是直接計算力矩分配法是直接計算各桿的桿端彎矩。各桿的桿端彎矩。反號的不平衡力矩：反號的不平衡力矩：-133.3總總 結(jié)：結(jié)：回顧：基本概念總結(jié)：回顧：基本概念總結(jié)：規(guī)律：規(guī)律：分配系數(shù)要計算；計算圍繞一個點；傳遞系數(shù)憑觀看；觀看只看桿遠(yuǎn)端。 在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分配系數(shù)得各桿近端截面的分配彎矩

12、；分配彎矩分別配系數(shù)得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別乘以傳遞系數(shù)等于各桿遠(yuǎn)端截面的傳遞彎矩乘以傳遞系數(shù)等于各桿遠(yuǎn)端截面的傳遞彎矩轉(zhuǎn)動剛度轉(zhuǎn)動剛度S與傳遞系數(shù)與傳遞系數(shù)C：回顧：回顧：力矩分配法的計算步驟：力矩分配法的計算步驟：1.由轉(zhuǎn)動剛度計算由轉(zhuǎn)動剛度計算分配系數(shù)分配系數(shù)：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算計算分配彎矩分配彎矩和和傳遞彎矩傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩：5.校核。（結(jié)點平衡）校核。（結(jié)點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平衡

13、，箭頭表示傳遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM 例例2、用力矩分配法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作、用力矩分配法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作M圖。圖。解：解：4 . 06 . 01、計算分配系數(shù)：、計算分配系數(shù)： BBASSBA4 . 0 iii23446 . 0 BC2、計算固端彎矩：、計算固端彎矩：60163 PlMgBC3、計算不平衡力矩：、計算不平衡力矩：分配系數(shù)分配系數(shù)gM固固端端彎彎矩矩060 0分配傳遞分配傳遞結(jié)點一次結(jié)點一次B1836 540 M桿桿端端彎彎矩矩1806 kN80EIBACEI2mkN 30m2m4m2圖M)(mkN 060 gBCMRB300 0BM由由：得

14、06030 R90 R90 R反號的不平衡力矩：反號的不平衡力矩：90368041 Pl7736186 用力矩分配法用力矩分配法計算圖示剛架各計算圖示剛架各桿端彎矩。桿端彎矩。15kN/m50kN4m4m3m2mACBDiAB=2iAC=1.5iAD=2解：基本結(jié)構(gòu)分配系數(shù)分配系數(shù)3 . 05 . 14242323AB3 . 05 . 1424235 . 14AC4 . 03 . 03 . 01AD固端彎矩和結(jié)點不平衡力矩RmkNMgAB30mkNMMgADgAC240mkNMgDA 36mkNMmkNMmkNMgDAgADgAB362430固端彎矩和結(jié)點不平衡力矩R mkN.M,mkN.Mm

15、kN.M,mkN.MM,mkN.MCAACDAADBAAB 90818344260228桿端彎矩+300-24+36MABMACMADMDAMCA R反號分配反號分配-1.8 -1.8-2.4-1.2-0.9-0.9+28.2 -1.8 -26.4+34.8RgADMgABMmkNR 6放松結(jié)點，計算分配彎矩和傳遞彎矩PABCDPABCD(1)在B，C加約束，施加荷載；PABCDPABCD(2)放松B約束C點不動，按一結(jié)點分配彎矩；(3)重新固定B（在當(dāng)前變形上）放松C按一結(jié)點分配彎矩；(4)重復(fù)(2),(3)直到接近平衡，將各步驟桿端彎矩疊加。RBRCRC RB+ RC8.3 8.3 多結(jié)點

16、力矩分配法多結(jié)點力矩分配法漸進(jìn)運(yùn)算漸進(jìn)運(yùn)算例例: 試?yán)L制連續(xù)梁的試?yán)L制連續(xù)梁的彎矩圖。彎矩圖。Ai=2i=1i=180kN160kN30kN/MBD分配系數(shù)分配系數(shù)固端彎矩固端彎矩B點一次分、傳點一次分、傳C點一次分、傳點一次分、傳B點二次分、傳點二次分、傳C點二次分、傳點二次分、傳B點三次分、傳點三次分、傳C點第三次分配點第三次分配疊加求桿端彎矩疊加求桿端彎矩0.6 0.40.5 0.590.0 -250.0250.0 -187.5112.50096.0 64.032.0-23.7-47.3-23.7-47.3014.2 9.54.8-1.2-2.4-1.2-2.400.70.50.3-0.

