自動控制原理第四章根軌跡法ppt課件

1、自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明第四章第四章 根軌跡法根軌跡法第一節(jié) 根軌跡與根軌跡方程一、 根軌跡 當系統(tǒng)的某個參數(shù)如開環(huán)增益K由0到變化時，閉環(huán)特征根在S平面上運動的軌跡。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明根軌跡舉例根軌跡舉例例： GK(S)= K/S(0.5S+1) = 2K/S(S+2) GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0 k s1 s2特征根：S1= -1+(1-2K)1/2S2 = -1-(1-2K)1/2 0.0 0 -2 0.5 -1 -1 1.0 -1+j -1-j-1+j-1-j自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明根軌跡

2、舉例根軌跡舉例 由此關(guān)系逐點描畫出K由0到變化時，閉環(huán)特征根在S平面上運動的軌跡-根軌跡。 根軌跡圖直觀地表示了參數(shù)K變化時，閉環(huán)特征根S1，S2所發(fā)生的變化。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明根軌跡舉例根軌跡舉例由上述根軌跡圖可知：1當開環(huán)增益由0到變化時，根軌跡均在S平面的左半部， 因此系統(tǒng)對一切K值都是穩(wěn)定的。2當0K0.5時，閉環(huán)特征根為實根，系統(tǒng)呈過阻尼狀 態(tài)，階躍呼應為非周期過程。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明根軌跡舉例根軌跡舉例3當K=0.5時，閉環(huán)特征根為重根，系統(tǒng)呈臨界阻尼形狀, 階躍呼應為非周期過程。4當K0.5時，閉環(huán)特征根為共軛復根，系統(tǒng)呈欠阻尼形狀， 階躍

3、呼應為衰減振蕩。5由于根軌跡的一個起點開環(huán)傳送函數(shù)的極點位于坐標原 點，所以系統(tǒng)為I型系統(tǒng)。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明二、根軌跡方程二、根軌跡方程 GB(S) = G(S)/1+G(S)H(S) 繪制根軌跡本質(zhì)上還是尋求閉環(huán)特征方程的根。特征方程: 1+G(S)H(S)= 0 根軌跡方程: Gk(S) = G(S)H(S) = -1 矢量方程 幅值條件: G(S)H(S)= 1 幅角條件: G(S)H(S) = (2K+1)自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明開環(huán)傳送函數(shù)的規(guī)范方式開環(huán)傳送函數(shù)的規(guī)范方式繪制根軌跡時開環(huán)傳送函數(shù)的規(guī)范方式： K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)

4、 G(S)H(S) = (S-P1)(S-P2)(S-Pn) 其中：K*根跡增益 Zm開環(huán)零點 Pn開環(huán)極點自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明開環(huán)傳送函數(shù)的規(guī)范方式舉例開環(huán)傳送函數(shù)的規(guī)范方式舉例例：將下面的開環(huán)傳送函數(shù)化成規(guī)范方式 10(5S+1) 10*5S+(1/5) 25/3(S+1/5) G(S)H(S)= = = - (2S+1)(3S+1) 2*3(S+1/2)(S+1/3) (S+1/2)(S+1/3) K = 10 開環(huán)增益 K* = 25/3 根跡增益 K* = K( P1 P2 Pn)/(Z1 Z2 Zm) 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡

5、的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么一、 根軌跡的分支數(shù) 根軌跡在S平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)。證明： n階特征對應有n個特征根。 當開環(huán)增益K由0到變化時，這n個特征根隨K變化必然會描畫出n條根軌跡。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么二、根軌跡對稱于實軸。證明： 閉環(huán)特征根假設為實數(shù)，那么必位于實軸上； 閉環(huán)特征根假設為復數(shù)，那么一定是以共軛方式成對出現(xiàn)。 所以根軌跡必對稱于實軸。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么三、根軌跡的起點和終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。假設開環(huán)極點數(shù)

