最新2冪級數(shù)匯總

1、2冪級數(shù)精品資料2募級數(shù)【考試要求】1. 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的 概念.2. 理解募級數(shù)收斂半徑的概念，掌握哥 級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法 .3. 了解募級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性 質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分）,會求一些哥級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會 由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.4. 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要 條件.5. 掌握？skip record if.?, ?skiprecord if.?, ?skip record if.?,?skip record if.?及？skip record if.的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù) 間接展開為

2、哥級數(shù).一、基本概念1 .函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱？skip record if.?（其中?skiprecord if.?定義于數(shù)集？skip recordif.?上）為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，稱？skip recordif.?為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和.2 .收斂與發(fā)散若？skip record if.?存在？skiprecord if.?,貝（j稱？skip record if.?級數(shù)？skip record if.?的收斂點(diǎn)，否則稱?skip record if.?為發(fā)散點(diǎn).稱級數(shù)？skiprecord if.?收斂點(diǎn)的全體為該級數(shù)的收斂域？skip record if.?.若收斂域是一個區(qū)間，則稱此區(qū)間為收斂區(qū)間，

3、稱 ？skip record if.?為級數(shù)？skip record if.?的和函數(shù)，其定義域?yàn)榧墧?shù)的收斂域？skip record if.?,記作？skip record if.?, ?skiprecord if.?.3 .募級數(shù)稱？skip record if.?或？skip recordif.?為哥級數(shù).4 .泰勒級數(shù)若？skip record if.?在點(diǎn)?skiprecord if.?的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱?skip record if.?為函數(shù)？skip record if.?的泰勒級數(shù).當(dāng)？skip record if.?時，稱?skip record if.?僅供學(xué)習(xí)

4、與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝187精品資料為函數(shù)？skip record if.?的麥克勞林級數(shù).二、重要結(jié)論1 .募級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)（阿貝爾定理）若？skip record if.?在？skip recordif.?收斂，則當(dāng)？skip record if.?時級數(shù)?skip record if.?絕對收斂；若？skiprecord if.?在？skip record if.?發(fā)散，則當(dāng)？skip record if.?時級數(shù)？skip recordif.?也發(fā)散.2 .收斂半徑若？skip record if.?不僅僅在？skiprecord if.?一點(diǎn)收斂，也不在整個數(shù)軸上處處

5、收斂，則存在惟一的實(shí)數(shù)？skip record if. ?,使該級數(shù)在？skip record if.?內(nèi)絕對收斂；在？skip record if.?外處處發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?時可能收斂也可能發(fā)散，此時稱？skip record if.?為募級數(shù)？skip record if.?的收斂半徑，并且?skip record if.?，其中？skip recordif.?.規(guī)定當(dāng)？skip record if.?時，？skiprecord if.?;當(dāng)？skip record if.?時，?skip record if.?.3 .哥級數(shù)的性質(zhì)設(shè)？skip record if.

6、?的收斂半徑為?skip record if.?,和函數(shù)為?skiprecord if.?, ?skip record if.?的收斂半徑為？skip record if.?,則(1) ?skip record if.?在收斂域內(nèi)連續(xù).(2) ?skip record if.?skip record if.?.(3) ?skip record if.?skip record if.?(4) ?skip record if. ?skip recordif. ?skip record if. ?=?skip record if.?其中？skip record if.?在？skip recordif

7、.?與？skip record if.?中較小的區(qū)間內(nèi)取值.(5) ?skip record if.?skip recordif.?=?skip record if.?其中？skip record if.?在？skiprecord if.?與？skip record if.?中較/、的區(qū)間內(nèi)取值.4 .泰勒收斂定理設(shè)？skip record if.?在？skip recordif. ？內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則？skip record if.？,即?skip record if.的充要條件是？skip record if.其中？skip record if.?(?skip record if.?在？s

8、kip recordif.?與？skip record if.?之間).此時也稱將函數(shù)？skip record if.?了泰勒級數(shù)（即將？skip record if.?展開了募級數(shù)）.注1 ?skip record if.?的泰勒級數(shù)與泰勒展開式是兩個不同的概念注2 將？skip record if.?展為泰金級數(shù)主要有直接法和間接法兩種.5 .幾個常用函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式?skip record if.?skip record ?skip record ?skip record ?skip record ?skip recordf.f.f. f. f.入典型例題題型1求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂

9、域例求下列各級數(shù)的收斂域：(1) ?skip record if.?;解？skip record if.?skip record if.?當(dāng)？skip recordif.?時？skip record if.?,級數(shù)發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?時？skip recordif. ?,級數(shù)發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?時？skip recordif. ?,級數(shù)收斂，故級數(shù)的收斂域?yàn)?？skip record if.(2) ?skip record if.?.解?skip record if.?skip record if.?當(dāng)？skip recordif.?,即？skip r

10、ecord if.?時，亦即當(dāng)？skip record if.?時級數(shù)收斂；當(dāng)？skip record if.?，即?skip recordif. ?時，利用萊布尼茨判別法知級數(shù)在?skip record if.?處收斂,在？skiprecord if.?處發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?,即？skiprecord if. ?skip record if.?時，級數(shù)發(fā)散.故級數(shù)的收斂域?yàn)?？skip record if.?.題型2求募級數(shù)的收斂半徑和收斂域例1求下列各募級數(shù)的收斂域：(1) ?skip record if.?;解 ？skip record if.?且當(dāng)？skip rec

