線性代數(shù)中幾個基本問題的初等變換的應(yīng)用

1、 線性代數(shù)中幾個基本問題的初等變換的應(yīng)用 摘要線性代數(shù)是大學(xué)本科最基礎(chǔ)性的一門重要課程，在生物化學(xué)、計算機技術(shù)、經(jīng)濟學(xué)、醫(yī)學(xué)等其它領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。與其它課程不同，線性代數(shù)中充斥著大量的定義、定理、證明，往往還沒有充分理解好一個概念，新的概念和定義、定理紛至沓來。然而，即使不理解概念，也能套用運算和證明的框架來進行解題陣的初等變換在解決線性代數(shù)的有關(guān)問題時具有非常重要的作用。較詳細地論述了矩陣的初等變換在線性代數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用，并對該知識點在課堂教學(xué)中的應(yīng)用進行了一些探討。關(guān)鍵詞：初等變換；線性方程組；應(yīng)用；探討Abstract linear algebra is one of the m

2、ost fundamental courses in university, and it is widely used in biochemistry, computer technology, economics, medicine and other fields. Unlike other courses, linear algebra is filled with definitions, theorems, and proofs that students often do not fully understand a concept, new concepts and defin

3、itions, and theorems. However, many students said that even if you dont understand the concept, can also be to use the framework of computing and prove elementary transformation of matrix for problem solving in solving relevant problems of linear algebra has a very important role. In this paper, the

4、 application of elementary transformation in linear algebra is discussed in detail, and the application of this knowledge point in classroom teaching is discussed.Key words: elementary transformation; System of linear equations; Application; To discuss目 錄1 緒論11.1 研究背景11.2 研究意義12我國的線性代數(shù)課程發(fā)展與研究現(xiàn)狀22.1

5、矩陣的初等變換和初等矩陣22.2 為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)23 矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用33.1 初等變換在求矩陣的秩的應(yīng)用33.2 初等變換在求逆矩陣的應(yīng)用33.3 初等變換在求解線性方程組的應(yīng)用43.4 初等變換在判斷向量組的線性相關(guān)性、求極大無關(guān)組和秩的應(yīng)用43.5 初等變換在求標(biāo)準(zhǔn)正交基中的應(yīng)用43.6 初等變換和初等矩陣的性質(zhì)在一些證明中的應(yīng)用73.7 廣義初等變換的計算公式84 矩陣的初等變換的日常學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個問題94.1緊扣初等變換的本質(zhì)，強調(diào)“列向量，行變換”94.2 抓住核心內(nèi)容和核心方法104.3 用實際問題基本概念，用反例說明一些運算的“奇怪”性質(zhì)105 總結(jié)1

6、2參考文獻131 緒論1.1 研究背景隨著線性代數(shù)在工程、技術(shù)、計算機科學(xué)、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣，有關(guān)線性代數(shù)的研究越來越受到重視。美國的線性代數(shù)課堂改革起源于圖蘭的微積分改革會議，于1990年1月成立線性代數(shù)課程研究小組。這個小組的成員由來自不同大學(xué)的老師組成，他們經(jīng)過專家的訪談和小組成員的討論，給出了一年級線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)內(nèi)容建議，并對高等數(shù)學(xué)的課程大綱和教學(xué)提出了一系列指導(dǎo)性建議。這些研究成果在1993年一經(jīng)發(fā)表，通過專門的教育會議在教育領(lǐng)域得到快速的反響，影響了很多國家的線性代數(shù)課程改革，并為線性代數(shù)教材的編寫產(chǎn)生了重大影響。2002年在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會上，數(shù)學(xué)家Dori

