曲率及其計(jì)算公式-高數(shù)中曲率的計(jì)算公式

1、2021/6/161 39 曲曲 率率一、弧微分弧微分二、曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的計(jì)算公式曲率圓曲率半徑2021/6/162一、弧微分一、弧微分 s 的絕對(duì)值等于這弧段的長度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s0，相反時(shí)s0 xyOM0 x0Mxs0,dxds21y21ydx2021/6/165 ) jM1M2N1N2 觀察曲線的彎曲線程度與切線的關(guān)系：二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式 可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段的平均彎曲程度，2021/6/166M0MM DsDa xyOa+Da)a

2、)sC 設(shè)曲線C是光滑的，曲線 線C上從點(diǎn)M 到點(diǎn)M 的弧為Ds ，切線的轉(zhuǎn)角為Da 平均曲率：曲率：sKDDa我們稱為弧段 的平均曲率MM）sKsDDDa0lim 我們稱為曲線C在點(diǎn)M處的曲率 在 存在的條件下dsdssaaDDD0limdsdKa2021/6/167曲率的計(jì)算公式： 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是yf(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)于是從而，有因?yàn)閠an a y ，所以dsdKasec 2a dxday， dxdaa2tan1 y21yy dxdaa2tan1 y21yy ， da 21yy dx又知 ds21ydx K232)1 (|yy 2021/6/168 例1 計(jì)算等雙曲線x

3、 y 1在點(diǎn)(1，1)處的曲率解因此，y|x11，y|x12曲線x y 1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為x1由y ，得 y21x，y21x，y32x K232)1 (|yy 232) 1(1 (22221232)1 (|yy 232) 1(1 (22221232)1 (|yy 232) 1(1 (22221 K232)1 (|yy 2021/6/169 例2 拋物線yax2bxc 上哪一點(diǎn)處的曲率最大？ 解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，代入曲率公式，得要使K 最大，只須2axb0，拋物線的頂點(diǎn)因此，拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大，最大曲率為K|2a| K232)1 (|yy K232)1

4、 (|yy 232)2(1 |2|baxa即xab2而xab2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2021/6/1610 2若曲線由參數(shù)方程給出，那么曲率如何計(jì)算？ 1直線上任一點(diǎn)的曲率等于什么？討論： 提示：設(shè)直線方程為y=ax+b，則y =a， y = 0于是)()(tytxj.0)1 (|232 yyK 提示：2322)()(| )()()()(|ttttttKjjj 2021/6/1611 曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K 0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑 r 有如下關(guān)系：曲線在M點(diǎn)的曲率中心三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑M y=f(x)xyOD r曲線在M點(diǎn)的曲率半徑曲線在M點(diǎn)的曲率圓 r K1， K r1|DM|K1r 2021/6/1612 例3 設(shè)工件表面的截線為拋物線y04x 2現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？42O2xy y=04 x22021/6/1613 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑 例3 設(shè)工件表面的截線為拋物線y04x 2現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？y08x ，y08，y|x00，y|x008拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為所以選用砂輪的半徑不得超過125單位長，即直徑不得超過250單位長08把它