電大高等代數(shù)專題研究期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)(文本)小抄參考

1、好文檔,好知識(shí)（2008.06.26）高等代數(shù)專題研究期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)（文本）張進(jìn)軍：各位老師，同學(xué)，大家好。期末教學(xué)活動(dòng)開始了，歡迎大家一起探討學(xué)習(xí)過程的問題。關(guān)于期末考試本次期末考試從要求上說，沒有變化。依然保持半開卷形式。要求同學(xué)們注意復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和熟練掌握基本技能。什么是高等代數(shù)各位老師和同學(xué)，我這里先找出一些資料，希望在同學(xué)們復(fù)習(xí)之間提高對(duì)這門課的了解。第一篇資料就是“什么是高等代數(shù)”： 初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進(jìn)而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時(shí)

2、還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù)。 高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。 高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。 集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對(duì)象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也有很大的不

3、同了。高等代數(shù)發(fā)展第一階段第二篇資料是“高代發(fā)展簡史（一）”，內(nèi)容為： 代數(shù)學(xué)的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數(shù)學(xué)家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動(dòng)。 人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的緝古算經(jīng)就有敘述。到了十三世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他所著的數(shù)書九章這部書的“正負(fù)開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根的方法，也就是說，秦九韶那時(shí)候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由有意大利的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式卡當(dāng)公式。 在數(shù)學(xué)

4、史上，相傳這個(gè)公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(15011576)騙到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。 三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(15221560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個(gè)問題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的時(shí)間和精力，但一直持續(xù)了長達(dá)三個(gè)多世紀(jì)，都沒有解決。 到了十九世紀(jì)初，挪威的一位青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(18021829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。即這些方程的

5、根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。阿貝爾的這個(gè)證明不但比較難，而且也沒有回答每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。高等代數(shù)發(fā)展第二階段第三篇資料是“高等代數(shù)簡史（二）-五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的被證明”，內(nèi)容是： 五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國的一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時(shí)候，因?yàn)榉e極參加法國資產(chǎn)階級(jí)革命運(yùn)動(dòng)，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。 伽羅華在臨死前預(yù)料自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文

6、手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的。公開請(qǐng)求雅可比或高斯，不是對(duì)這些定理的正確性而是對(duì)這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對(duì)它們是有益的。” 伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在百科評(píng)論中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(18091882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學(xué)界推薦。 隨著時(shí)間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認(rèn)識(shí)。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學(xué)史上做出的貢獻(xiàn)，不僅是解決了幾個(gè)世紀(jì)以來一直沒有解決的高次方程的代數(shù)解的問題，更重要的是他在解決這個(gè)問題中提出了“

7、群”的概念，并由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。從此，代數(shù)學(xué)不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步的發(fā)展。在數(shù)學(xué)大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學(xué)思想?yún)s是光輝奪目的。高等代數(shù)的基本內(nèi)容下面的資料是描述了高等代數(shù)研究的基本內(nèi)容： 代數(shù)學(xué)從高等代數(shù)總的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨(dú)立分支的一個(gè)大的數(shù)學(xué)科目，比如：多項(xiàng)式代數(shù)、線性代數(shù)等。代數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也已不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對(duì)于這些對(duì)象，都可以進(jìn)行運(yùn)算。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不

8、再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括為研究帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。比如群、環(huán)、域等。 多項(xiàng)式是一類最常見、最簡單的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛。多項(xiàng)式理論是以代數(shù)方程的根的計(jì)算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項(xiàng)式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。 多項(xiàng)式代數(shù)所研究的內(nèi)容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項(xiàng)式的整除性質(zhì)對(duì)于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn)，零點(diǎn)不存在的時(shí)候，所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。同學(xué)們都知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數(shù)就叫做線性代數(shù)

9、。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。 行列式的概念最早是由*世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做解伏題之法的著作，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對(duì)行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨。德國數(shù)學(xué)家雅可比于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。 行列式有一定的計(jì)算規(guī)則，利用行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個(gè)數(shù)。 因?yàn)樾辛惺揭笮袛?shù)等于列數(shù)，排成的表總是正方形的，通過對(duì)它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也

