麥克斯韋速率分布律的推導(dǎo)與驗(yàn)證

熱學(xué)研究（論文）-PAGE1- 麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證摘要：本文對(duì)麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容及其歷史來歷做了簡(jiǎn)略概述，重點(diǎn)是用初等方法推導(dǎo)了麥克斯韋速度分布律，同時(shí)簡(jiǎn)單地描述了一下它的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：速度分布函數(shù)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。內(nèi)容麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時(shí)，氣體分子的速度在間隔內(nèi)，及分子速度分量在，，間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率為：，其中m為分子的質(zhì)量，T為氣體溫度，k為波爾茲曼常數(shù)，為氣體分子平動(dòng)能。表示速度矢量的端點(diǎn)在速度體元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，換言之，一個(gè)分子取得間隔內(nèi)速度的幾率。分子速度分布函數(shù)的物理意義是：分子速度在v附近，單位時(shí)間間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)麥克斯韋速率分布律將以為軸的笛氏坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換，變?yōu)榍蜃鴺?biāo)分子速度在，內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為對(duì)，積分，得分子的速度在內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為分子速率分布函數(shù)物理意義:分子速率在v附近，單位速率間隔內(nèi)的幾率。歷史1859年4月，麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關(guān)于平均自由路程的那篇論文，很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運(yùn)用概率理論的信念，認(rèn)為可以用所掌握的概率理論對(duì)動(dòng)理論進(jìn)行更全面的論證。1859年麥克斯韋寫了《氣體動(dòng)力理論的說明》一文。接著他用概率方法找出粒子速度在某一限值內(nèi)的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導(dǎo)受到了克勞修斯的批評(píng)，也引起了其他物理學(xué)家的懷疑。這是因?yàn)樗谕茖?dǎo)中把速度分解為x，y和z三個(gè)分量，并假設(shè)他們相互獨(dú)立的分布。直到1866年，麥克斯韋對(duì)氣體分子運(yùn)動(dòng)理論做了進(jìn)一步的研究以后，他寫了《氣體的動(dòng)力理論》的長(zhǎng)篇論文，討論氣體的輸運(yùn)過程。其中有一段是關(guān)于速度分布律的嚴(yán)格推導(dǎo)，這一推導(dǎo)不再有“速度三個(gè)分量的分布相互獨(dú)立”的假設(shè)，也得出了上述速度分布律。它不依賴于任何假設(shè)，因而結(jié)論是普遍的。麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)設(shè)容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N，分子速度在x，y，則代入（7）式有得代入（6）式有（8）通常說的速率分函數(shù)，f（u）指的是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點(diǎn)的分布，在這種情況下，自然應(yīng)該用球坐標(biāo)系表示速度區(qū)間則可得：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在麥克斯韋從理論推導(dǎo)速度分布律后的近半個(gè)世紀(jì)，由于當(dāng)時(shí)的技術(shù)條件，主要是高真空技術(shù)和測(cè)量技術(shù)的限制，要從實(shí)驗(yàn)上來驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到1920年，英國(guó)物理學(xué)家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實(shí)驗(yàn)技術(shù)曾經(jīng)有許多物理工作者做了進(jìn)一步的改進(jìn)，但直到1955年才由哥倫比亞大學(xué)的密勒和庫(kù)士提出了這個(gè)定律的高精確的實(shí)驗(yàn)證明。實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)介（1）、o為分子或原子射線源（2）、R是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細(xì)槽，細(xì)槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角（3）、D是根據(jù)電離計(jì)原理制成的檢測(cè)器，用來接收原子射線，并測(cè)定其強(qiáng)度（4）、整個(gè)裝置都放在抽成真空的容器內(nèi)2、實(shí)驗(yàn)原理實(shí)驗(yàn)時(shí)，圓柱體R以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，由于不同的速率的分子通過細(xì)槽所需的時(shí)間不同，各種速率的分子射入入口狹縫后，只有速率嚴(yán)格限定的分子才能通過這些細(xì)槽，而不和細(xì)槽壁碰撞。分子沿細(xì)槽前進(jìn)所需的時(shí)間為，從而有只有速率滿足上述關(guān)系的分子才能通過細(xì)槽，其它速率的分子將沉積在細(xì)槽的內(nèi)壁上。因此旋轉(zhuǎn)主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度，就可以使不同的分子通過。3、實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果改變圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，依次測(cè)定相應(yīng)分子射線的強(qiáng)度，就可以確定分子射線的速率分布情況。試驗(yàn)表明，射線強(qiáng)度確為速率的函數(shù)，強(qiáng)度大，表明分布在該速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實(shí)驗(yàn)還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率不同，多次實(shí)驗(yàn)得到同一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實(shí)存在一個(gè)恒定的分布律。1955年密勒與庫(kù)士測(cè)定了從加熱爐內(nèi)發(fā)射出來的鉈原子速率分布，實(shí)驗(yàn)溫度為1400K,并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)出了鉈原子速率分布的試驗(yàn)曲線（見下圖）。由試驗(yàn)曲線可知：（1）、值兩頭小，中間大，有一極大值（2）、可認(rèn)為大量原子（或分子）的速率是連續(xù)分布的，當(dāng)取得很小時(shí)，則有這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫(kù)士于1955年在實(shí)驗(yàn)上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律?？偨Y(jié)：應(yīng)用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關(guān)的函數(shù)的各種平均值；可以計(jì)算速率在內(nèi)的分子數(shù)；可以計(jì)算速率在有限間隔內(nèi)的分子數(shù)或者百分?jǐn)?shù)；也可以推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式、溫度公式、狀態(tài)方程及幾個(gè)實(shí)驗(yàn)定律；還可以推導(dǎo)能量均分定理。麥克斯韋速度分布律對(duì)于研究氣體無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)有重要意義，找到了微觀量求統(tǒng)計(jì)平均值的途徑，為氣體分子運(yùn)動(dòng)論奠定了基礎(chǔ)。參考文