6、n大于開環(huán)零點數(shù)m，那么有n-m條根軌跡終止于無窮遠. 證明： 由根跡方程： K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) G(S)H(S) = = -1 (S-P1)(S-P2)(S-Pn) 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么 (S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) - = -1/K* = -1/AK (S-P1)(S-P2)(S-Pn)其中：A= P1P2 Pn/Z1Z2 Zm起點：K=0， 1/AK=，上式中只需SPi時，等號才成立。起點開環(huán)極點SPi終點：K=， 1/AK=0，上式中只需SZi時，等號才成立。終點開環(huán)零點SZi自動控制原理自動控

7、制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么當nm時，只需m條根軌跡趨向于開環(huán)零點，還有n-m條？nm，S，有: (S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) -1 -1 - = = (S-P1)(S-P2)(S-Pn) K* AK 可寫成：左邊 = 1/Sn-m = 0當K=時，右邊 = 0 K=終點對應于S趨向無窮遠.即：有n-m條根軌跡終止于無窮遠。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么四、實軸上的根軌跡 實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零極點數(shù)目之和應為奇數(shù)。證明： 由幅角條件：G(S)H(S)= (2K+1) (S-Z1)(S-Z2

8、)(S-Zm)/(S-P1)(S-P2)(S-Pn) = (2K+1)自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么 一對共軛的開環(huán)復數(shù)極點或零點對S1(在實軸上的實驗點)的相角等值反號，相互抵消；而開環(huán)復數(shù)極點(或零點)又一定成對出現(xiàn)，所以實軸上的根軌跡與復數(shù)零(極)點無關(guān)。位于S1左邊的開環(huán)實數(shù)零(極)點引向S1的相角為0。位于S1右邊的開環(huán)實數(shù)零(極)點引向S1的相角為。只需實軸上某一區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零(極)點數(shù)目之和為奇數(shù)，才干滿足幅角條件。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么五、根軌跡的漸近線 如nm，那

9、么有n-m條根軌跡趨向于無窮遠，其方位可由漸近線決議。漸近線與實軸交點的坐標： a= (Pi-Zi)/(n-m)漸近線與實軸正方向的夾角：a= (2K+1)/(n-m)自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么證明： 實驗點在無窮遠處(Sn既在根軌跡上，也在漸近線上)?？梢砸詾殚_環(huán)零點和極點到達Sn的矢量的長度是相等的。對無窮遠處的實驗點Sn而言，一切的零極點都聚集到實軸上的一點a。a= Zi= Pi Pi-Zi = (n-m)a a= (Pi-Zi)/(n-m)自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么又： K*

10、(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) = -1 (S-P1)(S-P2)(S-Pn)當S時(實驗點設在無窮遠處): (n-m)S = (2K+1) S =a= (2K+1)/(n-m) 無窮遠處閉環(huán)極點的方向角，就是漸近線的方向角. 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么六、 根軌跡的起始角與終止角 起始角： 根軌跡起點處的切線與 程度線正方向的夾角。 m n P1=(2K+1)+(P1Zj)-(P1-Pi) i=1 i=1 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么六、 根軌跡的起始角與終止角 終止角： 根軌

11、跡終點處的切線與 程度線正方向的夾角。 n m Z1=(2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi) i=1 i=1 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么證明：由幅角條件，在實驗點S1(S1-Z1)-(S1-P1)-(S1-P2)-(S1-P3) = (2K+1)S1P1時：(S1-P1)=P1且：各零極點引向S1的向量 = 各零極點引向P1的向量可用P1替代S1P1= (2K+1)+(P1-Z1) -(P1-P2) -(P1-P3)P3Z1P1P2(P1-P2)(P1-Z1)P1自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根

12、本法那么推行之： m n P1= (2K+1)+(P1Zj)-(P1Pi ) i=1 i=1同理可證： m n Z1= (2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi) i=1 i=1自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么七、實軸上的分別點和會合點 根軌跡分開實軸的點實軸上的分別點。 根軌跡回到實軸的點實軸上的會合點。 分別會合點應該是特征方程的重根，分別會合點對應實軸上的最大最小K值。 分別會合點的求法： 令dK/dS=0，解出的S值即為分別會合點的坐標。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么八、根軌跡與虛軸的交