10、是由數(shù)排成行和列的數(shù)表，可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等。 矩陣和行列式是兩個(gè)完全不同的概念，行列式代表著一個(gè)數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個(gè)工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量；這樣對(duì)于一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。 代數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對(duì)于這些對(duì)象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算

11、的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對(duì)稱性規(guī)律的有力工具?，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。高等代數(shù)與其他學(xué)科的關(guān)系在學(xué)習(xí)高等代數(shù)課程時(shí)，同學(xué)們也應(yīng)該從了解其與其他學(xué)科的關(guān)系入手，這樣學(xué)習(xí)才能做到貫通知識(shí)的鏈接，對(duì)學(xué)習(xí)起到有益的作用。 代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的發(fā)生和發(fā)展，基本上都是圍繞著這三大學(xué)科進(jìn)行的。那么代數(shù)學(xué)與另兩門學(xué)科的區(qū)別在哪兒呢？ 首先，代數(shù)運(yùn)算是有限次的，而且缺乏連續(xù)性的概念，也就是說，代數(shù)學(xué)主要是關(guān)于離散性的。

12、盡管在現(xiàn)實(shí)中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證的統(tǒng)一的，但是為了認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)，有時(shí)候需要把它分成幾個(gè)部分，然后分別地研究認(rèn)識(shí)，在綜合起來，就得到對(duì)現(xiàn)實(shí)的總的認(rèn)識(shí)。這是我們認(rèn)識(shí)事物的簡單但是科學(xué)的重要手段，也是代數(shù)學(xué)的基本思想和方法。代數(shù)學(xué)注意到離散關(guān)系，并不能說明這時(shí)它的缺點(diǎn)，時(shí)間已經(jīng)多次、多方位的證明了代數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是有效的。 其次，代數(shù)學(xué)除了對(duì)物理、化學(xué)等科學(xué)有直接的實(shí)踐意義外，就數(shù)學(xué)本身來說，代數(shù)學(xué)也占有重要的地位。代數(shù)學(xué)中發(fā)生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數(shù)學(xué)的許多分支，成為眾多學(xué)科的共同基礎(chǔ)。我們這門課程的內(nèi)容雖然高等代數(shù)的內(nèi)容很多，但在我們的課程中，主要選擇了集合論、不等式理論、多項(xiàng)式理論、

13、組合論、伽羅華理論中的主要內(nèi)容。這些內(nèi)容都是中學(xué)的代數(shù)教學(xué)中重要的理論依據(jù)。關(guān)鍵點(diǎn)前四章中的內(nèi)容為考試內(nèi)容，要求及題型可以參照上次輔導(dǎo)內(nèi)容。模擬題目一、單項(xiàng)選擇題1. 令q是正有理數(shù)集，若規(guī)定，則( ) (a) 是代數(shù)運(yùn)算且滿足結(jié)合律 (b) 是代數(shù)運(yùn)算，但不滿足結(jié)合律 (c) 不是q上的代數(shù)運(yùn)算 (d) (a),(b),(c)都不對(duì)2. 域f有無窮多個(gè)元素，域f上的多項(xiàng)式，則( ) (a) f(x)在域f上至少有一個(gè)根 (b) f(x)在域f上最多有n個(gè)根 (c) f(x)在域f上沒有根 (d) f(x)在域f上恰有n個(gè)根3. 虛數(shù)是有理數(shù)域上的( )(a) 代數(shù)元 (b) 超越元 (c)

14、可逆元 (d) 既約元4.若dn表示n個(gè)數(shù)碼的擾亂排列總數(shù)，則dn( ) (a) dn1+dn2 (b) ndn1 (c) (n1)(dn1+dn2) (d) n (dn1+dn2)5. 整系數(shù)多項(xiàng)式的有理數(shù)根，(p,q)=1，則( ) (a) pan，qan (b) pa0，qa0 (c) pan，qa0 (d) pa0，qan二、填空題6. 自然數(shù)a與b的加法定義所滿足的兩個(gè)條件是 7. 函數(shù)f(x)是上凸函數(shù)的定義為 8. 整環(huán)r中的元素p是r中的不可約元素，則pq，p不是可逆元，由p=ab 9. 由5個(gè)元素取7個(gè)的可重復(fù)組合數(shù)是 10.整數(shù)環(huán)z上的多項(xiàng)式為本原多項(xiàng)式，則 (an,an1

