《玖學堂》編寫樣張 定稿(正弦定理)

1、（僅供格式上的參考，請根據(jù)具體教學內容編寫。編寫所用材料內容力求原創(chuàng)，切不可大面積抄襲借鑒，題目可選用其它資料題目，盡量適當改編，解答過程不得照搬抄襲!）名師示范課必修5第一章 解三角形1.1.1 正弦定理(范美卿)一、教學目標1核心素養(yǎng)通過學習正弦定理，初步形成基本的數(shù)學抽象和邏輯推理能力2學習目標（本課時的目標應與后面的“問題探究”對應，每個探究解決一個目標）（1）1.1.1.1 通過特殊三角形，了解三角形的邊與角的對應關系（2）1.1.1.2 能證明正弦定理（3）1.1.1.3 應用正弦定理解決三角形相應問題3學習重點理解正弦定理，會用正弦定理解兩類三角形問題4學習難點正弦定理的證明與三

2、角形解的個數(shù)的判斷二、教學設計（一）課前設計1預習任務（每個課時至少1個任務，可以要求學生看、讀、寫、做、問等方面）任務1（可以多個任務，問是學生提問，編者不用考慮）閱讀教材P1P4，思考：正弦定理的內容是什么？你還有哪些方法可以證明正弦定理？正弦定理有哪些應用？任務2默寫正弦定理的具體內容，查閱三角形面積的計算公式并進行整理2預習自測（用23道客觀題對學生預習進行檢測，注意基礎性，是學生預習后就能解決的題目）1在一個三角形中，各邊和它對角的（ ）的比相等A正弦B余弦C正切D角度2下列各式可以表示ABC的面積的是（ ）AabsinABabsinB CabsinC DabsinC3在正弦定理中的

3、值表示ABC的（ ）A內切圓半徑B內切圓直徑C外接圓半徑D外接圓直徑（二）課堂設計1知識回顧(回顧與本堂課相關的知識)（1）三角形內角和為180（2）三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（3）在三角形中大邊對大角（4）三角形的面積：S（其中ha，hb，hc分別為邊a，b，c上的高） （5）我們預習本課的正弦定理是什么？有哪些方法可以證明呢？2問題探究（對課本知識按學習目標進行講解，由淺入深，突出重點，逐步講解）問題探究一 直角三角形的邊角有哪些關系？（對應于學習目標1.1.1，通過特殊三角形，了解三角形的邊角關系，如屬于重點知識，請用標記，難點知識用標記）活動一 回顧舊知，回憶邊角關

4、系（活動設計盡量提煉活動主題，要簡潔、精煉、準確）在初中，我們已經(jīng)學習過如何解直角三角形，那么在直角三角形中的邊角關系有哪些呢？ 通過作出直角三角形，尋找直角三角形中的邊角關系在直角三角形中，若C為直角，銳角A的正弦sinA同理，sinB活動二 整合舊知，探求邊角新關系結合三角函數(shù)，你有哪些與眾不同的發(fā)現(xiàn)？在以上直角ABC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義有： ,，, 即, 問題探究二 上述邊角關系對任意三角形都成立嗎？試證明 重點、難點知識活動一 大膽猜想，幾何畫板來幫忙我們猜想在任意三角形中，都有為提高直觀認識，我們先利用幾何畫板先作出一個三角形，度量出三個內角大小及三邊的長度，分別計算、的值，并觀察

5、三個值的關系然后，再改變三角形形狀，再觀察三個比值的變化情況可以看到，不論三角形如何變化，活動二 集思廣益，證明正弦定理你能在一般的三角形中證明這個結論嗎？在銳角ABC中，你能找出asinB，bsinA表示的具體線段嗎？它們的幾何意義是什么？在銳角ABC中，asinB，bsinA表示的線段都是AB邊上的高CD因而，有asinBbsinA，則，同理，我們可以得到在鈍角三角形中是否也能用類似方法證明呢？不妨設B為鈍角，如圖，CDasin(180B)bsinA，因而，有asinBbsinA，則，同理，我們可以得到正弦定理：對于任意的一個三角形，都有活動三 反思過程，發(fā)現(xiàn)面積新公式結合asinB，bs

