數學建模-第13講 回歸分析

1、 2021-10-141數學建模與數學實驗數學建模與數學實驗回歸分析回歸分析 實驗目的實驗目的實驗內容實驗內容2、掌握用數學軟件求解回歸分析問題。、掌握用數學軟件求解回歸分析問題。1、直觀了解回歸分析基本內容。、直觀了解回歸分析基本內容。1 1、回歸分析的基本理論。、回歸分析的基本理論。3 3、實驗作業(yè)。、實驗作業(yè)。2、用數學軟件求解回歸分析問題。、用數學軟件求解回歸分析問題。 2021-10-143回歸分析回歸分析數學模型及定義數學模型及定義*模型參數估計模型參數估計* *檢驗、預測與控制檢驗、預測與控制可線性化的一元非線可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸性回歸（曲線回歸）數學模型及定義數學

2、模型及定義*模型參數估計模型參數估計*多元線性回歸中的多元線性回歸中的檢驗與預測檢驗與預測逐步回歸分析逐步回歸分析(原理略) 2021-10-144一、數學模型一、數學模型例例1 測16名成年女子的身高與腿長所得數據如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿長8885889192939395969897969899100102以身高x為橫坐標，以腿長y為縱坐標將這些數據點（xI，yi）在平面直角坐標系上標出.1401451501551601658486889092949698100102散點圖xy10 2021-10-145一元

3、線性回歸分析的主要任務主要任務是：1、用試驗值（樣本值）對0、1和作點估計；2、對回歸系數0、1作假設檢驗； 3、在 x=0 x處對 y 作預測，對 y 作區(qū)間估計.xY10，稱為 y 對對 x的的回回歸歸直直線線方方程程.返回返回 2021-10-146二、模型參數估計二、模型參數估計1、回歸系數的最小二乘估計、回歸系數的最小二乘估計 2021-10-14722110 xxyxxyxy（經經驗驗）回回歸歸方方程程為為: )(110 xxyxy 或 niiniiixxyyxx1211niiiniiniiniiyxnxy,xnxyny,xnx1122111111，其中 2021-10-1482、

4、2的的無無偏偏估估計計記 niniiiiieyyxyQQ11221010)(),(稱 Qe為殘殘差差平平方方和和或剩剩余余平平方方和和. 2的的無無偏偏估估計計為 )2(2nQee稱2e為剩剩余余方方差差（殘殘差差的的方方差差） ， 2e分別與0、1獨立 。 e稱為剩剩余余標標準準差差. 2021-10-149三、檢驗、預測與控制三、檢驗、預測與控制1、回歸方程的顯著性檢驗、回歸方程的顯著性檢驗 對回歸方程xY10的顯著性檢驗，歸結為對假設 0:; 0:1110HH進行檢驗.假設0:10H被拒絕，則回歸顯著，認為 y 與 x 存在線性關系，所求的線性回歸方程有意義；否則回歸不顯著，y 與 x

5、的關系不能用一元線性回歸模型來描述，所得的回歸方程也無意義. 2021-10-1410（）F檢驗法檢驗法 當0H成立時， )2/( nQUFeF（1，n-2）其中 niiyyU12（回回歸歸平平方方和和）故 F)2, 1 (1nF，拒絕0H，否則就接受0H. （）t檢驗法檢驗法niiniixxxnxxxL12212)(其中當0H成立時，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒絕0H，否則就接受0H. 2021-10-1411（）r檢驗法檢驗法當|r| r1-時，拒絕H0；否則就接受H0.記 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(其中2, 121111nFnr 202

6、1-10-14122、回歸系數的置信區(qū)間、回歸系數的置信區(qū)間0和和1置置信信水水平平為為1-的的置置信信區(qū)區(qū)間間分分別別為為 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(211211 2021-10-14133、預測與控制、預測與控制（1）預測）預測用 y0的回歸值0100 xy作為 y0的的預預測測值值.0y的置信水平為1的預預測測區(qū)區(qū)間間為 )(),(0000 xyxy其中xxeLxxnntx2021011)2()( 特 別 ， 當 n 很 大 且 x0在x附 近 取 值 時 ,y 的 置 信 水 平 為1的預預 測測 區(qū)

7、區(qū) 間間 近近 似似 為為 2121,uyuyee 2021-10-1414（2）控制）控制要求：xy10的值以1的概率落在指定區(qū)間yy ,只要控制 x 滿足以下兩個不等式 yxyyxy )(,)(要求)(2xyy .若yxyyxy )(,)(分別有解x和x ，即yxyyxy )(,)(. 則xx ,就是所求的 x 的控制區(qū)間. 2021-10-1415四、可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）四、可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）例例2 出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕， 容積不斷增大.我們希望知道使用次數與增大的容積之間的關 系.對一鋼包作試驗，測得的數據列于下表：使用次