7、er作了45分鐘專題報告，介紹大學(xué)的線性代數(shù)教與學(xué)研究。他提到，學(xué)生們常常感覺像是登上了另一個星球，大量的定義、定理、術(shù)語撲面而來，這些與他們之前學(xué)習(xí)的知識沒有聯(lián)系，對此他們非?？鄲篮屠Щ?。另一方面，在老師看來十分簡單的概念，學(xué)生卻無法理解，老師們也常常感到受挫和失望。 Carlson(1993)對學(xué)生學(xué)習(xí)時遇到的困難進行了分類，認為解線性方程組、計算矩陣的乘積等，對學(xué)生來說都很簡單。但是，當(dāng)他們學(xué)到子空間、擴張、線性無關(guān)時，“如同濃濃迷霧滾滾而來”，感覺迷失了方向。他進一步提到了對于學(xué)生來說困難的原因:線性代數(shù)課程教的太早，學(xué)生還沒有經(jīng)驗;對學(xué)生來說難的是概念，不是算法;不同的情境需要用到不

8、同的算法。這意味著，在線性代數(shù)中，算法并不難，真正難的是對概念的理解。1.2 研究意義 國內(nèi)目前使用最多的教材是同濟大學(xué)編著的線性代數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，書有170頁，其中清晰標(biāo)注為定義的共43條，定理52條，平均不足2頁就有一條概念。在不包含“推論”的統(tǒng)計情況下，己經(jīng)是滿眼的抽象概念，在定義和定理之間穿插的又是滿滿的公式推導(dǎo)和證明，這使人感到生硬難懂、望而卻步。大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，本應(yīng)該是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，而非技能的訓(xùn)練。所以應(yīng)該以概念學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去分析問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題。線性代數(shù)的教學(xué)，死記硬背定義、定理、公式，原搬照抄應(yīng)付考試，不僅喪失了對學(xué)習(xí)的興趣，也沒有達到學(xué)習(xí)的

9、效果。因此，我的研究將聚焦與在線性代數(shù)學(xué)習(xí)對概念的理解。在線性代數(shù)的眾多概念中，線性空間概念占據(jù)核心和基礎(chǔ)的地位，而且有豐富的內(nèi)涵與外延。它不僅是中學(xué)向量這一知識的拓展，其概念本身也蘊含著與基、維數(shù)、線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性變換等多個概念的聯(lián)系，并且可以遷移到內(nèi)積空間、賦范空間等知識的上位學(xué)習(xí)中。2我國的線性代數(shù)課程發(fā)展與研究現(xiàn)狀矩陣的初等變換是線性代數(shù)課程的重要內(nèi)容，起源于高斯消元法，高斯消元法解線性方程組時進行三種同解變換，引出增廣矩陣的概念，將同解變換與矩陣的初等變換對應(yīng).徐德余將矩陣的初等變換推廣在向量組中加以運用，從而將向量組的線性相關(guān)性轉(zhuǎn)化為矩陣的初等變換問題；李志慧通過與Schm

10、idt方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基對比，給出矩陣初等變換法從歐式空間的任意一個基求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法；林亨成和陳群利用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.這些研究都是直接利用其方法，而很少對其方法進行分析研究.基于矩陣的線性變換法的重要性，我們有必要進一步探討它在以下幾方面運用的來龍去脈.2.1 矩陣的初等變換和初等矩陣定義1分別稱以下3類變換為矩陣的第1，2，3類初等行(列)變換2:(1)互換矩陣兩行(列)的位置;(2)以一個非零常數(shù)乘矩陣中某一行或某一列;(3)把矩陣某一行(列)的k倍加到另一行(列)。由單位矩陣通過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。并且記E(i，j)是E通過交換第i，j行得到的矩陣(第一類

11、初等矩陣)，E(i(k)是E的第i行乘k得到的矩陣(第二類初等矩陣)，E(ij(k)是E的第j行的k倍加到第i行得到的矩陣(第三類初等矩陣)。引理1設(shè)A是mn矩陣，對A進行一次初等行變換相當(dāng)于用一個相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A;對A進行一次初等列變換相當(dāng)于用一個相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A2。引理2第一類初等矩陣可以表示為第二、三類初等矩陣的乘積，或者說對矩陣進行第一類初等矩陣相當(dāng)于對矩陣實行若干次第二類和三類初等行(列)變換2。證明由引理1，可得E(i，j)=E(j(1)E(i，j(1)E(i，j(1)E(i，j(1)。2.2 為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)線性代數(shù)的計算方法是處理現(xiàn)代工程計算的重要方法，比如

