一類線性變換多項式的維數(shù)特征

1、一類線性變換多項式的維數(shù)特征 摘要：本文給出了一類線性變換多項式的維數(shù)特征定理，將該定理應(yīng)用于矩陣多項式的秩問題，獲得或推廣了現(xiàn)行文獻中許多結(jié)果。本文的主要結(jié)果是：定理1設(shè)，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則的充分必要條件是.定理2設(shè)，兩兩互素，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換.則.關(guān)鍵詞：矩陣的秩；矩陣多項式；線性變換A kind of linear substitution multinomial dimension characteristicSun Tian( Department of Mathematics, Xiaogan University )Abstract: This

2、article has produced a kind of linear substitution multinomial dimension characteristic theorem, applies this theorem in the matrix multinomial order question, obtained or has promoted in the present literature many results The main results of this paper are: Theroem1 soppose ，is on number field P a

3、 n Uygur linear space V linear substitution,then is the full essential condition of Theroem2 Let ,If are coprime. is on number field P a n Uygur linear space V linear substitution.Then .Key words: rank of matrix; matrix polynomial;linear transformation引言與主要結(jié)果在近幾年的一些重點院校數(shù)學專業(yè)研究生入學考試中，經(jīng)常出現(xiàn)下列一類試題：1設(shè)是數(shù)域上

4、維線性空間上的一個線性變換，用表示上的恒等變換，證明.（北京大學2005）2設(shè)是階矩陣，是階單位陣，證明：的充分必要條件是其中表示矩陣的秩.（重慶大學2001）3.設(shè)是階矩陣，證明為冪等矩陣當且僅當. （華中科技大學2004）4設(shè)是階矩陣，證明：的充分必要條件是. （四川大學2000）以上命題中必要性的證明相對容易一些，充分性的證明在目前國內(nèi)流行的兩種版本（北大版與北師大版）的高等代數(shù)教材中沒有涉及到，考生往往感到無從下手。對于這類問題的討論，在高等代數(shù)教科書上，也只是在習題中出現(xiàn)過以下結(jié)論：結(jié)論1設(shè)階矩陣滿足，則.結(jié)論2設(shè)階矩陣滿足，則.實際上結(jié)論1、結(jié)論2的逆命題也成立，它們刻畫了冪等矩陣

5、與對合陣的秩特征，但對其逆命題及證明問題，一般很少有資料或文獻所涉及.本文將對以上結(jié)果進行推廣，得到一個更一般的定理，并將該結(jié)論應(yīng)用于線性變換或矩陣多項式，較簡單的獲得現(xiàn)行文獻18中許多結(jié)果.本文的主要結(jié)果是：定理1設(shè)，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則的充分必要條件是.定理2 設(shè)，是數(shù)域上維線性空間上一個線性變換，則.定理3 設(shè)兩兩互素，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則.定理4設(shè)，兩兩互素，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換.則.本文中用表示單位矩陣，表示線性空間的恒等變換，表示線性變換的核，表示線性變換的象，表示.引理及定理證明引理1設(shè)，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則.證明因為，

6、所以存在，使得，則，這里是線性空間的恒等變換.設(shè)，下證：設(shè)，則，由上式得.記，則. 由，得，同理得到，故，即得又易知，故，于是.再證：，則，那么，即，所以.定理的證明由引理1得到：.于是.(必要性)若，則注意到:與即得.(充分性)若，則，于是.在文獻7中，對矩陣秩的一個重要不等式，給出了它取等號的一個充分必要條件，即下面的引理2，借助該引理，我們可以把定理1推廣成一個更一般的結(jié)果（前文的定理2）：引理27設(shè)、分別為和矩陣，則的充分必要條件為存在矩陣、，使得.定理2的證明設(shè)為的一組基，在該基下的矩陣為，則、在該基下的矩陣分別為、，而且、及因為，所以存在，使得，則，由引理2，得于是.推論1 設(shè)，則

7、.推論2 設(shè)兩兩互素，則.定理3的證明因為，由定理2，得，所以-=-即得+=)+.定理4的證明對作歸納：時由定理2即知結(jié)論成立，假設(shè)結(jié)論對成立.由于兩兩互素，令，則與也互素，由歸納法假設(shè)，得于是由定理2及上式，得.結(jié)果應(yīng)用下面將利用我們的結(jié)果（定理1-定理4），把國內(nèi)近期一些文獻中許多結(jié)果統(tǒng)一起來，重新給出其推導，其方法較相關(guān)文獻更簡單，某些結(jié)果較原結(jié)論更優(yōu).為行文方便，下面的一些結(jié)論以命題形式給出：命題1設(shè)，則的充分必要條件是.證明由推論1即得.注在本命題的相同條件下，文獻2僅得到：我們通過命題1把它推廣成一個充分必要條件.命題2 設(shè)，兩兩互素，且，則.證明把定理4關(guān)于線性變換的結(jié)果轉(zhuǎn)化為矩

8、陣的相應(yīng)結(jié)果，得到并注意到，于是有，推論3得證.注本結(jié)果比文獻2中定理3的相應(yīng)結(jié)論更為精確.命題3設(shè)是階方陣，是的特征多項式或最小多項式，而是矩陣的所有互不相同的特征值，則.證明記，則，而且兩兩互素，若是的特征多項式或最小多項式，由哈密爾頓定理或最小多項式定義，得，于是由命題2得.注本結(jié)果比文獻2中問題3的相應(yīng)結(jié)論更為精確.命題41 設(shè)皆為自然數(shù)， 對任意，有（1）特別當時有（2）證明注意到，由定理2或推論1，則有如下等式即得-=-，亦即.特別當時有.注在文獻1中，作者是先利用Schur補給出矩陣秩的一個基本關(guān)系式： 然后結(jié)合矩陣廣義逆的性質(zhì)獲得（1）與（2）的，本文方法更顯初等、簡單一些.命

9、題51設(shè)，則為三冪等陣（即）的充分必要條件是.（3）證明因為是兩兩互素，根據(jù)定理2及定理4，有 （4） （5） （6）由（4）、（5）、（6）得 （7）故.注文獻1得到矩陣秩關(guān)系式是為三冪等陣的一個必要條件，文獻7中證明了它還是一個充分條件，這里我們用較簡單的方法重新給出了證明，而且獲得了一個更一般的秩關(guān)系式:.命題6設(shè)是數(shù)域上維線性空間的線性變換，則下列命題等價:() ，是恒等變換；() 的特征值只能是1或的-1,且V=分別是屬于特征值1與-1的特征子空間；() .證明由及定理2，得則，() 的等價性參見5或10，這里從略.致謝：在撰寫本文時，得到胡付高副教授的悉心指導，在此表示衷心的感謝！

10、 參考文獻1 史及民.關(guān)于schur補應(yīng)用的注記J.應(yīng)用數(shù)學學報,Vl.25 No.2 Apr.20022 蔣永泉.互素多項式在矩陣中的應(yīng)用J.徐州師范大學學報,Vol.22,No.3 Sep.20043 方曉華.用維數(shù)公式證明有關(guān)矩陣的等式J.重慶師范大學學報,Vol.20 No4 Dec.20034 郭華.實冪等矩陣的幾個等價條件J.渝州大學學報J,Vol.18 No.2 Jun20045 張樹青,王曉靜.線性空間的冪等變換與對合變換的幾個等價表示J,煙臺師范學院報,2004,20(1):4-56 許甫華.線性映射方法在矩陣理論和運算中的應(yīng)用J,大學數(shù)學,Vol20.No.1 Feb.2oo47 胡付高.關(guān)于一類矩陣秩的恒等