13、點 根軌跡與虛軸相交，意味著有閉環(huán)極點位于虛軸上，即特征方程有純虛根jw。 將S=jw代入特征方程： 1 + GjwHjw= 0 可分解為： Re1 + GjwHjw= 0 Im1 + GjwHjw= 0 可解出： w 與虛軸交點的坐標 K 交點處對應的K值臨界穩(wěn)定開環(huán)增益自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例例：GK(S)= K/S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1) 試繪制根軌跡。解： 化成規(guī)范方式： GK(S)= 400K/S(S+20)(S2+4S+20) = K*/S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4) K*=400K根跡增益 P1=0

14、，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例1 閉環(huán)有4個特征根根軌跡有4條分支。2 畫開環(huán)零極點分布圖。3 確定實軸上的根軌跡0，-20P1P2P3P4-20 0自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例4 漸近線 a= (Pi-Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0) = -6 a= (2K+1)/(n-m) K=0 a= 45 K=1 a= K=2 a= 225 K=3 a= 315-6自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉

15、例5 起始角p3=(2K+1)+(P3-Zi)-(P3-Pi) =(2K+1)-(P3-P1) -(P3-P2)-(P3-P4) =(2K+1)-116.5 -12.5-90 = -39P4= +39自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例6.分別點 由根跡方程： GK(S) = 400K/S(S+20)(S2+4S+20) = -1K= -S(S+20)(S2+4S+20)/400 = -(S4+24S3+100S2+400S)/400 dK/dS = -(4S3+72S2+200S+400)/400 令: dK/dS = 0 解得：S-15 ,即為分別點的坐標。自

16、動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例7根軌跡與虛軸的交點 特征方程：S(S+20)(S2+4S+20)+K*= 0 S4+24S3+100S2+400S+K*= 0 將S=jw代入： (jw)4 + 24(jw)3 + 100(jw)2 + 400(jw) + K* = 0 實部：w4 - 100w2 + K* = 0 虛部：-24w3 + 400w = 0 解得：w1= 0， w2，3=4.1, K* =1, K=3.47自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例0-6-154.1-4.1自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明第三節(jié)第三節(jié)

17、特殊根軌跡特殊根軌跡一、參數(shù)根軌跡 開環(huán)增益K為參變量繪出的根軌跡常規(guī)根軌跡。 以系統(tǒng)其它參數(shù)為參變量繪出的根軌跡參數(shù)根軌跡。 用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零極點的位置、時間常數(shù)、反響系數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 在繪制以K為參變量的常規(guī)根軌跡時是以系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)： 即: 1 + G(S)H(S) = 0 也可寫成: 1 + K(S-Zi)/ (S-Pi) = 0 或: 1 + K N(S)/ M(S) = 0 假設選擇系統(tǒng)的其它參數(shù)為參變量，那么只需把特征方程改動一 下方式，用所選的參數(shù)a替代K的位置: 1 + a

18、P(S)/ Q(S) = 0那么繪制規(guī)那么依然適用，可繪制出參數(shù)根軌跡。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明參數(shù)根軌跡舉例參數(shù)根軌跡舉例例: GK(S)= K/S(S+a) 試繪制以a為參變量的根軌跡K=1解： 特征方程：1 + K/S(S+a) = 0 進展代數(shù)變換：K = - S2 - aS S2 + K = - aS aS/(S2+K) = -1 1+aS/(S2+K) = 0 給定K值，就可畫出以a為參變量的根軌跡。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明參數(shù)根軌跡舉例參數(shù)根軌跡舉例K=1， GK(S) = aS/(S2+1)開環(huán)零點：Z1=0 開環(huán)極點：P1= +j，P2= -j 分