15、,a1,a0) 三、簡述題11. 試給出一個(gè)從整數(shù)集z到自然數(shù)集n的的單映射，但不是滿映射12. 試給出一個(gè)從整數(shù)集z到自然數(shù)集n的的雙射三、計(jì)算題13. 設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且xyz=10，求2x+3y+4z的極小值14. 求(x+y+z)6展開合并同類項(xiàng)后共有多少項(xiàng)，并指出項(xiàng)x2y3z的系數(shù)15. 求從1到2 000的自然數(shù)中能被5或7或11整除的自然數(shù)個(gè)數(shù)16. 從n個(gè)數(shù)碼1,2,n中取k()個(gè)數(shù)碼，但不允許取兩個(gè)連續(xù)數(shù)碼(如1，2不能連續(xù)取)，求共有多少種取法四、證明題17. 設(shè)z，證明集合r對(duì)于普通數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)整環(huán)18. 利用反歸納法證明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于這n

16、個(gè)正數(shù)的幾何平均值，即r)高等代數(shù)專題研究試題解答 一、單項(xiàng)選擇題1. b2. b3. a4. c5.c二、填空題6. a+1=a；a+b=(a+b)7. q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8. a為可逆元或b為可逆元9. 10. 1三、簡述題11. 如 (nn)，(不惟一) 12. 如 (nn)，(不惟一)四、計(jì)算題13. 因?yàn)閤，y，z0，所以 所以2x+3y+4z的極小值是 14. 共有；x2y3z系數(shù)為 15. 設(shè)a能被5整除的自然數(shù)，b能被7整除的自然數(shù) c能被11整除的自然數(shù)則，所以，400285181572736575116.

17、用f(n,k)該數(shù)，f(n,k)=f(n1,k)+f(n2,k1)，f(n,k)=參考原教材p152：定理5.1五、證明題17. 易知 r對(duì)于數(shù)的加法和乘法封閉，在r中有零元，即存在負(fù)元素，滿足結(jié)合律，且對(duì)滿足分配律存在,，總之，r是整環(huán)18. 當(dāng)n=2,4,8,2m時(shí)命題正確設(shè)命題對(duì)n=k時(shí)正確，即則，所以 ，即 因而 ，所以命題對(duì)一切自然數(shù)成立高等代數(shù)專題研究試題二 一、單項(xiàng)選擇題1. 集合a=1,2,3，則a的冪集p(a)= ( b ) (a) 3 (b) 23 (c) 32 (d) 332. 如果a2+b2+c2=1 ，則以下結(jié)論正確的是( a ) (a) (b) (c) ab+b+c

18、a (d) 3. 設(shè)r是整環(huán),a,b是r的任意元素，dr，使得( c )，則稱d是a,b的公因式(a) ad,bd (b) abd (c) da,db (d) dab4. 若f(x)是域f上的n次多項(xiàng)式，則f(x)在域f中( d ) (a) 至少有n個(gè)根 (b)恰好有n個(gè)根 (c) 可能有根，也可能無根 (d) 至多有n個(gè)根5. 設(shè)f(x)是多項(xiàng)式，則f(x)除以2x1的余式是( a ) (a) f() (b) f() (c) f(2) (d) f(2)二、填空題6. 給定自然數(shù)a,b，若存在一個(gè)數(shù)k，使得 a=b+k 則稱a大于b7. 不等式aba+b取等號(hào)的條件是 ab0 8. 將m個(gè)蘋果