12、線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，在工程計算中，經(jīng)常用到。有時工程上研究的問題相當(dāng)復(fù)雜，用到成百上千的變量，這樣復(fù)雜的問題，用矩陣來處理，是比較好的方法。線性代數(shù)已成為現(xiàn)代工程技術(shù)人員必修的課程之一。線性擬合和非線性擬合是數(shù)據(jù)處理常用的方法，以往由于計算手段的限制，非線性擬合幾乎無法實現(xiàn)。因此，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法中非線性問題線性化計算是一種基本手段。目前，盡管計算機數(shù)據(jù)處理已經(jīng)很普遍，但由于習(xí)慣于傳統(tǒng)的方法，或是由于非線性擬合過程常遇到不收斂等問題，非線性問題線性化計算這一傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法仍在廣泛使用。作為線性代數(shù)的主要軟件工具有MATLAB，它是矩陣計算的主要工具。從數(shù)學(xué)上來講，很多非線

13、性化問題可以通過一些數(shù)學(xué)變換化成線性問題。比如一些非線性回歸問題就可以通過變量的倒代換對數(shù)變換等化成線性回歸問題。我們也可以利用泰勒公式，將一個復(fù)雜函數(shù)化成近似的多項式，再將多項式轉(zhuǎn)化為線性方程(這只要將各個冪函數(shù)當(dāng)作一個新變量就可以。3 矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用3.1 初等變換在求矩陣的秩的應(yīng)用利用矩陣的秩的定義來求矩陣的秩難度很大，一般來說不采用這種方法，以下定理1建立了矩陣的初等變換與矩陣的秩之間的關(guān)系。定理1若AB，則(A)=(B)。3.2 初等變換在求逆矩陣的應(yīng)用初等變換可以求可逆矩陣，常用的辦法是利用矩陣的初等行變換或初等列變換。定理2設(shè)A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣P

14、1，P2，Pl，使A=P1P2，Pl2。(1)PlPl1P1(AE)=(EA1);(2) (3)A1(AB)=(EA1B);利用矩陣的初等行變換求逆矩陣的方法，還可以用于求矩陣A1B。由A1(AB)=(EA1B)，可知，我們對矩陣(AB)進行初等行變換時，當(dāng)把A變?yōu)镋時，B就變?yōu)锳1B。3.3 初等變換在求解線性方程組的應(yīng)用定義2下列三類變換稱為方程組的初等變換3:(1)調(diào)法變換:對調(diào)兩個方程的位置;(2)倍法變換:用非零數(shù)乘某個方程;(3)消法變換:數(shù)乘某個方程加到另一個方程。定理3n元線性方程組Ax=b，我們有如下結(jié)果2:(1)無解的充分必要條件是(A)(A，b);(2)有唯一解的充分必要

15、條件是(A)=(A，b)=n;(3)有無數(shù)多解的充分必要條件是(A)=(A，b)n。3.4 初等變換在判斷向量組的線性相關(guān)性、求極大無關(guān)組和秩的應(yīng)用我們可以利用定理3來判斷向量組的線性相關(guān)性。定理4矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩2。定理5對于n維向量組a1，a2，as，記矩陣A=(a1，a2，as)，由下列結(jié)論等價4:(1)向量組a1，a2，as線性相關(guān)(或線性無關(guān));(2)齊次線性方程組Ax=0有非零解(或只有零解);(3)矩陣A的秩(A)s(或(A)=s);(4)矩陣A的任意s階子式為零(或存在s階子式不為零);(5)特別地當(dāng)s=n時，有|A|=0(或|A|0)。定理

16、5的重要意義在于利用矩陣的初等變換這個有效載體，易于判斷向量組是否線性相關(guān)，而向量b被向量組a1，a2，am線性表示的問題也很容易得到解決。3.5 初等變換在求標(biāo)準(zhǔn)正交基中的應(yīng)用定義3設(shè)n維向量e1，e2，en是向量空間1n的一個基，如果e1，e2，en兩兩正交，且都是單位向量，則稱e1，e2，en是1n的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基2。求一組向量的標(biāo)準(zhǔn)正交基通常用施密特正交法，但該方法非常繁瑣，計算復(fù)雜。下面我們利用矩陣的初等變換，給出一種求標(biāo)準(zhǔn)正交基的簡易方法5。設(shè)是歐氏空間1n的一組基。令A(yù)=(a1，a2，an)，則ATA是一個n階正定矩陣，必與單位矩陣E合同，即存在n階可逆矩陣Q，使得:QT(ATA

