同濟(jì)大學(xué)材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)課件2

1、一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對扭轉(zhuǎn)角）一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對扭轉(zhuǎn)角）PGITdxddxGITLP扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（radrad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角mrad二、二、 扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計算扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計算式扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計算式扭矩不變的等直軸PGITdxd各段扭矩為不同值的階梯軸 # 圖示階梯圓桿，如各段材料圖示階梯圓桿，如各段材料也不同，也不同，AB 兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角為：為： # 圖示等直圓桿受分布扭矩圖示等直圓桿受分布扭矩 t 作用，作用，t 的單位為的單位為 。

2、N m m 13nniiA BipiMlnG I T 從中取從中取 dx 段，段，dx 段兩相鄰截面段兩相鄰截面的扭轉(zhuǎn)角為：的扭轉(zhuǎn)角為： npMx dxdGI TAB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： nllpMx dxdGI T 從中取從中取 dx 段，該段相鄰兩截段，該段相鄰兩截面的扭轉(zhuǎn)角為：面的扭轉(zhuǎn)角為： # 圖示為變截面圓桿，圖示為變截面圓桿，A、B 兩端直徑分別為兩端直徑分別為 d1、d2 。 dxxGITdP)(AB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： dxxGITdLPL)(單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角mradPGITdxd 圓軸受扭時，除滿足強度條件外，還須滿足一定的

3、剛度要求。圓軸受扭時，除滿足強度條件外，還須滿足一定的剛度要求。通常是限制單位長度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值通常是限制單位長度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值圓軸受扭時剛度條件可寫作圓軸受扭時剛度條件可寫作 )(maxmaxmax）或（PPGITGIT 0maxmax180)(PGITm3 3、剛度條件應(yīng)用：、剛度條件應(yīng)用：1)1)、校核剛度、校核剛度； max max pGMIn3)3)、確定外荷載、確定外荷載: :2)2)、設(shè)計截面尺寸、設(shè)計截面尺寸: : maxpnGIMm三、三、 扭轉(zhuǎn)桿的剛度計算扭轉(zhuǎn)桿的剛度計算例例 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 32

4、0 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核軸的剛度校核軸的剛度解：1. 內(nèi)力、變形分析內(nèi)力、變形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033010171101.502-2-2- .2. 剛度校核剛度校核p111ddGITxp222ddGITx21 TT 因因p11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180

5、412-59max軸的剛度足夠已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核軸的剛度校核軸的剛度rad 101.50-2ABrad 101.17-2BC例例 試計算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角試計算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角解：解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( p 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶

6、m=20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應(yīng)力，許用剪應(yīng)力 =30 MPa，試設(shè)計桿的外徑；若，試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m，試校核，試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。解解：1.作扭矩圖作扭矩圖L-x)(20)()(xLxLmxT)(40220maxmNTTx40 116D max43TWp）（2.2.設(shè)計桿的外徑設(shè)計桿的外徑314max 116）（TDmaxpWT 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m =20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)

7、外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應(yīng)力，許用剪應(yīng)力 =30 MPa，試設(shè)計桿的外徑；若，試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。L-xTx40代入數(shù)值得：代入數(shù)值得： D 0.0226m。314max 116）（TD3. 3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT)1 (108018040324429D m/89. 1剛度足夠剛度足夠 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.

8、8，G=80 GPa，許用剪應(yīng)力，許用剪應(yīng)力 =30 MPa，試設(shè)計桿的外徑；若，試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m，試，試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。L-xTx404. 4. 右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為：LPdxGIxT0)(LPdxGIxLm0)(PGImL22弧度）( 033. 0 例例 傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A 輸入功率N1=400kW，從動輪B，C 分別輸出功率N2=160kW，N3=240kW。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 (1)試確定AB 段的直徑d1 和BC 段的直徑d2； (2)

9、若AB和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMACB2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.外力偶矩外力偶矩 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 16336311Td按剛度條件按剛度條件 mm4 .86m104 .86110801807640321803234294211GTd3.3.直徑直徑 d1 1 的選取的選取 按強度條件按強度條件 mN7640mN4580 mm4 .861d1

10、eMACB2eM3eM1d2d 311max16dT 18032411maxdGTmN76401eMmN45803eM 按剛度條件按剛度條件 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強度條件按強度條件 mN7640mN4580 mm3 .69m103 .69107045801616336322Tdmm76m1076110801804580321803234294222GTdmm762d 5.5.選同一直徑時選同一直徑時mm4 .861 ddmm4 .861d1eMACB2eM3eM1d2d 6.6.將主動輪裝在兩從將主動輪裝在兩從動輪之間動輪之間1eMACB2eM3eM1d2dmN7640

11、mN4580 2eMBCA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 例例 有一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪如圖有一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪如圖a所示。軸的直徑所示。軸的直徑分別為分別為d140mm，d270mm。已知作用在軸上的外力偶矩分別為。已知作用在軸上的外力偶矩分別為T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的許用切應(yīng)力。材料的許用切應(yīng)力 =60 MPa，G8104 MPa，軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角為，軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角為2/m，試校核該軸的強度和剛度。，試校核該軸的強度和剛度。 解（解（1 1）作出扭矩圖）作出扭矩圖 （2 2）

12、強度校核）強度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直徑不相段的直徑不相同，橫截面上的扭矩也不相同，因同，橫截面上的扭矩也不相同，因此，對于此，對于AC 段軸和段軸和BD 段軸的強度段軸的強度都要進(jìn)行校核。都要進(jìn)行校核。0.62 kNm1.43 kNmAC 段段MPaMPadWMn604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31MPaMPadWMn602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 （3 3）剛度校核）剛度校核AC 段段 mmGIMon/2/77. 118010)40(32101081062. 0124