19、支數(shù)：2實軸上的根軌跡：整個負實軸。漸近線：a= (Pi-Zi)/(n-m) = (jj0)/(2-1) = 0 a = (2K+1)/(2-1) = 180 (K=0) 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明參數(shù)根軌跡舉例參數(shù)根軌跡舉例會合點： aS/(S2+1) = -1 a = -S - 1/S da/dS = -1 + 1/S2 = 0 S = 1 會合點一定在根軌跡上，S = 1舍。 會合點：S = -1自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明參數(shù)根軌跡舉例參數(shù)根軌跡舉例與虛軸交點： 特征方程：S2+aS+1=0 代入S = jw實部：-w2 +1= 0虛部：aw = 0解得：w1=0

20、 w2,3=1與虛軸交點自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明二、正反響回路的根軌跡二、正反響回路的根軌跡在某些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反響回路。 GB(S) = G(S)/1 G(S)H(S)特征方程：1 - G(S)H(S) = 0根跡方程：G(S)H(S) = 1比較負反響回路根軌跡的根跡方程：幅值條件不變，幅角條件變?yōu)? G(S)H(S) = 2K= 0正反響回路的根軌跡零度根軌跡。凡是由幅值條件推出的規(guī)那么不變。凡是由幅角條件推出的規(guī)那么有變。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明正反響回路的根軌跡正反響回路的根軌跡規(guī)那么四：實軸上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零極點數(shù) 目之和為偶數(shù).

21、規(guī)那么五：(n-m)條漸近線的方向角為： a= 2K/(n-m) 規(guī)那么六：根軌跡的起始角和終止角分別為： P1= 2K+(P1-Zi) -(P1-Pi) Z1= 2K+(Z1-Pi) -(Z1-Zi)自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明正反響回路的根軌跡舉例正反響回路的根軌跡舉例例：一單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為： GK(S) = K/(S+1)2(S+4)2 試繪制根軌跡。假設將負反響改為正反響，根軌跡將如何？解：負反響： P1,2= -1， P3,4= -4， n = 4， m = 0 分支數(shù)：4. 實軸上無根軌跡。 漸近線：a= (Pi-Zi)/(n-m) = -2.5 a= (2

22、K+1)/(n-m) = 45, , 225, 315自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明正反響回路的根軌跡舉例正反響回路的根軌跡舉例與虛軸交點：(S+1)2(S+4)2+ K = 0將S=jw代入實部：w4 - 33w2 + 16 + K = 0 虛部：-10w3 + 40w = 0解得：w =2， K = 100自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明正反響回路的根軌跡舉例正反響回路的根軌跡舉例正反響： 實軸上：整個實軸。 漸近線：a= (Pi-Zi)/(n-m) = -2.5 a= 2K/(n-m) = 0,90,180,270 分別點：特征方程：1- G(S)H(S) = 0 (S+1

23、)2(S+4)2 - K = 0 K = S 4 + 10S3 + 33S2 + 40S dK/dS = 4S3 + 30S2 + 66S + 40 = 0 解出分別點：S = -2.5自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明正反響回路的根軌跡舉例正反響回路的根軌跡舉例與虛軸交點： (S+1)2(S+4)2 - K = 0 代入S=jw 實部：w4 - 33w2 + 16 - K = 0 虛部：-10w3 + 40w = 0 解得：w = 0， K = 16自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明三三. 滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡包含有時間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)-滯后系統(tǒng). 閉環(huán)傳送函數(shù): C(s)

24、/R(s) = e-S G(s)/ 1+ e-S G(s)特征方程: 1+ e-S G(s) = 0 是復變量s的超越函數(shù), 有無窮多個特征根.G(S)e-S自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡根跡方程: e-S G(s) = -1 e-S = e-(+j) = e- e-j e-j= -(rad) = -57.3 G(S) = K(S-Zi)/(S-Pi)幅值條件: K S-Zie-/(S-Pi) = 1幅角條件:(S-Zi) - (S-Pi) =(2K+1) = 57.3 (2K+1) *180 由于幅值條件和幅角條件的變化, 繪制根軌跡的各項規(guī)那么將會遭