17、)Q=E (1)即(QTAT)(AQ)=E (2)式(1)對矩陣ATA施行一系列的初等變換可變成單位矩陣，式(2)表明，令C=AQ，則AC的列向量組是1n的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。于是，利用矩陣初等變換得到求標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個簡單方法:對 ATA 進行相同的初等行變換和初等列變換對 A 進行同樣的初等列變換令C=AQ，則AC的列向量組即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。例1設(shè)是14的一組基，求一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解設(shè)A=(a1，a2，a3，a4)，則:利用矩陣的初等變換得與A合同的矩陣C=AQ，使CTAC=E。利用矩陣的初等變換可得所求:利用:(1，2，3，4)=(a1，a2，a3，a4)C可得:上式為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

18、3.6 初等變換和初等矩陣的性質(zhì)在一些證明中的應(yīng)用矩陣的初等變換和初等矩陣的性質(zhì)在線性代數(shù)中的有著極為重要的地位，也是線性代數(shù)的重點和難點內(nèi)容。下面我們給出初等變換和初等矩陣的性質(zhì)及在線性代數(shù)的一些問題的證明中的應(yīng)用。以下令(A)為矩陣A的秩，A*為A的伴隨矩陣。例2設(shè)A是n階方陣，證明:證明我們先證明初等變換不會改變其伴隨矩陣的秩。不妨設(shè)A=(aij)，B=(bij)是由A通過一次初等變換所得，并且Aij，Bij分別是A，B相應(yīng)的代數(shù)余子式，由對稱性我們只討論B是由A通過一次矩陣的初等行變換所得的情形。由引理2我們只需對第一、二類初等變換證明。情形1如果B=E(i，j(k)A，不妨設(shè)i=1，

19、j=2，則:此時易知Bij=A1j對任意j成立，并且如果i2，Bijk A1j，即:即此時B*是由A*通過了n1次初等變換所得，故(A*)=(B*)。情形2如果B=E(s(k)A容易知道Bsj=Asj，并且如果is，則Bij=k Aij所以此時也有(A*)=(B*)。以上我們證明了對一個矩陣進行初等變換不改變原矩陣和它的伴隨矩陣的秩，所以可以假設(shè)A是標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，這時易知當(dāng)(A)=n時，A和A*都是n階單位矩陣，當(dāng)(A)=n1時，Ann=1，且Aij=0，如果i+j2n，所以(A*)=1。當(dāng)(A*)n1時，A*是零矩陣。命題得證。3.7 廣義初等變換的計算公式在矩陣的運算中，常會用到矩陣分塊法，

20、矩陣分塊后的每一個子塊都可以作為矩陣的元素來處理，針對分塊矩陣，對進行如同矩陣一樣的三種初等變換稱為分塊矩陣的廣義初等變換。下面我們給出一些廣義初等變換的計算公式6。例3(Frobenius不等式)設(shè)A，B，C為同階方陣，求證:(AB)+(BC)(B)+(ABC)。證明(利用廣義初等變換)即得:4 矩陣的初等變換的日常學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個問題4.1緊扣初等變換的本質(zhì)，強調(diào)“列向量，行變換”在線性方程組中，只有對其增廣矩陣進行初等行變換才是線性方程組的同解變換，對增廣矩陣進行初等列變換會改變線性方程組的解。判斷向量組是否線性相關(guān)，可以轉(zhuǎn)化為判斷齊次線性方程組Ax=0是否有非零解;求某個向量被向量組