11、ord if.?時，?skip record if.?由比值法可知 ？skip record if.?收斂，而？skip record if.當(dāng)？skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.?時，?收斂,?原級數(shù)的收斂域?yàn)?；j(2) ?skip record if.解 ？skip record if.?且當(dāng)？skip record if.?時，？skiprecord if.?skip record if.?級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?？skip record if.?(3) ?skip re

12、cord if.?;解此級數(shù)缺少偶次募項(xiàng)，不能直接用公 式求收斂半徑，用根值法求解.?skip record if.?僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝201精品資料?skip record if.?當(dāng)？skip recordif. ?skip record if.?,即？skiprecord if.?時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)？skip record if. ?skip record if. ?,即？skip record if.?時，級數(shù)?skip record if.?或？skip record if.收斂；當(dāng)？skip record if. ?skip record if.?,即？

13、skip record if.?時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂域?yàn)椋縮kip record if.?(4) ?skip record if.?;解 此級數(shù)缺少奇數(shù)次募項(xiàng)，不能直接 使用公式求收斂半徑.利用根值法得?skip record if.?當(dāng)？skip record if.?,即？skiprecord if.?時，亦即？skip record if.時級數(shù)絕對收斂；當(dāng)？skip record if.?時，原級數(shù)為?skip record if.?,因?yàn)?？skip recordif. ?所以級數(shù)發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?時，原級數(shù)為?skip record if.?,因?yàn)?？sk

14、ip recordif. ?所以級數(shù)發(fā)散；當(dāng)？skip record if.?時，即？skiprecord if.?時級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?？skip record if.?僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝205精品資料(5) ?skip record if.?.解 令？skip record if.?則原級數(shù)成為？skip record if.?,當(dāng)？skip recordif. ?,即當(dāng)？skip record if.?時級數(shù)發(fā)散，所以當(dāng)？skip record if.?時，即當(dāng)？skiprecord if.?時級數(shù)收斂.題型3求募級數(shù)的和函數(shù)及數(shù)項(xiàng)級數(shù)的 和例1求下列各

15、募級數(shù)的和函數(shù)：(1) ?skip record if.?;解令?skip record if.?貝(j?skip record if.?skip record if.?skip record if.?在？skip recordif.?內(nèi)連續(xù)，?skip record if.?skip recordif.?skip record if.?(2) ?skip record if.?;解令?skip record if.?則?skip record if.?當(dāng)？skip record if.?時，？skiprecord if.?skip record if.?在？skip recordif. ?連

16、續(xù)?skip record if.?skip record if.?(3) ?skip record if.?解？skip record if.?skip record if.?skip record if.?例2求下列各級數(shù)的和：(1) ?skip record if.?;解令？skip record if.?收斂半徑?skip record if.? ?skip record if.?5貝 fj?skip record if.?skip recordif.?,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝209精品資料于是？skip record if.?當(dāng)？skip record if.?時

17、，？skiprecord if.?(2) ?skip record if.?;解令？skip record if.?收斂半徑？skip record if.? ?skiprecord if.?貝 fj?skip record if.?于是？skip recordif.?當(dāng)？skip record if.?時，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝207精品資料?skip record if.?(3) ?skip record if.?.解因?yàn)楫?dāng)？skip record if.?時，?skip record if.?,所以?skip record if. ?skip recordif.?令？

18、skip record if.? 得 ？skiprecord if.?例3 設(shè)募級數(shù)？skip record if.?在?skip record if.?內(nèi)收斂，其和函數(shù)？skiprecord if.?滿足？skip recordif. ?skip record if.record if.?(n )求？skip record if.解(i )?skip record if.? ( i )證明？skip?的表達(dá)式.?skip recordif.?而?skip record if. ?skip record if.?skip record if. ?skip record if. ?skip re

19、cord if.?又？skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?(n ) ?skip record if. ?skip recordif.?skip record if.?skip record if. ?skip recordif.?由歸納法可得 ？skip record if.?skip record if.?題型4討論募級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)例1 已知級數(shù)？skip record if.?在?skip record if.?處收斂，討論級數(shù)？skiprecord if.?在？skip record if.?處

20、的斂散性.解由阿貝爾定理，對一切滿足？skip record if.?的？skip record if.?均使?skip record if.?絕對收斂，而？skiprecord if.?與？skip record if.?有相同的系數(shù)，即兩者的收斂半徑相同，因此對一切 滿足？skip record if.?的？skip recordif.?均使？skip record if.?絕對收斂，而?skip record if.?不滿足？skip recordif.?, ?skip record if.?滿足？skiprecord if.?,所以級數(shù)？skip recordif.?在?skip record if.?處的斂散性不能確定，而在？skip record if.?是絕對收斂的.例 2 設(shè)？skip record if.?在？skiprecord if. ?處收斂，討論該級數(shù)在？skip record if. ?處的斂散性.解同上例可知該級數(shù)在？skip record if.?處絕對收斂.例 3 設(shè)？skip record if.?在？skiprecord if.?處收斂，討論？skip recordif.?在?skip record if.?處的斂散性.解由阿貝