高考數(shù)學(xué)(江蘇二輪專題攻略課件專題四微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題

1、微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題核心題型突破欄目索引0微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題核心題型突破題型一 利用圖形的性質(zhì)求解2 2例1 （2017江蘇無錫期末）已知橢圓+十二1，動(dòng)直線/與橢圓交于5C兩點(diǎn).若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求OBC面積的最大值.核心題型突破欄目索引C3解析由已知得，直線OB的方程為尸詁即3爐2尸0.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C且平行于直線a的直線啲方程為尸蕓+b,則當(dāng)r與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)Aobc的面積最大由V2 2 3 3消去y并整理，得衣+3分+決3二0.由/二9典12（決3）二0懈得by = x + bI 2/二2館當(dāng)b二2館 時(shí),C -y/3,大值為fxi +匕_ 2丿 9

2、XI3V3 + V3I_4V13（ 入、;當(dāng)b=2乜時(shí),C履-亠所以ZXOBC面積的最 2 丿【方法歸納】錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題，常用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為在某區(qū)間的二次函數(shù)的最值問題解決，有時(shí)也用圓錐曲線的參數(shù)方 程,化為三角函數(shù)的最值問題或用三角形的兩邊之和（或差）與第三邊的不等關(guān)系 求解.圓錐曲線上的點(diǎn)到定直線的距離的最值問題解法同上或用平行切線法.核心題型突破欄目索引C2 21-1設(shè)P是橢圓*+*=1上一點(diǎn)MN分別是兩圓:(兀+4)+2二1和(x-4)2+/= 1上 的點(diǎn)側(cè)IPM+PN的最小值、最大值分別為、答案8;12相交于胚“兩點(diǎn)，此時(shí)解析 由橢圓及圓的方程可知，兩圓圓

3、心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)由橢圓的定 義知,PA+PB=2a=lQ.連接PAJPB份別與圓相交于兩點(diǎn)，此時(shí)LPMI+IPV1最 小，最小值為F4I+IPBI2二8;連接P4FB并延長，分別與 PM+PN最大，最大值為F4I+LPBI+2二12.綜上PMI+IPVI的最小值和最大值分 別為&12.1-2 (2018如東高級(jí)中學(xué)第二學(xué)期階段測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已 知為圓x2+j2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)4(1,1),且AB丄AC,則線段BC的長的取值范圍是答案舲-血,舲+血解析 設(shè)BC的中點(diǎn)為D連接ADQD由丄AC,得BC=2AD,OD丄BCQD，+DC2=OC 即 0/)2+42=比.設(shè) D(x,

4、y),則 *3+(爐 1)2+_1)2二4,化簡，得匕一引 + 丄丫仝，此即為點(diǎn)D的軌跡方程，圓心(丄,丄與點(diǎn)A(l,l)之間的距離為至則I 2) 2(2 2丿2並-：HWADW返+.所以BC=2AD e 羽-迥,羽+逅.2 2 2 2題型二利用不等式求解2 2 例2 (2017蘇北四市期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:+補(bǔ)二 a b1 (ab0)的離心率為豐，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為6邁.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)屮為橢圓C上位與兀軸上方的點(diǎn)，直線P4交y軸于點(diǎn)胚解析(1)由題意，得 =返 a 22c + = 6a/2.c解得廠所以b=2l. c

5、= 2J2.2 2 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丄二1.16 8(2)由題意，設(shè)直線FA的方程為尸心+4)00,則M(0,4Q.所以直線FN的方程為尸空(爐2血),則M。,-* .4k核心題型突破欄目索引C 當(dāng)直線PA的斜率為*,即詁時(shí),M(0,2),N(0,-4), 因?yàn)镸F丄FN,FQ邁,0),所以FMN的外接圓的方程為分+1 丫二9.歹=心+ 4)， 由/+亍_消去y并整理,得.16核心題型突破欄目索引04_液2（解得心4或7產(chǎn)所以H8疋一4 同理可得Qw8k1 + 2疋所以化0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即直線戶0過原點(diǎn).所以 APQ 的面積S二 * 1041 (yP-yQ)=2 x16k1 + 2/

6、322k +W8血，當(dāng)且僅當(dāng)即K(1 +2lc)x+16+32 心 16=0 4-加 祿1 + 2k? 1 + 2k?又易知直線AN的方程為尸-（兀+4）,社時(shí)，取等號(hào).所以4F0的面積的最大值為8VI【方法歸納】 圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變，但總體上主 要是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的 表達(dá)式，然后利用基本不等式等進(jìn)行求解.2-1 （2018鹽城中學(xué)高三數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中沖心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓，點(diǎn)只（0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)分別為上頂點(diǎn)和右頂 點(diǎn)，原點(diǎn)O到線段的距離為迺.求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過原點(diǎn)O的直線與線段AB