17、2-0.20200.9 -200.9237.4 -237.487.63m3m10m3m5mABCD120200.9375237.430087.6CM圖圖(kN.m)回顧：基本概念總結(jié)：回顧：基本概念總結(jié)：規(guī)律：規(guī)律：分配系數(shù)要計算；計算圍繞一個點；傳遞系數(shù)憑觀看；觀看只看桿遠(yuǎn)端。 在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分在結(jié)點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分配系數(shù)得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別配系數(shù)得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別乘以傳遞系數(shù)等于各桿遠(yuǎn)端截面的傳遞彎矩乘以傳遞系數(shù)等于各桿遠(yuǎn)端截面的傳遞彎矩轉(zhuǎn)動剛度轉(zhuǎn)動剛度S與傳遞系數(shù)與傳遞系數(shù)C：回顧：回顧：力矩分配法的計算步驟

18、：力矩分配法的計算步驟：1.由轉(zhuǎn)動剛度計算由轉(zhuǎn)動剛度計算分配系數(shù)分配系數(shù)：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算計算分配彎矩分配彎矩和和傳遞彎矩傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩：5.校核。（結(jié)點平衡）校核。（結(jié)點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM CB例例. .用力矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖，并用力矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖，并求求B支座反力支座反力。ABCD6m6m4m4mE

19、I=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 .04 .032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333M-6060 -100100分配與傳遞分配與傳遞-33.3-66.7-33.429.4 442214.7-14.7 -7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3 -41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M圖（圖（kNm）ABCD6m6m4m4mE

20、I=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M圖（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q圖（kN）計算支座反力:68.2=QBAQBC=56.4BYB=124.6lMMQQBAABABAB0 畫圖示連續(xù)梁的彎矩圖。20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常數(shù)（1）計算分配系數(shù) （各桿線剛度相同， 令i =1） 571. 0429. 01 ,429. 0343 :BCBAB 500. 0444 :CDCBC429. 0571. 01 ,571. 0344 :DFDCD20kN/m40kN40kN4m

21、4m4m4m1.2mABCDEF基本結(jié)構(gòu)解：40kNDEF48kNm（2）固端彎矩mkNMgBA40420812（3）列表計算20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常數(shù)常數(shù)基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)mkNMgEF482 . 140mkNMMgCDgDC2044081mkNMgDE24482120kN/m40kN40kNABCDEFEI=常數(shù)常數(shù)40-2020 24480 -11.4 -12.6-17.2 -22.8-25.1 -18.911 11-4.7 -6.3-4.7-6.3 -3.2 -3.2 3.2 3.21.6 1.622 22-0.7 -0.9 -0.5 -0

22、.5 -0.7-0.90.3 0.30.5 0.5-0.1 -0.2-0.2 -0.148017.3 -17.310.6 -10.60.4 -0.4480.434.510.617.331.3M(kNm)彎矩很小彎矩很小停止分配停止分配B,D一次分,傳C一次分,傳B,D二次分,傳C二次分,傳B,D三次分,傳C三次分,傳B，D四次分配力矩分配法小結(jié)：力矩分配法小結(jié)： 1 1）單結(jié)點力矩分配法得到精確解；多結(jié)點力矩分）單結(jié)點力矩分配法得到精確解；多結(jié)點力矩分配法得到漸近解。配法得到漸近解。 2 2）首先從結(jié)點不平衡力矩絕對值較大的結(jié)點開始。）首先從結(jié)點不平衡力矩絕對值較大的結(jié)點開始。 3 3）結(jié)點不

23、平衡力矩要變號分配。）結(jié)點不平衡力矩要變號分配。 4 4）結(jié)點不平衡力矩的計算：）結(jié)點不平衡力矩的計算：結(jié)點不平結(jié)點不平衡力矩衡力矩（第一輪第一結(jié)點）（第一輪第一結(jié)點）固端彎矩之和固端彎矩之和（第一輪第二、三（第一輪第二、三結(jié)點）結(jié)點）固端彎矩之和加傳遞彎矩固端彎矩之和加傳遞彎矩傳遞彎矩傳遞彎矩 （其它輪次各結(jié)點）（其它輪次各結(jié)點）總和等于附加剛臂上的約束力矩總和等于附加剛臂上的約束力矩5 5）不能同時放松相鄰結(jié)點（因定不出其轉(zhuǎn)動剛度和）不能同時放松相鄰結(jié)點（因定不出其轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)），但可以同時放松所有不相鄰的結(jié)點，傳遞系數(shù)），但可以同時放松所有不相鄰的結(jié)點，以加快收斂速度。以加快收斂速

24、度。力矩分配法小結(jié)：力矩分配法小結(jié)：例例 如下圖所示剛架，試作如下圖所示剛架，試作M圖。圖。(1)簡化簡化解：解：(3)計算分配系數(shù)計算分配系數(shù)(2)計算固端彎距計算固端彎距查表查表（4）分配、傳遞）分配、傳遞 （A-C-A-C-A次序）次序）（5）繪彎距圖）繪彎距圖時間： 周一原上課時間地點：3實410室填空題計算題作圖題時間：6月18日(星期三) 下午: 14:0015:35地點：3教102,103,104自帶：自帶：計算器、直尺、鉛筆和橡皮。計算器、直尺、鉛筆和橡皮。例 畫出圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。CABD2.5m2.5m5mi=1i=1i=3i=3P=80kNi=6i=6EABFi=140kN簡化結(jié)構(gòu)簡化結(jié)構(gòu)解法一：利用對稱性簡化結(jié)構(gòu)CABD81.218.818.86.36.36.36.3M(kNm)解法二：利用兩個對稱軸簡化結(jié)構(gòu)CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反對稱反對稱CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN對稱對稱+CABD80kN40kN40kNAGFi=220kNi=61/4結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反對稱反對稱1. 反對稱荷載解：AB12.5M1 (k