25、到影響.自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡規(guī)那么一: 根軌跡在S平面上的分支數(shù)有無窮多條. 仍有n條分支組成主根軌跡.規(guī)那么二: 根軌跡仍對稱于實軸.規(guī)那么三: 根軌跡的起點為開環(huán)極點和= -. 根軌跡的終點為開環(huán)零點和= . S-Zie- 1 - = - S-Pi K K= 0(起點)時, 只需滿足S = Pi和= -的條件 K= (終點)時, 只需滿足S = Zi和= 的條件自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡規(guī)那么四: 實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)開環(huán)零極點數(shù)目之和為奇數(shù). 幅角條件雖然多了一項57.3, 但對實軸:= 0,

26、 所以無變化.規(guī)那么五: 漸近線有無窮多條, 且都平行于實軸, 與虛軸的交點: = 180N/57.3 其中N值如表中所示.n-m起點漸進線終點漸進線奇數(shù)N=0, 2, 4, N= 1, 3,5, 偶數(shù)N= 1, 3,5, N=0, 2, 4, 自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡規(guī)那么五的證明: 漸進線(根軌跡)上取一點S=, 不是起點就是終點. 如為起點: = -; 如為終點: = . 這闡明漸進線與有限的實軸無交點. 即漸進線平行于實軸, 只與虛軸相交. 由幅角條件: (S-Zi) - (S-Pi) = 57.3+ (2K+1) *180 m*180-

27、n*180= 57.3+ (2K+1)*180 57.3= (n-m)*180+ (2K+1)*180 當n-m為奇數(shù)時: 2K*180 N*180 57.3= 2K*180 = - = - 即為漸進線與虛軸的交點. 57.3 57.3 同理可證n-m為偶數(shù)時漸進線與虛軸的交點.自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡規(guī)那么六:起始角和終止角 起始角: P1=(2K+1)180+(P1Zj)-(P1Pi)+ 57.3 終止角: Z1=(2K+1)180+(Z1Pi)-(Z1Zi)+ 57.3規(guī)那么七: 實軸上根軌跡的分別(或會合)點可由下面的方程求出 dK / d

28、S = 0規(guī)那么八: 主根軌跡與虛軸交點, 可用S=j代入根跡方程求解.自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例例: 設滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 GK(S) = K e-S/(S+1) 試繪制系統(tǒng)的根軌跡.解: 特征方程: 1 + K e-S/(S+1) = 0 由規(guī)那么三: 起點為P1= -1, = - 和起點漸進線. 終點趨向終點漸近線. 由規(guī)那么四: 實軸上(-1, -)區(qū)段存在根軌跡.自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例由規(guī)那么五: 終點漸近線為: 180N/57.3, 3*180N/57.3, 5*180

29、N/57.3, 起點漸近線為: 2*180N/57.3, 4*180N/57.3, 6*180N/57.3,自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例由規(guī)那么七: 實軸上的分別點 K= - eS(S+1) dK/dS = - eS -SeS eS = 0 S = - (1+) / (設=1, 分別點為: -2)由規(guī)那么八: 與虛軸交點為j(設=1), 代入到幅角條件 -(j+1)= 57.3180 解得: = 2.03 主根軌跡與虛軸交點為 j2.03.自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例終點漸近線終點漸近線j-1主

30、根軌跡-20起點漸近線起點漸近線終點漸近線終點漸近線自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明第四節(jié)第四節(jié) 系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系 系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布-根軌跡. 階躍呼應-性能目的一、用閉環(huán)零極點表示的階躍呼應解析式 設n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為： K*(S-Zi) Zi-閉環(huán)零點 GB(S) = (S-Si) Si-閉環(huán)極點 階躍輸入：r(t)=I(t), R(S)=1/S 有: K*(S-Zi) 1 H(S) = * (S-Si) S自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系假設GB(S

