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文檔簡介

第五屆大學生數(shù)學競賽預賽試題一、（本題共4小題，每小題6分，共24分）解答下列各題1）求極限解：原式 2）證明廣義積分不絕對收斂。解：因為所以由比較判別法得發(fā)散。3）設函數(shù)由所確定，求的極值。解：兩邊關于求導得 當時，此時因為時，所以 是極大值，是極小值。4）過曲線上的點作切線，使該切線與曲線及所圍成的平面圖形的面積為，求點的坐標。解：任取曲線上一點，此點處曲線的切線方程為當時， 點坐標為。二、（本題12分）計算定積分。解： 三、（本題12分）設在處存在二階導數(shù)，且，證明：級數(shù)收斂。證明：因為，所以級數(shù)收斂，由比較判別法得級數(shù)收斂。四、（本題10分）設，證明：。證明：因為，所以存在反函數(shù)，設其反函數(shù)為。五、（本題14分）設是光滑封閉曲面，方向朝外，給定第二型曲面積分試確定曲面，使得積分取值最小，并求最小值。解：利用高斯公式 要使最小，則有，即為橢球面，此時 六、（本題14分）設，其中為常數(shù)，曲線為橢圓，取正向，求極限。解：曲線的參數(shù)方程為，從0變到當時，當時，當時，是常數(shù)，并且曲線積分與路徑無關。七、（本題14分）判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。解：設級數(shù)的前項的和

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