8、數增大容積使用次數增大容積234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76 2021-10-141624681012141666.577.588.599.51010.511散點圖此即非線性回歸非線性回歸或曲線回歸曲線回歸 問題（需要配曲線）配曲線的一般方法是：配曲線的一般方法是：先對兩個變量 x 和 y 作n 次試驗觀察得niyxii,.,2 , 1),(畫出散點圖，根據散點圖確定須配曲線的類型.然后由 n 對試驗數據確定每一類曲線的未知參數 a 和 b.采用的方

9、法是通過變量代換把非線性回歸化成線性回歸，即采用非線性回歸線性化的方法. 2021-10-1417通常選擇的六類曲線如下：（1）雙雙曲曲線線xbay1（2）冪冪函函數數曲曲線線y=abx, 其中 x0,a0（3）指指數數曲曲線線 y=abxe其中參數 a0.（4）倒倒指指數數曲曲線線 y=axbe/其中 a0，（5）對對數數曲曲線線y=a+blogx,x0（6）S型型曲曲線線xbeay1解例2.由散點圖我們選配倒指數曲線y=axbe/根據線性化方法，算得4587. 2,1107. 1Ab由此 6789.11Aea最后得 xey1107. 16789.11 2021-10-14181、多元線性回

10、歸、多元線性回歸2、多項式回歸、多項式回歸3、非線性回歸、非線性回歸4、逐步回歸、逐步回歸返回返回 2021-10-1419多元線性回歸多元線性回歸 b=regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、確定回歸系數的點估計值：確定回歸系數的點估計值：ppxxy.110對一元線性回歸，取 p=1 即可 203、畫出殘差及其置信區(qū)間：畫出殘差及其置信區(qū)間： rcoplot（r，rint）2、求回歸系數的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：求回歸系數的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型： b, bint,r,rint,sta

11、ts=regress(Y,X,alpha)回歸系數的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數值：相關系數r2、F值、與F對應的概率p置信區(qū)間 顯著性水平（缺省時為0.05） 相關系數 r2越接近 1，說明回歸方程越顯著； F F1-（k，n-k-1）時拒絕 H0，F 越大，說明回歸方程越顯著； 與 F 對應的概率 p時拒絕 H0，回歸模型成立. 21例例1 解：解：1、輸入數據：輸入數據： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164; X=ones(16,1) x; Y=88 85 88 91 92

12、93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回歸分析及檢驗：回歸分析及檢驗： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats得結果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000即7194. 0,073.1610；0的置信區(qū)間為-33.7017，1.5612, 1的置信區(qū)間為0.6047,0.834;r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000p0.05, 可知回歸模型 y=-

13、16.073+0.7194x 成立.To MATLAB(liti11) 2021-10-14223、殘差分析，作殘差圖：、殘差分析，作殘差圖： rcoplot(r,rint) 從殘差圖可以看出，除第二個數據外，其余數據的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數據，而第二個數據可視為異常點. 4、預測及作圖：、預測及作圖：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)246810121416-5-4-3-2-101234Residual Case Order PlotResidualsCase Numbe

14、r返回返回To MATLAB(liti12) 2021-10-1423多多 項項 式式 回回 歸歸 （一）一元多項式回歸（一）一元多項式回歸 （1）確定多項式系數的命令：p，S=polyfit（x，y，m） 其中 x=（x1，x2，xn） ，y=（y1，y2，yn） ；p=（a1，a2，am+1）是多項式 y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1的系數；S 是一個矩陣，用來估計預測誤差.（2）一元多項式回歸命令：polytool（x，y，m）1、回歸：、回歸：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：（1）Y=polyval（p，x）求pol

15、yfit所得的回歸多項式在x處 的預 測值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回歸多項式在x處的預測值Y及預測值的顯著性為1- alpha的置信區(qū)間Y DELTA；alpha缺省時為0.5. 2021-10-1424 例例 2 觀測物體降落的距離s 與時間t 的關系，得到數據如下表，求s關于 t 的回歸方程2ctbtas.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014

16、/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48法一法一 直接作二次多項式回歸：直接作二次多項式回歸： t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）1329. 98896.652946.4892tts得回歸模型為 ： 2021-10-1425法二法二 化為多元線性回歸：化為多元線性回歸：t=1/30:1/30

17、:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)22946.4898896.651329. 9tts得回歸模型為 ：Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,k+,t,Y,r)預測及作圖預測及作圖To MATLAB(liti23) 2021-10-1426（二）多元二項式回歸（二）多元二