19、(不可區(qū)分)放入m+1個(gè)盒子里，共有 種方法9. 模8的剩余環(huán)z8中可逆元素的個(gè)數(shù)有 4 個(gè) 10. 自然數(shù)e是有理數(shù)環(huán)上的 超越元三、簡述題11. 試給出一個(gè)從z到n的單射，但不是雙射的映射并說明理由解答：設(shè)f：zn，任給xz，f(x)=任給x1,x2z且x1x2，如果x1,x2均大于0，則f(x1)=2x1+3f(x2)=2x2+3；如果x1,x2均小于0，則f(x1)=2x1f(x2)=2x2；如果x1x20）次多項(xiàng)式至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根三、計(jì)算題13. 設(shè)五個(gè)數(shù)字上的置換，求st1解：， 14. 已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+6z=19，求2x2+y2+9z2的極小值解因?yàn)?92=(x

20、+2y+6z)2= (柯西不等式) 所以的極小值為192=30415. 求z6x中的多項(xiàng)式在z6中的全部根解：z6中的元素為， 逐一代入，可知全部根為 16. 求由2個(gè)0，3個(gè)1和3個(gè)2組成的八位數(shù)的個(gè)數(shù)解這是一個(gè)s=2a,3b,3c的全排列問題， 但是0不能作首位，而1或2為首位的八位數(shù)都是 故所求八位數(shù)共有210+210=420個(gè) 四、證明題17. 求證若域f只含有p個(gè)元素，則從函數(shù)論的觀點(diǎn)出發(fā)f上的不同多項(xiàng)式只有有限個(gè)證明域f上任意一個(gè)多項(xiàng)式都是ff的映射 但因?yàn)閒只有p個(gè)元素，因此ff的映射只有pp個(gè)，所以f上的多項(xiàng)式最多只有pp個(gè) 18. 證明：如果在邊長為1的等邊三角形內(nèi)任取10點(diǎn)

21、，則必有2個(gè)點(diǎn)，它們的距離不大于證明將等邊三角形的各邊三等分，過各邊的分點(diǎn)作直線平行相鄰邊，這些直線將等邊三角形均勻地分成9個(gè)全等的小等邊三角形，它們互補(bǔ)相交且并為原等邊三角形小等邊三角形的邊長為 在等邊三角形的內(nèi)部任取10個(gè)點(diǎn)，由抽屜原理，至少有2個(gè)點(diǎn)取自同一個(gè)小等邊三角形，該2點(diǎn)的距離小于或等于小等邊三角形的邊長結(jié)論得證 高等代數(shù)專題研究試題三 一、單項(xiàng)選擇題1.整環(huán)中素元素的定義為( d ) (a) pq，p不是可逆元素 (b)p不是可逆元素，也不是不可約元素 (c)pq且p不是可逆元素，由pabpa和pb (d)pq，p不是可逆元素，由pabpa或pb 2. 若a是無限集合，則( a

22、) (a) 存在一個(gè)a到a的真子集的單射 (b) 不存在由a到a的真子集的單射 (c)不一定存在由a到a的真子集的單射 (d) 可能存在由a到a的真子集的滿射3. 在剩余類環(huán)z8上的n次多項(xiàng)式則在z8內(nèi)( d ) (a) 最多有n個(gè)根 (b) 沒有根 (c) 恰好有n個(gè)根 (d) 不一定有n個(gè)根4. 若a+b=1，a0，b0，a0，b0,ab，則( b )(a) aa+bb=a+b (b) aa+bbaabb (c) aa+bb aabb (d) aa+bbaabb5. zx是( a ) (a) 因式分解惟一環(huán) (b) 主理想環(huán) (c) 剩余類環(huán) (d) (a),(b),(c)均不成立二、填空題6. 自然數(shù)ab的定義為 a=b+k 7. 從n個(gè)不同元素中取出n+1個(gè)元素的組合數(shù)是 (可重復(fù)組合)8. 5個(gè)數(shù)碼1,2,5的擾亂排列總數(shù)是 9. 是有理數(shù)域上的 代數(shù) 元 10. 舉出一個(gè)整環(huán)的例子，其中素元素不可約元素， (不惟