【新教材教案】3.3.2 拋物線的簡單幾何性質（2） 教學設計-人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊

1、3.3.2 拋物線的簡單幾何性質（2） 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程，本節(jié)課主要學習拋物線的簡單幾何性質拋物線的簡單幾何性質是人教A版選修2-1第二章第四節(jié)的內容。本節(jié)課是在是在學習了橢圓、雙曲線的幾何性質的基礎上，通過類比學習拋物線的簡單幾何性質。拋物線是高中數(shù)學的重要內容，也是高考的重點與熱點內容。坐標法的教學貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章，是學生應重點掌握的基本數(shù)學方法 運動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點在這節(jié)知識中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進行教學.課程目標學科素養(yǎng)A.掌握拋物線的幾何性質及其簡單應用B.掌握直線與拋物線的位置關系的

2、判斷及相關問題C. 掌握拋物線中的定值與定點問題1.數(shù)學抽象：拋物線的幾何性質 2.邏輯推理：運用拋物線的性質平行 3.數(shù)學運算：拋物線中的定值與定點問題 4.直觀想象：拋物線幾何性質的簡單應用重點：拋物線的簡單幾何性質及其應用 難點：直線與拋物線位置關系的判斷 多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、 問題導學拋物線四種形式的標準方程及其性質 標準方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)圖形范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對稱軸x軸x軸y軸y軸標準方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p

3、0)焦點坐標準線方程頂點坐標O(0,0)離心率e=1二、直線與拋物線的位置關系設直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k0,當0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當=0時,直線與拋物線相切,有一個切點;當0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若k=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.二、典例解析例5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，

4、求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸【分析】設拋物線的標準方程為：y22px（p0）設A（x1，y1），B（x2，y2）直線OA的方程為：，可得yD設直線AB的方程為：myx，與拋物線的方程聯(lián)立化為y22pmp20，利用根與系數(shù)的關系可得可得yDy2即可證明【解答】證明：設拋物線的標準方程為：y22px（p0）設A（x1，y1），B（x2，y2）直線OA的方程為：，令x，可得yD設直線AB的方程為：myx，聯(lián)立，化為y22pmp20，yDy2直線DB平行于拋物線的對稱軸例6. 如圖，已知定點B a,-h, BCx軸于點C, M是線段OB上任意一點, MDx軸于點D, MEBC于點E, OE與MD

5、相交于點P，求P點的軌跡方程。解：設點P x,y, M x,m,其中0xa,則點E的坐標為a,m有題意，直線OB的方程為y=-bax 因為點M在OB上，將點M的坐標代入，得m=-bax, 所以點P的橫坐標x滿足直線OE的方程為y=max因為點P在OE上，所以點P的坐標 x,y滿足將代入，消去m得，x2=-a2hy(0xa), 即P點的軌跡方程。例6中，設點B關于y軸的對稱點為A，則方程x2=-a2hy(0xa), 對應的軌跡是常見的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在天空中劃過的軌跡也是拋物拱一部分。例7. 已知動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x

6、=-1相切,設動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設過點P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點,直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補.證明:直線AB的斜率為定值.思路分析:(1)由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點,以x=-1為準線的拋物線;(2)設l1,l2的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標,代入斜率公式計算kAB.(1)解:動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,E到點D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,E的軌跡是以D(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線.曲線C的方程為y2=4x.(2)證明:設直線l1的方程為y=k(x

7、-1)+2.直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補,l2的方程為y=-k(x-1)+2.聯(lián)立得方程組y=k(x-1)+2,y2=4x,消元得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.設A(x1,y1),則x1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2.同理,設B(x2,y2),可得x2=k2+4k+4k2,x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8kk2=-8k.y1-y2=k(x1-1)+2-k(x2-1)+2=k(x1+x2)-2k=2k2+8k-2k=8k.kAB=y1-y2x1-x2=-1.直線AB的斜率為定值-1. 定值與定點問題的求解策略1.欲證某個量為定值,先將該量用某變