21、線性表示，則可轉(zhuǎn)化為求非齊次線性方程組Ax=b的解。因此，在利用初等變換來解決線性代數(shù)有關(guān)問題時，要改變以往初等行變換和列變換相提并論，應(yīng)根據(jù)實際情況盡量強調(diào)“列向量，行變換”，而行向量問題則可以轉(zhuǎn)化為列向量問題來解決。矩陣的初等變換是研究和處理線性代數(shù)的有關(guān)問題的關(guān)鍵和載體，應(yīng)注意以下幾點:(1)在學(xué)習(xí)利用矩陣的初等變換來解決線性方程組的解這個知識點時，從多個角度來討論線性方程組的解與增廣矩陣的秩之間的關(guān)系，解決線性方程組是否有解，有多少個解，解是什么三個問題，從而深入領(lǐng)會線性方程組解的結(jié)構(gòu)的深刻內(nèi)涵;(2)在探討向量組的線性相關(guān)性時，將判斷向量組的線性相關(guān)性的問題轉(zhuǎn)化為判斷向量組的秩與向量

22、組中所含向量的個數(shù)之間的關(guān)系問題。求解一個向量b被向量組a1，a2，am線性表示的問題，其實質(zhì)就是判斷方程組x1a1+x2a2+xmam=b是否有解及求出方程組的具體解的問題78;(3)在剖析初等變換在求標(biāo)準(zhǔn)正交基的應(yīng)用時，我們的方法如下:對于給定的一組基a1，a2，an，先求出其對應(yīng)的度量矩陣A，再利用矩陣的初等變換求得與A合同的矩陣C=AQ，使得CAC=E，則(1，2，3，4)=(a1，a2，a3，a4)C即為所求的準(zhǔn)標(biāo)正交基。這種方法既簡單實用，又便于記憶，從而深刻體會到初等變換性質(zhì)的本質(zhì)意義。4.2 抓住核心內(nèi)容和核心方法工科線性代數(shù)，課時比較少，在這么短時間內(nèi)，要學(xué)好這門課程，我們要

23、有足夠的學(xué)習(xí)興趣和精力的投入若老師抓不住核心內(nèi)容和核心方法，就很難教好這門課線性代數(shù)課，一般包括行列式、向量、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間由于課時少，老師只能講解向量空間一些基本概念，并在線性方程組中講解向量空間時加以應(yīng)用線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容是線性方程組，核心方法是矩陣的初等變換方法行列式、克萊姆法則、向量、矩陣都圍繞著線性方程組展開克萊姆法則，解決了當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時，何時有唯一解，并用行列式給出了解的表達式，在線性方程組理論中有重要價值向量模型為線性方程組解決了解空間模型的問題，認為線性方程組的解是向量空間中的向量，可以定義解向量之間的線性運算矩陣運算為線性方程組的求解提供了行初等

24、變換方法，利用這個方法，可以判別非齊次線性方程組是否有解，用行初等變換求解向量線性關(guān)系為線性方程組通解提供了理論基礎(chǔ)，非齊次線性方程組的任一解都可由其本身的一個特解及對應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的線性運算來表示矩陣特征值、特征向量、二次型內(nèi)容，是線性方程組理論及方法的一個應(yīng)用，這個應(yīng)用也為空間解析幾何中討論二次曲線、二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形問題提供了很好的方法矩陣的初等變換方法，可以用于求行列式，求向量組的秩，并判別向量組是否線性相關(guān)，求向量組的最大線性無關(guān)組，用最大線性無關(guān)組線性表示其余向量，求逆矩陣，用行初等變換求解線性方程組的通解，求矩陣的特征向量4.3 用實際問題引入線性代數(shù)的基本概念，用反例說明

25、一些運算的“奇怪”性質(zhì)在學(xué)習(xí)矩陣相乘、向量(幾何學(xué)及力學(xué)中，向量是作為有大小并有方向的量，而在線性代數(shù)中，向量是作為有序數(shù)組)、向量線性運算、向量線性相關(guān)、向量線性無關(guān)等基本概念時，要盡可能地用一些實際問題來引入，不要直接照搬定義，以免覺得太抽象。我們可以通過用坐標(biāo)變換公式來學(xué)習(xí)引入一般的線性變換，由線性變換的復(fù)合(簡單點，就講3個變量的線性變換的復(fù)合)引入矩陣相乘概念也可以借用銷售與收益的模型(收益矩陣=銷量矩陣價格矩陣)來引入矩陣相乘的概念在高等數(shù)學(xué)中，兩個向量的內(nèi)積也可看作一個行矩陣與一個列矩陣相乘由于我們的工資表、成績表、線性方程組的解，都只關(guān)心各個項的取值，而且取值的順序不同，所代表

