線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法和心得體會參考word

1、線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法和心得體會一、學(xué)習(xí)方法今天先談?wù)剬€形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數(shù)學(xué)背后說的實質(zhì)問題說出來。首先說說空間(space)，這個概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“

2、存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。仔細(xì)想想我們就會知道，這個三維的空間：1. 由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2. 這些點之間存在相對的關(guān)系；3. 可以在空間中定義長度、角度；4. 這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不

3、是微積分意義上的“連續(xù)”性的運動，認(rèn)識到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識擴(kuò)展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運動（變換）。你會發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會存在一種相對應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應(yīng)空間中允許的運動形式而已。推薦精選因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的運動。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認(rèn)線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：1. 空間是一個對象集合，線

4、性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？2. 線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那么平凡的例子：L1. 最高次項不大于n次的多項式的全體構(gòu)成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0, x1, ., xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每

5、一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數(shù)的一個最根本的問題。線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發(fā)生對應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表

6、那個對象的向量。推薦精選簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。是的，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。（chensh，說你呢?。┛墒嵌嗝从幸馑及。蛄勘旧聿皇且部梢钥闯墒莕 x 1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個巧合有直接的關(guān)系。接著理解矩陣、我們說“矩陣是運動的描述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數(shù)學(xué)系出身

7、的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因為運動這個概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，是研究運動的數(shù)學(xué)。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗里，運動是一個連續(xù)過程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時間來逐點地經(jīng)過AB之間的路徑，這就帶來了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯

8、跑不過烏龜?shù)人膫€悖論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的重溫微積分。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運動的數(shù)學(xué)”這句話的道理。 “矩陣是線性空間里躍遷的描述”?？墒沁@樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷推薦精選。比如說，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附

9、帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機(jī)圖形學(xué)的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關(guān)。真正的原因，是因為在計算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現(xiàn)實世界等長的兩個平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個東西，所以計算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看計算機(jī)圖形學(xué)幾何工具算法詳解。一旦我們理解了“變

10、換”這個概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述?！钡竭@里為止，我們終于得到了一個看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V 里的一個線性變換T，當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設(shè)有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數(shù)a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就稱T為線性變換。接著往下說，什么是基呢？這個問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系

11、，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個“對立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標(biāo)系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：推薦精選“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述?！蓖瑯拥模瑢τ谝粋€線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道

12、這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為選定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系：A = P-1BP線性代數(shù)稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。按照這個定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明白。而在上面式子里那個矩陣P，其實

13、就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關(guān)系。關(guān)于這個結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時間的話，我以后在blog里補(bǔ)充這個證明。這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標(biāo)系（基）表換到另一個坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理

14、解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會變得更加清晰、直覺。推薦精選二、學(xué)習(xí)心得線性代數(shù)是一門對理工科學(xué)生極其重要數(shù)學(xué)學(xué)科。線性代數(shù)主要處理的是線性關(guān)系的問題，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，線性代數(shù)的含義也不斷的擴(kuò)大。它的理論不僅滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在理論物理、理論化學(xué)、工程技術(shù)、國民經(jīng)濟(jì)、生物技術(shù)、航天、航海等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。同時，該課程對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。線代課本的前言上就說：“在現(xiàn)代社會，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科了?！蔽覀兊木€代教學(xué)的一個很大的問題就是對線性代數(shù)的應(yīng)用涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了

15、，但這只是線性代數(shù)很初級的應(yīng)用。我自己對線性代數(shù)的應(yīng)用了解的也不多。但是，線性代數(shù)在計算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法、密碼學(xué)、對策論等等中都有著相當(dāng)大的作用。沒有應(yīng)用到的內(nèi)容很容易忘，就像現(xiàn)代一樣，我現(xiàn)在高數(shù)還基本記得。因為高數(shù)在很多課程中都有廣泛的應(yīng)用，比如在開設(shè)的大學(xué)物理課中。所以，如果有時間的話，要盡可能地到網(wǎng)上或圖書館了解線性代數(shù)在各方面的應(yīng)用。如：線性代數(shù)（居余馬等編，清華大學(xué)出版社）上就有線性代數(shù)在“人口模型”、“馬爾可夫鏈”、“投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型”、“圖的鄰接矩陣”等方面的應(yīng)用。也可以試著用線性代數(shù)的方法和知識證明以前學(xué)過的定理或高數(shù)中的定理，如老的高中解析幾何課本上的轉(zhuǎn)軸公式，它就可以用線性

16、代數(shù)中的過渡矩陣來證明。線性代數(shù)被不少同學(xué)稱為“天書”，足見這門課給同學(xué)們造成的困難。在這門課的學(xué)習(xí)過程中，很多同學(xué)遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺，公式定理理解不了，知道了知識但不會做題，記不住等問題。我認(rèn)為，每門課程都是有章可循的，線性代也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學(xué)好它。推薦精選一定要重視上課聽講，不能使線代的學(xué)習(xí)退化為自學(xué)。上課時干別的會受到老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時四十分鐘呢？上課時，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學(xué)習(xí)方法甚至改變你的一生。上課時一定要“虛心”，即使老師講的某個題自己會做也要聽一下老師的思路。上完課后不少同學(xué)喜歡把上課的內(nèi)容看一遍再做作業(yè)。實際上應(yīng)該先試著做題，不會時看書后或做完后看書。這樣，作業(yè)可以幫你回憶老師講的內(nèi)容，重要的是這些內(nèi)容是自己回憶起來的，這樣能記得更牢，而且可以通過作業(yè)發(fā)現(xiàn)自己哪些部分還沒掌握好。作業(yè)盡量在上課的當(dāng)天或第二天做，這樣能減少遺忘給做作業(yè)造成的困難。做作業(yè)時遇到不會的題可以問別人或參考同學(xué)的解答，但一定要真正理解別人的思路，絕對不能不弄清楚別人怎么做就照抄。適當(dāng)多做些題對學(xué)習(xí)是