6、inA的幾何意義，你能不能得到三角形的面積公式的另外一種形式？由以上探究活動，asinB，bsinA的幾何意義為AB邊上的高CD，則由三角形面積S，有S，或S，以此類推，還有SabsinC所以SabsinCacsinBbcsinA活動四 利用外接圓，重新認識正弦定理結合ABC的外接圓，試探究的幾何意義設O為ABC的外接圓，連接CO并延長交O于點A，連接AB，則AA，在ABC中，AC為直徑，則ABC為直角，AC2R，故2R，其中R為三角形外接圓的直徑通過轉化與化歸的思想，將A轉化為A，最關鍵的是將一般三角形中a與A的關系轉化為直角三角形中的a與A的關系，不難得到2R，則2R以上過程也是證明正弦定

7、理的另一種方法，你還能想出哪些證明正弦定理的方法？結合活動三得到的三角形的面積公式，我們還可以哪些形式多樣的面積公式？我們可以得到SabsinC2R2sinAsinBsinC等形式問題探究三 利用正弦定理能解決哪些三角形的問題？ 重點、難點知識活動一 初步運用，運用定理解三角形一般地，我們把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？例1 在ABC中，已知A30，B45，a2，解此三角形【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】（選用例題注明知識點，知識點在高中數(shù)學知識結構5

8、.0中查找對應，多個知識點應盡量全部羅列，沒有數(shù)學思想可不寫）詳解：根據(jù)三角形內角和定理，C180(AB)105，根據(jù)正弦定理，b，c點撥：正弦定理是對邊對角的關系，在已知一內角的條件下，找出該角的對邊，或知道一邊的情況下，尋求該邊的對角，注意三角形內角和為180這個條件的運用在解三角形時，我們在知道三角形的三個元素（至少有一邊）時，可以求出另三個元素，稱“知三求三”例2 在ABC中，已知A60，a3，b，解三角形【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】詳解：根據(jù)正弦定理，sinB，且ba，則BA，故B45，所以C75，c點撥：在已知一角和兩邊（其中一邊為該角的對邊）的條件下，用正弦

9、定理求出另一邊對角的正弦值，一般可以運用大邊對大角或三角形內角和定理對結果進行篩選或排除，當做出可以兩者結合使用例3在ABC中，已知A45，a2，b，解三角形【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：分類討論、數(shù)形結合】詳解：根據(jù)正弦定理，sinB，且ba，則BA，故B60或120，當B60時，C75，解得c1；當B120時，C15，解得c1點撥：和例2類似，已知兩邊和其中一邊的對角，用正弦定理求出另一邊對角的正弦值，此時這個角有銳角和鈍角兩種情況，注意分類討論，切不可先入為主的認為B60而造成漏解活動二 對比提升，判斷三角形解的個數(shù)比較例2和例3，對于任意給定兩邊和其中一邊的對角，三角形唯一確

10、定嗎？如何討論滿足條件的三角形的解的個數(shù)？在ABC中，已知a，b，A，結合例2、例3分析，在求出sinB后，B的解的個數(shù)決定了三角形解的個數(shù)不難看到，當A為直角或鈍角時，ab，B必為銳角，有唯一解；ab，無解當A為銳角時，我們可以用以下方法判斷解的個數(shù)以C為圓心，a為半徑作圓弧，觀察該圓弧能否與c邊相交，交點數(shù)有多少(1)當absinA時，無解；(2)當absinA時，一解；(3)當bsinAab時，兩解；(4)當ab時，一解通過這個方法，我們進一步可以驗證當A為直角或鈍角時的情形，(1)當ab時，無解；(2)當ab時，一解活動三 歸納提升，綜合應用新知識利用正弦定理，我們可以解哪些已知條件下