7、交于點(diǎn)D與橢圓交于點(diǎn)求四邊形AEKF面積的最大值.2 2解析才+亍(2)設(shè)EF的方程為y=kx(k0).y = kx,4x2 +3y2 = 12,4x2+3k2x2= 12.所以兀;二124 + 3宀12k24 +3k2I12(l + /c2)4 4 + 3 疋所 EF=2OE=2yxl + y =2 又點(diǎn)A0到EF的距離為y/l + e 71+F所以四邊形AEBF的面積為S二迪2 +理).J4 + 3k2又因?yàn)?2+尿疋2(4曲，所以岳朋所以頁2屈故四邊形4EBF面積的最大值為2&題型三利用函數(shù)的方法求解2 2cr b例3 (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知橢圓。鼻+書二lb0)的左焦點(diǎn)為F(-l

8、,0),左 準(zhǔn)線方程為x=2.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知直線/交橢圓C與A 0兩點(diǎn). 若直線/經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)只且滿足臥二總，丘二“品,求證汎 +為定值； 若4,3兩點(diǎn)滿足OAJL 03(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的面積的取值范圍.核心題型突破欄目索引Q解析由已知，得c=l,2.解得眉2,則夕=1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+y=l.(2)證明:由題設(shè)，直線Z的斜率存在.設(shè)直線/的方程為尸紅x+1),則P(O,Q.核心題型突破欄目索引C設(shè)A(xj)0(jV2j2),將直線伯勺方程代入橢圓的方程，得？+2眥兀+1)2=2 整理，得(1 +2疋)分+4炸+2尿2=0. 4*22

9、k 2 幾i十兒2兀1兀2 T71 + 2k1 + 2kT TT_ y_ y由 PA=AAF PB=a BF,知尼一戶 一J嚴(yán)1 + x,l + x2-44疋_4加+殲:+ ： +簣=丐*豐4(定值).1 + 兀+ 小 + %1兀2 + 4Zc + 2k 211 + 2疋 1 + 2/當(dāng)直線OA,OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)湯知4OB的面積5=;2當(dāng)直線OAQB的斜率均存在且不為零時(shí)， 設(shè)直線OA :y=kx,直線OB:y二丄兀人（兀1 $）0（兀2丿2）,K將y=尬代入橢圓C的方程，得士+2紜2二2.222k2,2_ :所以蟲喬石用=喬可同理工二r,/ 所以zviob的面積s二坐工2令匸加+1側(cè)膽

10、1+00）,(2 疋+1)伙2+ 2)2 + k2y2=7+k 伙2 +1）2I產(chǎn)(2r-l)(r + l)14w=-,貝檢 u(o,i, t2 V|亍3核心題型突破欄目索引一核心題型突破欄目索引Q【方法歸納】 解決有關(guān)范圍、最值問題時(shí)，首先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚ㄈ琰c(diǎn)的 坐標(biāo)、角、斜率等）,建立目標(biāo)函數(shù)，然后通過求這個(gè)函數(shù)的值域解決問題.圓 錐曲線中的范圍與最值問題大致可分為兩類:一是設(shè)計(jì)距離、面積的最值以 及與之相關(guān)的一些問題;二是求直線與圓錐曲線中幾何元素的范圍與最值，以 及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.核心題型突破欄目索引Q3-1 (2018如東高級(jí)中學(xué)第二學(xué)期階段測(cè)試)已知圓M

11、:x2+(y-4)2=4,P是直線 l：x-2y=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線FA,P5切點(diǎn)為40.(1)當(dāng)切線的長度為2館時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若的外接圓為圓N,試問:當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)?若過點(diǎn)定，求岀 所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由；求線段長度的最小值.核心題型突破欄目索引C解析(1)由題可知，圓M的圓心M(0,4),半徑廠=2.設(shè)P(2bQM的一條切線，所以ZMAP=90.所以MF二 J(0 - 2疔 + (4 -二 Jam 2 + 仲2 二4Q解得歸0或b二亍所以P(090)或P(2)設(shè)PQb、b).因?yàn)閆MAP=90所以經(jīng)過4只M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑,2其方程為(x-/?)2+f y -4戻+0 4)24核心題型突破欄目索引Q即(2%+丁-4)工(卡+才-4)=0鄉(xiāng)巧穿。解得x +y -4y = 0,8x =54 ,=?所以圓過定點(diǎn)(0,4), |,扌 即卡+只2 加(b+4)y+4b 二 0 ，圓 M:x2+(j-4)2=4,即