18、項式回歸命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05）n維列向量由下列 4 個模型中選擇 1 個（用字符串輸入，缺省時為線性模型）： linear（線性）：mmxxy 110 purequadratic（純二次）： njjjjmmxxxy12110 interaction（交叉）： mkjkjjkmmxxxxy1110 quadratic（完全二次）： mkjkjjkmmxxxxy,1110 2021-10-1427 例例3 設某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統(tǒng)計數 據如下，建立回歸模型，預測平均收入為1000、價格為6時 的商品需求量

19、.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300價格5766875439選擇純二次模型，即 2222211122110 xxxxy法一法一 直接用多元二項式回歸：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2; rstool(x,y,purequadratic) 2021-10-1428 在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”, 則bet

20、a、rmse和residuals都傳送到Matlab工作區(qū)中.在左邊圖形下方的方框中輸入1000，右邊圖形下方的方框中輸入6。 則畫面左邊的“Predicted Y”下方的數據變?yōu)?8.47981，即預測出平均收入為1000、價格為6時的商品需求量為88.4791. 2021-10-1429在Matlab工作區(qū)中輸入命令： beta, rmse得結果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362故回歸模型為：2221218475. 10001. 05709.261464. 05313.110 xxxxy剩余標準差為 4

21、.5362, 說明此回歸模型的顯著性較好.To MATLAB(liti31) 2021-10-1430X=ones(10,1) x1 x2 (x1.2) (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats結果為: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005法二法二To MATLAB(liti32)返回返回 2222211122110 xxxxy將 化為多元線性回歸： 2021-10-1431非線性回非線性回 歸歸 （1）確定回歸系數的命令： bet

22、a，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回歸：、回歸：殘差Jacobian矩陣回歸系數的初值是事先用m-文件定義的非線性函數估計出的回歸系數輸入數據x、y分別為 矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量。mn2、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回歸函數在x處的預測值Y及預測值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間Y DELTA. 2021-10-1432例例

23、 4 對第一節(jié)例2，求解如下：1、對將要擬合的非線性模型 y=axbe/，建立 m-文件 volum.m 如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2、輸入數據： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2;3、求回歸系數： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得結果：beta = 11.6036 -1.0641即得回歸

24、模型為：xey10641. 16036.11To MATLAB(liti41) 2021-10-14334、預測及作圖： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42) 2021-10-1434例例5 財政收入預測問題：財政收入與國民收入、工業(yè)總產值、農業(yè)總產值、總人口、就業(yè)人口、固定資產投資等因素有關。下表列出了1952-1981年的原始數據，試構造預測模型。 解解 設國民收入、工業(yè)總產值、農業(yè)總產值、總人口、就業(yè)人口、固定資產投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財政收入為y，設變

25、量之間的關系為：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解。 2021-10-14351 對回歸模型建立對回歸模型建立M文件文件model.m如下如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 2021-10-

26、14362. 主程序主程序liti6.m如下如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657

27、.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6） 2021-10-1437 betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6結果為結果為:返返 回回 2021-10-1438逐逐 步步 回回 歸歸逐步回歸的命令是：

28、 stepwise（x，y，inmodel，alpha） 運行stepwise命令時產生三個圖形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口，顯示出各項的回歸系數及其置信區(qū)間. Stepwise Table 窗口中列出了一個統(tǒng)計表，包括回歸系數及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計量剩余標準差（RMSE）、相關系數（R-square）、F值、與F對應的概率P.矩陣的列數的指標，給出初始模型中包括的子集（缺省時設定為全部自變量）顯著性水平（缺省時為0.5）自變量數據, 階矩陣mn因變量數據， 階矩陣1n 39例例6 水

29、泥凝固時放出的熱量y與水泥中4種化學成分x1、x2、x3、 x4 有關，今測得一組數據如下，試用逐步回歸法確定一個 線性模 型. 序號12345678910111213x17111117113122111110 x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.41、數據輸入：、數據輸入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56

30、31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4; 2021-10-14402、逐步回歸：、逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：）先在初始模型中取全部自變量： stepwise(x,y)得圖Stepwise Plot 和表Stepwise Table圖圖Stepwise Plot中四條直線都是虛中四條直線都是虛線，說明模型的顯著性不好線，說明模型的顯著性不好從表從表Stepwise Table中看出變中看出變量量x3和和x4的顯著性最差的顯著性最差. 2021-10-1441（2）在圖）在圖Stepwise Plot中點擊直線中點擊直線3和直線和直線4，移去變量，移去變量x3和和x4移去變量移去變量x3和和x4后模型具有顯著性后模型具有顯著性. 雖然剩余標準差（雖然剩余標準差（RMSE）沒）沒有太大的變化，但是統(tǒng)計量有太大的變化，但是統(tǒng)計量F的的值明顯增大，因此新的回歸模型值明顯增大，