13、643maxmmGIMoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxBD 段段 計算結(jié)果表明，軸的強度和剛度是足夠的。計算結(jié)果表明，軸的強度和剛度是足夠的。0.62 kNm1.43 kNm例 試求圖示軸兩端的反力偶矩解解: : 受力分析,建立平衡方程(a) 0 , 0MMMMBAx未知力偶矩2個，平衡方程1個，一次超靜定四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題變形分析,列變形協(xié)調(diào)方程0 CBACAB (b) 0bMaMBA聯(lián)立求解方程(a)與(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 建立補充方程

14、代入上式例例 長為長為 L=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如圖，若的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226 m ，G=80 GPa，試試求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解解：桿的受力圖桿的受力圖02mmmBA幾何方程：幾何方程：0BA 物理方程：物理方程：LPBAdxGIxT0)(mN 20 AM 由平衡方程得由平衡方程得：另另: :此題可由對稱性直接求得結(jié)果。此題可由對稱性直接求得結(jié)果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0 xmmxMxTA)(xMA202020dxGI

15、xMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程)(xTxAM16-6 16-6 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)常見的非圓截面受扭桿為矩形截面桿和薄壁桿件圓桿扭轉(zhuǎn)時圓桿扭轉(zhuǎn)時 橫截面保持為平面；橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時非圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面由平面變?yōu)闄M截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。曲面（發(fā)生翹曲）。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究彈性力學(xué)的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1 1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）， 2 2、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），：各橫截面翹曲程度不受任何約束

16、（可自由凹凸）， 任意兩相鄰截面翹曲程度相同。任意兩相鄰截面翹曲程度相同。應(yīng)力特點應(yīng)力特點：橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。曲程度不同。應(yīng)力特點應(yīng)力特點：橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。1、 橫截面上角點處，切應(yīng)力為零2、 橫截面邊緣各點處，切應(yīng)力 / 截面周邊3、 橫截面周邊長邊中點處，切應(yīng)力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力分布特點矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力

17、分布特點（彈性力學(xué)解）（彈性力學(xué)解）2tmaxhbTWTmax1 3tbhGTlGITl系數(shù)系數(shù) , , , , 與與 h/b 有關(guān)，見教材之表有關(guān)，見教材之表4-2長邊中點最大切應(yīng)力長邊中點最大切應(yīng)力 max矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力1、 橫截面上角點處，切應(yīng)力為零2、 橫截面邊緣各點處，切應(yīng)力 / 截面周邊3、 橫截面周邊長邊中點處，切應(yīng)力最大T狹窄矩形截面扭轉(zhuǎn)狹窄矩形截面扭轉(zhuǎn)33 GhTl 2max3 hT h中心線總長中心線總長時時當(dāng)當(dāng) 10 h推廣應(yīng)用推廣應(yīng)用31 , ) 10 (h狹長矩形狹長矩形3)3)、兩者的比值：、兩者的比值：例：例： 均相同的兩根軸

18、，分別為圓截面和正方形截面。均相同的兩根軸，分別為圓截面和正方形截面。 試求：兩者的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形，并進(jìn)行比較。試求：兩者的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形，并進(jìn)行比較。daa解：解： 1)圓截面圓截面 circular,163maxdTWTpc.324dGTlGITlpc,208. 033maxaTaTs.141. 044GaTlaGTlslAGT,737. 0)2(208. 01633maxmaxasc.886. 02141. 0324sc,422ad.2da結(jié)論結(jié)論：無論是扭轉(zhuǎn)強度，還是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面比正方形截面要好。：無論是扭轉(zhuǎn)強度，還是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面比正方形截面要好。2)矩

19、形截面矩形截面 (square)208. 014. 0截面中心線：薄壁桿橫截面截面中心線：薄壁桿橫截面壁厚平分線壁厚平分線。主要注意的問題：開口薄壁桿件的抗扭性能很差。主要注意的問題：開口薄壁桿件的抗扭性能很差。16-7 16-7 （開口和閉合）薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)（開口和閉合）薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)閉口薄壁桿：截面中心線為閉合曲線。閉口薄壁桿：截面中心線為閉合曲線。開口薄壁桿：截面中心線為非閉口曲線。開口薄壁桿：截面中心線為非閉口曲線。)(a)(b),(a)(b)(c)(d),(c)(d一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力1 1、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。、切應(yīng)力流的方向與扭矩的

20、方向一致。T2 2、切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；、切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；與薄壁圓管相似：與薄壁圓管相似：3 3、切應(yīng)力與中心線相切；、切應(yīng)力與中心線相切；dsdAdsdAdTdsT2T截面中心線所圍截面積截面中心線所圍截面積dsminmax2T 例例 橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a = 50 mm，b = 75 mm，厚度，厚度t =5 mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T = 5000 Nm， 試試求此桿的最大切應(yīng)力。求此桿的最大切應(yīng)力。解解：閉口薄壁閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)桿自由扭轉(zhuǎn) 時的最大切應(yīng)力時的最大切應(yīng)力：batminmax2TabtT29107550525000MPa42二、閉口薄壁截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形二、閉口薄壁截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形tGITldsIt2424 GTls對于等厚度的薄壁桿：對于等厚度的薄壁桿：dss截面中線的長度。截面中線的長度。薄壁截面中線圍成的面積。薄壁截面中線圍成的面積。其中：