“等時(shí)圓”物理專題(共15頁)

1、妙用“等時(shí)圓”解物理問題一、什么是“等時(shí)圓”圖12004年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得，圖2 再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 設(shè)下滑時(shí)間為，則 由以上三式得， 可見下4滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。由此題我們

2、可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。(1)物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)時(shí)間均相等，且為t2(如圖甲所示)(2)物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點(diǎn)的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時(shí)間相等為t2(如圖乙所示)象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：圖a 圖b一、 等時(shí)圓模型（如圖所示）二、 等時(shí)圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的

3、交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時(shí)間，即 （式中R為圓的半徑。）三、等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為，位移為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長短無關(guān)。規(guī)律AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，A點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，D點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)光滑的小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從A處由靜止開始釋

4、放，到達(dá)圓周上所用的時(shí)間是相等的，與桿的長度和傾角大小都無關(guān). 推導(dǎo)圖3A設(shè)圓環(huán)沿細(xì)桿AB滑下，過B點(diǎn)作水平線構(gòu)造斜面，并設(shè)斜面的傾角為，如圖2所示，連接BD.根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin，由幾何關(guān)系有AB=x=2Rsin，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有x=12at2，解得：環(huán)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，所以環(huán)沿不同細(xì)桿下滑的時(shí)間是相等的.說明1 如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2Rsin=12（gsingcos）t2，解得t=2Rsingsingcos=2Rggcot，增大，時(shí)間t減小，規(guī)律不成立.二、“等時(shí)圓”的應(yīng)用,巧用等時(shí)圓模型解題對于涉及豎直面

5、上物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比較、計(jì)算等問題可考慮用等時(shí)圓模型求解1、 可直接觀察出的“等時(shí)圓”例1：如圖3，通過空間任一點(diǎn)A可作無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。圖8【變式訓(xùn)練1】如圖所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個(gè)相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一個(gè)重物先后沿斜槽從靜止出發(fā)，從A滑到B和從C滑到D，所用的時(shí)間分別等于t1和t2，則t1和t2

6、之比為()A21 B11 C.31 D12例4：圓O1和圓O2相切于點(diǎn)P，O1、O2的連線為一豎直線，如圖8所示。過點(diǎn)P有兩條光滑的軌道AB、CD，兩個(gè)小物體由靜止開始分別沿AB、CD下滑，下滑時(shí)間分別為t1、t2，則t1、t2的關(guān)系是（）A.t1t2 B.t1=t2 C.t1 ta ；c做自由落體運(yùn)動(dòng)tc= ；而d球滾下是一個(gè)單擺模型，擺長為R，td= ，所以C正確。tbtatdtc.解【析】如圖所示，令圓環(huán)半徑為R，則c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)用時(shí)滿足Rgt，所以tc ；對于a球令A(yù)M與水平面成角，則a球下滑到M用時(shí)滿足2Rsin gsin t，即ta2；同理b球從B點(diǎn)下滑到M點(diǎn)用時(shí)也滿足t

7、b2(r為過B、M且與水平面相切于M點(diǎn)的豎直圓的半徑，rR)綜上所述可得tbtatc.三個(gè)相同小球從a點(diǎn)沿ab、ac、ad三條光滑軌道從靜止釋放，哪個(gè)小球先運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)？解析：設(shè)斜面?zhèn)冗呴L為，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為，物體的位移為。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，圖1得， 、一定，所以越大時(shí)，下滑所用時(shí)間越短 奇妙的等時(shí)圓2004年全國高考理科綜合第15題的解析與應(yīng)用從一道高考題得到的一個(gè)重要結(jié)論及其應(yīng)用2004年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一

8、個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2，由牛頓第二定律得， 由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 圖3圖2設(shè)下滑時(shí)間為，則 由以上三式得， 可見下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。圖4若將圖1倒置成圖3的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。物體沿著位于同一豎直圓上的過頂點(diǎn)的所有光滑弦

9、由靜止下滑，到達(dá)圓周低端的時(shí)間相等。我們把這兩種圓叫做“等時(shí)圓”，下面舉例說明“等時(shí)圓”的應(yīng)用。例1：如圖4所示，通過空間任一點(diǎn)A可作無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定解：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。圖5圖6例2：兩光滑斜面的高度都為h，甲、乙兩斜面的總長度都為l，只是乙斜面由兩部分組成，如圖5所示，將兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角處的能量損失，問哪一個(gè)球先到達(dá)斜面底端？解：構(gòu)想一輔助圓如圖6所示