11、的三角形？1已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；2已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角例4 在ABC中，已知A60，b2，c3，求ABC的面積S【知識點：正弦定理；數(shù)學思想：】 詳解：SbcsinA點撥：直接應用三角形的面積公式即可例5在ABC中，已知A120，a3，b，判斷三角形的解的個數(shù)，如有解，求ABC的面積S【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】詳解：由A為鈍角，且ab，故此三角形有唯一解根據(jù)正弦定理，sinB，則B30，C180(AB)30，所以SabsinC點撥：三角形的面積求解需要兩邊及夾角，因此要先通過正弦定理求B，再用內角和定理求C，再用公式即可例6 已知AB

12、C的外接圓半徑為1，sinA，cosB，求ABC的面積S【知識點：正弦定理，兩角和的正弦公式；數(shù)學思想：轉化與化歸】詳解：由sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB()，則S2R2sinAsinBsinC2點撥：在已知三角形外接圓半徑時，通過正弦定理轉化面積公式顯得更快一些，當然也可以利用a2RsinA，b2RsinB求出C的兩條夾邊再求面積，是一樣的道理3課堂總結(對課堂重點、難點知識進行梳理和歸納)【知識梳理】(1)在ABC中，2R（R為ABC的外接圓直徑）(2)在ABC中，SacsinBbcsinAabsinC(3)設A為ABC的最大角，已知a，b，A，解三角形時解的個數(shù)判

13、定為：若A為銳角，absinA，無解；absinA，一解；bsinAab，兩解；ab，一解若A為直角或鈍角，ab，無解；ab，一解【重難點突破】(1)運用正弦定理時，有時需對它進行變形，如等，不論怎么變形，最終都需要將約去(2)運用正弦定理求解三角形時，若已知條件是兩邊和其中一邊的對角，則可能無解、一解或兩解，判斷方法是三角形中大角對大邊，大邊對大角(3)用正弦定理來解邊角關系問題時，基本思路是統(tǒng)一角或統(tǒng)一邊，這是三角形的變形問題常用的方法4隨堂檢測（學生在510分鐘完成，每題注明知識點、數(shù)學思想根據(jù)具體情況，沒有可不寫，知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應，應為基礎題）1在ABC中，A4

14、5，a2，則等于（ ）A1BC2D4【知識點：正弦定理；數(shù)學思想：數(shù)形結合】2在ABC中，已知b，c1，B45，則a（ ）ABC1D1【知識點：正弦定理；數(shù)學思想：數(shù)形結合】3在ABC中，已知bcosAacosB，則ABC的形狀為（ ）A直角三角形B等腰三角形C正三角形D等腰直角三角形【知識點：正弦定理的應用，兩角差的正弦公式；數(shù)學思想：數(shù)形結合】4在ABC中，A30，B105，c4，則ABC的外接圓的面積為（ ）A4B8C16D32【知識點：正弦定理的應用；數(shù)學思想：數(shù)形結合】5在ABC中，若a3，cosC，SABC4，則b_ 【知識點：正弦定理的應用；數(shù)學思想：數(shù)形結合】（三）課后作業(yè)基礎

15、型 自主突破（一般為6道題，具體課時可相應靈活調整，每題注明知識點，數(shù)學思想知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應）1已知在【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】2在【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】3【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】4中，則為( )A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形【知識點：正弦定理；數(shù)學思想：轉化與化歸】5在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosAbsinB，則sinAcosAcos2B()A BC1D1【知識點：正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系】6在ABC中，C120，c2c2cos2

16、A3，則a_ 【知識點：正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系】能力型 師生共研（一般為4道題，具體課時可相應靈活調整）7在中，是的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【知識點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷，正弦定理；數(shù)學思想：】8在銳角中，若,則邊的取值范圍是（ ） A. B. C. D.(1,3)【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】9在中,已知，如果利用正弦定理解三角形時有兩解，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】10在中，求證：.【知識點：二倍角的余弦，正弦定理；數(shù)學