31、)中無重極點，那么： H(S) = A0/S + A1/(S - S1) + + An/(S- Sn) K*(-Zi) K*(SK-Zi) 其中: A0= AK= (-Si) (SK-Si) SK閉環(huán)極點； Zi閉環(huán)零點； Si閉環(huán)極點(不包括SK) 單位階躍呼應: h(t)= A0 +Ak * eSkt 系統(tǒng)的單位階躍呼應由閉環(huán)極點SK及系數(shù)AK決議，而系數(shù)AK也與閉環(huán)零極點的分布有關(guān)。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系二、閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的定性關(guān)系 1要求系統(tǒng)穩(wěn)定，一切閉環(huán)極點Si均應位于S平面的左 半部。 2

32、要求系統(tǒng)快速性好，那么應使階躍呼應式中的每個瞬態(tài) 分量eSkt衰減得快，閉環(huán)極點SK應遠離虛軸。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)零極點分布與階躍呼應的關(guān)系3要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，那么復數(shù)極點最好設置在S平面中與負 實軸成45夾角線附近。 COS=Wn/Wn = =45, =0.707(最正確阻尼比) 4. 要求動態(tài)過程盡快消逝，那么系數(shù)AK要小對應的瞬態(tài)分量 小 AK的分子小閉環(huán)零點接近極點成對接近， AK的分母大極點間的間距要大。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明三、主導極點和偶極子三、主導極點和偶極子 離虛軸最近的閉環(huán)極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

33、最大，起著主要的作用，稱之為主導極點。 主導極點與非主導極點的實部應相差6倍以上。 往往只用主導極點把高階系統(tǒng)近似看成是一階或二階系統(tǒng)來估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明主導極點和偶極子主導極點和偶極子 將一對靠得很近的閉環(huán)零極點稱為偶極子。 當SK與Zi靠得很近時，對應的AK很小，h(t)中的這個分量可以忽略。 可以有認識地在系統(tǒng)中參與適當?shù)牧泓c，和某些不利極點構(gòu)成偶極子，以抵消其對動態(tài)過程的不利影響。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的例：知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為： GK(S) = K/S(S+1)

34、(0.5S+1) 試運用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導極 點具有阻尼比=0.5時的性能目的。自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的解： GK(S) = K/S(S+1)(0.5S+1) = 2K/S(S+1)(S+2) = K*/S(S+1)(S+2)1作根軌跡圖 三條根軌跡。 實軸上: (0，-1)，(-2，-)為根軌跡。 漸近線：a= (Pi-Zi)/(n-m) = (-1-2)/(3-0) = -1 a= (2K+1)/(n-m) = 60，-60，180自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明利用主導極點估算系統(tǒng)的性能

35、目的利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的分別點： K = - S(S + 1)(S + 2)/2 = - (S3 + 3S2 + 2S)/2 dK/dS = -3S2 + 6S + 2 = 0 解出：S1= -0.423, S2= -1.58(不在根軌跡上，舍)與虛軸交點： 特征方程：S3 + 3S2 + 2S + K* = 0代入S=jw(jw)3 + 3(jw)2 + 2(jw) + K* = 0自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的 實部：-3w2 + K* = 0虛部：-w3 + 2w = 0解得： w1= 0, K=0 w2,3=

36、 1.414, K*=6， K=32分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 當開環(huán)增益K3時，根軌跡有兩條分支伸向S平面的右半部，這時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因此使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是：0K3。-2-10W=1.414 K=3自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的3. 根據(jù)對阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導極點S1，S2的位置= 0.5， = COS-1= 60 阻尼線阻尼線與根軌跡的交點為S1， 從圖中可得 S1= -0.33 + j0.58 S2= -0.33 - j0.58求與S1對應的開環(huán)增益： |GK(S)|=1 代入S = -0.33 + j0.58 |-0.33+j0.58|-0.33+j0.58+1|-0.33+j0.58+2| = 2K解得: K = 0.525 (根軌跡上某點對應的K值)0.58-0.33S1阻尼線S2S3-2.34自動控制原理自動控制原理 蔣大明蔣大明利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的利用主導極點估算系統(tǒng)的性能目的確定S