26、的意義就不相同，因此，我們有必要研究有序數(shù)組，把這種有序數(shù)組稱為向量線性代數(shù)中講的向量就是有序數(shù)組，這一點一定要強調(diào)因為，我們在做線性代數(shù)作業(yè)時，有時候向量還是標(biāo)出箭頭，沒辦法忘記幾何、力學(xué)中所講的向量，把握不住線性代數(shù)中所講的向量與幾何、力學(xué)中所講的向量的共性由具體過渡到抽象，必須忘記一個一個具體的事物，而只把握住這些事物的共性這就是所謂“聰明難，糊涂難，由聰明變糊涂更難”!(鄭板橋語)為什么平面直角坐標(biāo)系，要而且只要兩條坐標(biāo)軸?為什么空間直角坐標(biāo)系，要而且只要三條坐標(biāo)軸?我相信，很多沒學(xué)過線性代數(shù)的同學(xué)都沒法回答這個問題為什么有些線性方程組中，方程個數(shù)會比未知數(shù)個數(shù)更多?根據(jù)我們在中學(xué)的經(jīng)

27、驗，線性方程組中方程個數(shù)應(yīng)該與未知數(shù)個數(shù)一樣多，才能確定未知數(shù)的取值那么，這是否意味著方程個數(shù)太多了，也就是說有些方程是多余的?有些方程只是另外一些方程通過同解變換就可得到的?由這些問題展開討論，我們就可引入向量組的線性運算、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念了像這樣由一些具體問題引入抽象的概念，原本抽象的概念就變得很自然了施密特正交化方法，在三維向量空間中，實際上可以理解為向量的正交分解給定線性無關(guān)向量組1，2，3，記1=1，用2減去2在1方向的分向量得到2，用3減去3在1，2方向的分向量得到3，則1，2，3是與1，2，3等價的正交向量組向量在方向的分向量是方向單位向量的倍向量，其系數(shù)就是向量與方向單

28、位向量的內(nèi)積(即在方向的投影)，這一點可用空間解析幾何中向量的投影作為基礎(chǔ)知識有了三維空間中向量組的正交化方法，就很容易推廣到一般的n維向量空間，得到n維向量空間中的施密特正交化方法為什么要學(xué)習(xí)相似矩陣?其實，這可以從矩陣計算的需要來講我們知道，與對角矩陣相似的矩陣，其矩陣多項式(甚至矩陣冪級數(shù))的計算，都非常簡單那么，一個矩陣相似于一個對角矩陣的條件是什么呢?將矩陣相似的表達式用分塊矩陣相乘形式展開，就發(fā)現(xiàn)我們必須從矩陣特征值、特征向量學(xué)起只要抓住了關(guān)鍵問題，由關(guān)鍵問題順藤摸瓜，就會引出一大堆的小問題，由各個小問題引入相應(yīng)的概念，這樣我們就不再覺得抽象了，從而融會貫通、舉一反三，這門課就好學(xué)了在實數(shù)、復(fù)數(shù)運算中，aa=bb，ab=ba，(ab)(a+b)=a2b2，(a+b)2=a2+2ab+b2，若a0，ax=ab，則x=b(消去律成立)在矩陣運算中，相似的運算律成立嗎?在一元線性方程中，若a0，則方程ax=b有唯一解x=a1b=ba1在線性方程組中，若A0，則線性方程組Ax=b也有唯一解，并可類似地表示為x=A1b=b A1嗎?若可以，A1是什么?A1乘在b的左邊和右邊都有意義嗎?那么就算即使有意義(當(dāng)A，b是同階數(shù)的方陣時，A1b，b A1都有意義)，它們會相等嗎?像這些問題，我們都可以構(gòu)造反例來說明，平