春人教高中數(shù)學(xué)必修五時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例——高角問題PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1春人教高中數(shù)學(xué)必修五時(shí)解三角形的實(shí)春人教高中數(shù)學(xué)必修五時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例際應(yīng)用舉例高角問題高角問題1.現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？?頁/共35頁今天我們就來共同探討這些方面的問題.2.在實(shí)際的航海生活中,人們也會(huì)遇到如下的問題：在浩瀚的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？第2頁/共35頁1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問題. (重點(diǎn))2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題.(難點(diǎn))3.分清仰角、俯

2、角、方向角、方位角和視角及坡度、經(jīng)緯度等概念.第3頁/共35頁探究點(diǎn)1 測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度例1 AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法.【解題關(guān)鍵】如圖，求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在 ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長.第4頁/共35頁【解析】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是,CD=a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h =

3、ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）第5頁/共35頁 如圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A0處，設(shè)連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄自CB0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離AA0）（精確到1mm）.【變式練習(xí)】第6頁/共35頁【解題關(guān)鍵】此題可轉(zhuǎn)化為“已知在ABC中，BC85 mm，AB340 mm，ACB80，求AA0 ” 【解析】如圖,在ABC中，由

4、正弦定理可得：為為為為銳銳 0.2462.0.2462.因因BC AB,所BC AB,所以以BAC角BAC角，所所以以BAC14BAC141515BCsinACBBCsinACBsinBAC =sinBAC =ABAB8585sin80sin80 = =340340， - （- （BAC+ABAC+A所所以以CB）CB） 8585B =18B =1845450.0.第7頁/共35頁又由正弦定理：答：活塞移動(dòng)的距離約為81 mm 00340 sin85sin8034544.3 BsinBsinA =A =ABABC CsinsinACBACB= =（mmmm）. .A A（340+85340+8

5、5）-344-344A=A C-ACA=A C-AC= =（AB+BCAB+BC） - -. .A A3 3= =C C80.780.7（mmmm）第8頁/共35頁例2 如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角 =5440，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=501 ,已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m). 據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？【解題關(guān)鍵】若在ABD中求BD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？那又如何求BD邊呢？第9頁/共35頁【解析】在ABC中，BCA=90+,ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，BCABBCAB=，=，sin（sin（-） s

6、in（sin（9090）BCsin（BCsin（9090）BCcosBCcos所所以以AB =AB =sin（sin（-）sin（sin（-）解解RtRtABD，ABD，得得BCcBCc + + + +osossinsinBD = ABsinBD = ABsinBAD =.BAD =.sin（sin（-）第10頁/共35頁答：山的高度約為150米.把測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得CD=BD-BC177.4-27.3150(m).sin54sin50sin54si140401140177.439n 27.35027.350= =27.35027.350coscosBDBD（5454）coscos= =4

7、4（m m）第11頁/共35頁【互動(dòng)探究】有沒有別的解題思路呢？先在ABC中，根據(jù)正弦定理求得AC.再在ACD中求CD即可.第12頁/共35頁B 【變式練習(xí)】第13頁/共35頁例3 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上,行駛5 km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北25的方向上,仰角為8,求此山的高CD(精確到1 m).第14頁/共35頁【解析】在ABC中，A=15, C= 25-15=10.根據(jù)正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81 047(m).答：山的高約為1 047米.正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型si7.452 4n5sin15si

8、nsin10ABAB= =，ACACABAABABC=BC=C C （kmkm）BCBCsinsinsinsin第15頁/共35頁【變式練習(xí)】100 6第16頁/共35頁第17頁/共35頁例4 如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行的距離是多少?(角度精確到0.1,距離精確到0.01 n mile)探究點(diǎn)2 測(cè)量角度問題第18頁/共35頁【解題關(guān)鍵】首先求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦

9、定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB.第19頁/共35頁【解析】在 ABC中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理,sinBCBCsinsinsinsinACAC= =，CABABCCABABCBCABCBCABCsin CAB=sin CAB=ACAC22222cos67.554.02 67.5 54.0 cos137113.15 AC= ABBCABBCABCAC= ABBCABBCABC= =，第20頁/共35頁 0.325 5，0.325 5，所所以以，CAB =19.0CAB =19.054.0si54.0si，7575 -n137n137= =1 1CAB =56C

10、AB =5613.1513.15.0.0. .此此船船沿沿北北偏偏56.056.0的的方方向向航航行行，需需要要航航行行113.15n m l113.15n m l答答e.e.：i i應(yīng)應(yīng)該該東東第21頁/共35頁【解析】如圖，在ABC中，由余弦定理得： 我艦在敵島A南偏西50的方向上，且與敵島A相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島A沿北偏西10的方向以10海里/小時(shí)的速度航行問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？(精確到1）ACB405010【變式練習(xí)】第22頁/共35頁所以我艦的追擊速度為14海里/小時(shí).2222222222BC = AC +AB -2ABBC = AC +

11、AB -2ABACACcoscosBACBAC1 1 = 20 +12 -2 = 20 +12 -2 12122020 （- ）- ）2 2 =784， =784，所所以以BC = 28.BC = 28.第23頁/共35頁答：我艦需以14海里/小時(shí)的速度，沿北偏東12方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦.ABCACBCsinBsinAACsinA5 3si3850 -3812nBBC14B.又在中，由正弦定理得：，故，所故航行的方向?yàn)楸逼珫|以 第24頁/共35頁C 第25頁/共35頁B 第26頁/共35頁7第27頁/共35頁第28頁/共35頁4.3.5 m長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足1.2

12、m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤對(duì)地面的傾斜角. (精確到0.01）第29頁/共35頁答：堤對(duì)地面的傾斜角為63.77.鈍鈍鈍鈍為為【解解析析】222222 -. .由由余余弦弦定定理理得得，1.2 +2.8 -3.51.2 +2.8 -3.5cos（cos（180180 -） = =221.21.22.82.8 -0.442. -0.442.所所以以 棒 棒、石石堤堤及及地地面面構(gòu)構(gòu)成成一一角角三三角角形形，其其角角大大小小1 1coscos=0.442，=0.442，所所以以 6 680803.773.77第30頁/共35頁1.利用正弦定理和余弦定理解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中加工、抽取主要因素，并進(jìn)行適當(dāng)簡化.