中值定理習(xí)題

1、二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三三章 作業(yè)：P163 7（1），10，13（1） 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxx

2、fxfxfnnnxxxf)(00)(!10n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 有關(guān)中值問題的解題方法有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理羅爾定理,可考慮用柯西中值定理柯西中值定理 .必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用中值定理中值定理 .

3、(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)適當(dāng)放大放大或縮小縮小的技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理對導(dǎo)數(shù)用中值定理 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)函數(shù)在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(Mxf證明在)(xf),(ba內(nèi)有界. 證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對xxxf,)(0在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定數(shù))可見對任意, ),(bax,)(

4、Kxf即得所證 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)在)(xf 1 ,0內(nèi)可導(dǎo), 且,0) 1 (f證明至少存在一點(diǎn))(f, ) 1 ,0(使上連續(xù), 在) 1 ,0()(f證證: 問題轉(zhuǎn)化為證. 0)()(ff設(shè)輔助函數(shù))()(xxfx 顯然)(x在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 故至, ) 1 ,0(使0)()()(ff即有)(f)(f少存在一點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P126 題8)(P165 例4)例例3.,)(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf且,0ba 試證存在).(2)(fbaf使, ),(,ba證證: 欲證,2)()(fbaf因 f ( x

5、 ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf將代入 , 化簡得故有),(2)(fbaf),(,ba即要證.2)()(22fababf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P166 例8)例例4. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一個實(shí)根 .010nnxaxaa證證: 令,)(10nnxaxaaxF則可設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上連續(xù)在顯然xF且)0(F由羅爾定理知存在一點(diǎn),

6、) 1 ,0(使,0)(F即.10010內(nèi)至少有一個實(shí)根），（在nnxaxaa機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,) 1,0(內(nèi)可導(dǎo)在,0) 1 (F( )f x( , )a b( )fx( , ( ),( , ( )A a f aB b f b( )yf x( ,( )C c f c,acb( , )a b , a b在上連續(xù),在內(nèi)連接兩點(diǎn)的直線交曲線于,且試證至少存在一點(diǎn)使( )0.f提示提示:如圖所示,有1212( )( )( )() ( , ),( , )f bf affbaa cc b( )fx對在12 , 上應(yīng)用Rolle定理得12CacbAB（ P165 例例3 ）例例5. 已

7、知 存在,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )0f二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) 2. 解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ln)1ln()()(1xxxfxf例例6. 證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時,0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得例例7. 證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證