8、量表示,通過變形化簡若能消掉此變量,即證得結論,所得結果即為定值.2.尋求一條直線經(jīng)過某個定點的常用方法:(1)通過方程判斷;(2)對參數(shù)取幾個特殊值探求定點,再證明此點在直線上;(3)利用曲線的性質(如對稱性等),令其中一個變量為定值,再求出另一個變量為定值;(4)轉化為三點共線的斜率相等或向量平行等.跟蹤訓練1. 已知拋物線的方程是y2=4x,直線l交拋物線于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點為(3,3),求直線l的方程;(2)若y1y2=-12,求證:直線l過定點.解:(1)因為拋物線的方程為y2=4x,則有y12=4x1,y22=4x2,因為弦AB的

9、中點為(3,3),所以x1x2.兩式相減得y12-y22=4x1-4x2,所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=23,所以直線l的方程為y-3=23(x-3),即y=23x+1.(2)當l的斜率存在時,設l的方程為y=kx+b,代入拋物線方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2=4bk=-12,b=-3k,l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過定點(3,0).當l的斜率不存在時,y1y2=-12,則x1=x2=3,l過定點(3,0).綜上,l過定點(3,0).通過，回顧拋物線的幾何性質及直線與圓錐曲線的位置關系，幫助學生整理知識。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)。 通

10、過典例解析，綜合運用拋物線幾何性質，進一步體會數(shù)形結合的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過典型例題，提升學生綜合運用能力，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素通過典型例題，幫助學生掌握拋物線中的定值與定點問題，提升學生數(shù)學建模，數(shù)形結合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1若拋物線y22x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若|AB|2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()A B C D【答案】A線段AB所在的直線的方程為x1，拋物線的焦點坐標為，則焦點到直線AB的距離為1.2若直線xy2與拋物線y24

11、x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標是_. 【答案】(4,2)由得x28x40，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y2x1x244，故線段AB的中點坐標為(4,2)3設直線y2xb與拋物線y24x交于A，B兩點，已知弦AB的長為3，求b的值【答案】由消去y，得4x24(b1)xb20.由0，得b.設A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x21b，x1x2.|x1x2|.|AB|x1x2|3，12b9，即b4.4.過拋物線的頂點O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點。(1)求證:A,B兩點的橫坐標之積,縱坐標之積分別為定值(2)證明：直線AB過定點；解：設A（x1,y

12、1），B（x2,y2），中點P（x0,y0）1 OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2y12=2px1,y22=2px2（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)直線AB： AB過定點（2p,0）.5.如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使PAB的面積最大,并求出這個最大面積.思路分析:先求出弦長|AB|,再求出點P到直線AB的距離,從而可表示出PAB的面積,再求最大值即可.解:由y=2x-4.y2=4x,解得x=4,y=4

13、或x=1,y=-2.A(4,4),B(1,-2),|AB|=35.(方法1)設P(x0,y0)為拋物線AOB這段曲線上一點,d為點P到直線AB的距離,則有d=|2x0-y0-4|5=15y022-y0-4=125|(y0-1)2-9|.-2y04,(y0-1)2-90.d=1259-(y0-1)2.從而當y0=1時,dmax=925,Smax=1292535=274.因此,當點P的坐標為14,1時,PAB的面積取得最大值,最大面積為274.(方法2)由y=2x-4,y2=4x,解得x=4,y=4或x=1,y=-2.A(4,4),B(1,-2),|AB|=35.設點P的坐標為(4t2,4t),點

14、P(4t2,4t)在拋物線AOB這段曲線上,-24t4,得-12t1.由題意得點P(4t2,4t)到直線AB的距離d=|8t2-4t-4|5=452t-142-98.當t-12,1時,2t-142-980,d=4598-2t-142,當t=14時,dmax=4598=925.此時點P的坐標為14,1,SPAB的最大值為12|AB|dmax=1235925=274.(方法3)設y=2x+m是拋物線y2=4x的切線方程.由y=2x+m,y2=4x,消去x,并整理,得y2-2y+2m=0.=4-8m=0,m=12.此時,方程為y2-2y+1=0,解得y=1,x=14,P14,1.此時點P到直線y=2x-4的距離d最大(在拋物線AOB這段曲線上)