17、思想：轉化與化歸】探究型 多維突破（一般為2道題，具體課時可相應靈活調整）11已知，的平分線交AC于點D，求證：.【知識點：正弦定理的應用；數(shù)學思想：數(shù)形結合】12在中，已知，求證：成等差數(shù)列.【知識點：兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的余弦，正弦定理，等差數(shù)列；數(shù)學思想：轉化與化歸】自助餐（一般為12道題，13題為基礎型選擇題，45題為提升型選擇題，6題為拓展型選擇題；7題為基礎型填空題，8題為提升型填空題，9題為拓展型填空題；10題為基礎型解答題，11題為提升型解答題，12題為拓展型解答題每題注明知識點，數(shù)學思想知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應，“數(shù)學思想”有就寫，沒有就不寫）1. 在

18、中，則為（ ）A B C D【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合、分類討論】2. 在中，若，則( )A B C D【知識點：正弦定理；數(shù)學思想：】3.在中，已知，則符合條件的三角形的個數(shù)有（ ） A2個 B.1個 C. 0個 D無數(shù)個【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】4在ABC中，cosA，a3，b，則符合條件的三角形的個數(shù)有（ ） A2個 B.1個 C. 0個 D無數(shù)個【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】5在中，則最短邊的邊長等于（ ）A B C D【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】6在ABC中，acosAbcosB，則ABC的形狀為

19、（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知識點：正弦定理】7在ABC中，若b10，B，tanA2，則a_.【知識點：正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系】8已知函數(shù)，三個內角的對邊分別為.若，a，b1，則的面積S_.【知識點：正弦定理】9如圖所示，扇形AOB中，AOB60，OB1，在弧AB上有一動點P，過P作平行于OB的直線和OA交于點C，則POC面積的最大值為_【知識點：正弦定理，解三角形，三角恒等變換；數(shù)學思想：數(shù)形結合】10已知在中，解此三角形.【知識點：正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：分類討論】11在中，如果，且為銳角，試判定三角形的形狀.【知識點：對數(shù)的

20、運算性質，正弦定理，解三角形；數(shù)學思想：數(shù)形結合】12在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2cosAcosC(tanAtanC1)1. (1)求B的大??；(2)若b，求ABC的周長l的最大值【知識點：正弦定理，三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域；數(shù)學思想：轉化與化歸】（四）參考答案（一、選擇題，可以只給出答案，對于難度大的、解題過程復雜的題目，請附上原創(chuàng)的解題思路；二、為方便檢查，可將此部分放在每道題之后。）預習自測1A2C3D隨堂檢測1D 根據(jù)2R，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，則2R4，故選D2B 根據(jù)正弦定理，sinC，因為cb，則CB，故C30，則A105，所

21、以a，故選B3B 根據(jù)2R，a2RsinA，b2RsinB，則2RsinBcosA2RsinAcosB，即sin(AB)0，得AB，故ABC為等腰三角形，故選B4B 由C180(AB)45，得2R4，R2，圓面積SR28，故選B52 由cosC，得sinC，根據(jù)SabsinC4，得b2課后作業(yè)基礎型1. 由=，解得,.2. 由=，得sinC，因為cb，所以CB，則C30，則A90，故ABC為直角三角形，所以.3 或 ， 4A 由正弦定理得a2b2c2，則故ABC為直角三角形，故選A5D 由正弦定理及acosAbsinB，得sinAcosAsin2B則sinAcosAcos2Bsin2Bcos2

22、B162 由c2c2cos2Ac2sin2A3，故csinA，由正弦定理，a2能力型7C 首先，由正弦定理得2RsinA2RsinC，故ac，由大邊對大角，有AC；其次，由AC，得ac，即2RsinA2RsinC，故sinAsinC故選C8C 應用極端原理，當B為直角時，c，當C為直角時，c，因ABC為銳角三角形，故c，故選C9A 因三角形有兩解，則asinBba，故x2x，解得2x，故選A10 .探究型11證明：在內，利用正弦定理得： 在內，利用正弦定理得：是的平分線，., ，.12證明：由已知得，,，由正弦定理可得2b2a2c2，故a2，b2，c2成等差數(shù)列.自助餐1A 由=，得sinA，

23、則A60或120，故選A2C 由=，得sinB，故選C3B 由ab，故AB，則三角形只有一解，故選B4C 由cosA0，得A為鈍角，又ab，故此三角形無解，故選C5A 由三角形內角和為180知A75，故B角最小，從而b為最小邊，由正弦定理，b，故選A6D 由acosAbcosB及正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，則2A2B或2A2B180，則AB或AB90，ABC為等腰或直角三角形，故選D74 由tanA2，得sinA，又b10，B，根據(jù)正弦定理，得a48 由，得，又，所以，得,由正弦定理，得，則，則面積.9 設AOP，CPOB，CPOPOB60，OCP12

24、0.在POC中，由正弦定理，得，有CPsin.又，有OCsin(60)因此POC的面積為SCPOCsin120sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)cos(260)，(0，60)故當30時，S取得最大值為10由，得sinC，C60或120，所以或.11由條件有sinB及c，因為B為銳角，則B45，A135C，由c，得sinCsinAsin(135C)cosCsinC，則cosC0，C90，A45，故ABC為等腰直角三角形12(1)由2cosAcosC(tanAtanC1)1，得2cosAcosC(1)12(sinAsinCcosAcosC)1，cos(AC)，cosB又

25、0B，B(2)由正弦定理，得2R2，則a2RsinA2sinA，c2RsinC2sin(A)，labc2sinA2sin(A)2sinAcosAsinA3sinAcosA2sin(A)A0，且A，A，當A時，lmax3故ABC的周長的最大值為31.1.1 正弦定理第二課時（編者姓名）一、教學目標1核心素養(yǎng): 2學習目標（本課時的目標應與后面的“問題探究”對應，每個探究解決一個目標）（1）1.1.1 （2）1.1.2 （3）1.1.3 3學習重點4學習難點二、教學設計（一）課前設計1預習任務（每個課時至少1個任務，可以要求學生看、讀、寫、做、問等方面）任務1（可以多個任務，問是學生提問，編者不用

26、考慮）任務22預習自測（用23道客觀題對學生預習進行檢測，注意基礎性，是學生預習后就能解決的題目）（二）課堂設計1知識回顧(回顧與本堂課相關的知識) 2問題探究（對課本知識按學習目標進行講解，由淺入深，突出重點，逐步講解）問題探究一 （對應于學習目標1.1.1，通過特殊三角形，了解三角形的邊角關系，如屬于重點知識，請用標記，難點知識用標記）活動一 （活動設計盡量提煉活動主題，要簡潔、精煉、準確）活動二 問題探究二 重點、難點知識活動一 活動二 問題探究三 重點、難點知識活動一 活動二 3課堂總結(對課堂重點、難點知識進行梳理和歸納)【知識梳理】【重難點突破】4隨堂檢測（學生在510分鐘完成，每

27、題注明知識點、數(shù)學思想根據(jù)具體情況，沒有可不寫，知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應，就為基礎題）（三）課后作業(yè)基礎型 自主突破（一般為6道題，具體課時可相應靈活調整，每題注明知識點，數(shù)學思想知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應）能力型 師生共研（一般為4道題，具體課時可相應靈活調整）探究型 多維突破（一般為2道題，具體課時可相應靈活調整）自助餐（一般為12道題，13題為基礎型選擇題，45題為提升型選擇題，6題為拓展型選擇題；7題為基礎型填空題，8題為提升型填空題，9題為拓展型填空題；10題為基礎型解答題，11題為提升型解答題，12題為拓展型解答題每題注明知識點，數(shù)學思想知識點在高中數(shù)學知識結構5.0中查找對應，“數(shù)學思想”有就寫，沒有就不寫）（四）參考答案（對于難度大的、解題過程復