10、：在AF上取一點(diǎn)O，使OA=OC，以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，此圓交AD于E點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，由機(jī)械能守恒定律可知：，所以。又因?yàn)閮尚泵娴目傞L度相等，所以，根據(jù)得，所以有，即乙球先到達(dá)斜面底端。圖11圖122.在離坡底B為10cm的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高OA也是10cm。桿的上端A到坡底B之間有鋼繩，一穿心于鋼繩上的物體（如圖11）從A點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時(shí)間（g=10m/s2）AOBC30 圖1答案：如圖12，把AO延長到C，使OC=OA=10cm，則點(diǎn)O到A、B、C三點(diǎn)的距離相等。以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則B、C一定在該圓的圓周上，由結(jié)論可

11、知，物體從A到B的時(shí)間與從A到C的時(shí)間相等，即s?！纠?】傾角為30的長斜坡上有C、O、B三點(diǎn)，CO = OB = 10m，在C點(diǎn)豎直地固定一長10 m的直桿AO。A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn)由靜止開始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC和tAB分別為（取g = 10m/s2）圖2AOBC30 12D A2s和2s B 和 2s C和4s D4s 和解析：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三點(diǎn)共圓，O為圓心。又因直桿AO豎直，A點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖2所示。兩球由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“

12、等時(shí)圓”條件。設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為1、2，該圓半徑為r，則對鋼球均有解得：, 鋼球滑到斜坡時(shí)間t跟鋼繩與豎直方向夾角無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間。代入數(shù)值得t=2s，選項(xiàng)A正確。ABPHhO圖52、運(yùn)用等效、類比自建“等時(shí)圓”圖6ABPHhOO1例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h，B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。如圖

13、6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為： 所以 OABLLD圖2例2：如圖2，在斜坡上有一根旗桿長為L，現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時(shí)間?！窘馕觥浚嚎梢砸設(shè)為圓心，以 L為半徑畫一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時(shí)間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端D的時(shí)間，所以有例2、在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB，如圖所示，BD為水平地面，ABD三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m 一小球套在桿上自A端滑到B端的時(shí)間為：（ B ）A 0.1s B 0.2s C D s解析：以C為圓心作一個(gè)參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與自A到B自由落體

14、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。即AE=2R=0.2mAE=gt t=0.2s4、如圖4所示，在離坡底15m的山坡上豎直固定一長15m的直桿AO，A端與坡底B間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求其在鋼繩上滑行的時(shí)間t。例5、圖甲是某景點(diǎn)的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分AE滑行的時(shí)間技術(shù)人員通過測量繪制出如圖乙所示的示意圖AC是滑道的豎直高度，D點(diǎn)是AC豎直線上的一點(diǎn)，且有ADDE10 m，滑道AE可視為光滑，滑行者從坡頂A點(diǎn)由靜止開始沿滑道AE向下做直線滑動(dòng)，g取10 m/s2，則滑行者在滑道AE上滑行的時(shí)間為()A. sB2 sC. s D2 s【解析】AE兩點(diǎn)

15、在以D為圓心、半徑為R10 m的圓上，在AE上的滑行時(shí)間與沿AD所在的直徑自由下落的時(shí)間相同，t 2 s，選B.例4、如圖所示，圓弧AB是半徑為R的圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下不計(jì)小物體在B點(diǎn)的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為.求：小物體在BD上下滑過程中重力做功的平均功率【解析】由動(dòng)能定理可知小物體從D到C有WGmgL0，所以WGmgL圖7由等時(shí)圓知識可知小物體從D到B的時(shí)間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B點(diǎn)的時(shí)間，即為t ，所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P.例3：

16、如圖7，一質(zhì)點(diǎn)自傾角為的斜面上方的定點(diǎn)O沿光滑斜槽OP從靜止開始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)滑到斜面的時(shí)間最短，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解：如圖7，作以O(shè)P為弦的輔助圓，使圓心O/與O的連線在豎直線上，且與斜面相切于P點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，唯有在O點(diǎn)與切點(diǎn)P點(diǎn)架設(shè)的斜槽滿足題設(shè)條件，質(zhì)點(diǎn)沿其它斜槽滑至斜面的時(shí)間都大于此時(shí)間。由圖可知，又為等腰三角形，所以。PAB圖8CO 例4：如圖7， AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？AB圖7P解析：借助“等時(shí)圓”，可以過P

17、點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點(diǎn)，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原MP圖7料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2?！纠?】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點(diǎn)P到固定斜面(傾角為)搭建一條光滑軌道PM，使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到斜面的時(shí)間最短，則此軌道與豎直線的夾角為多少？MP圖8Dh解析：先用解析法求解。從定點(diǎn)P向斜面作垂線，垂足為D，如圖8所示，設(shè)P到斜面距離為h，則軌道長度為物體沿軌道下滑的加速度由

18、于聯(lián)立解得：令根式中分母，利用積化和差得：，一定，當(dāng)時(shí)，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑的時(shí)間t最小。再用“等時(shí)圓”作圖求解。以 定點(diǎn)P為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可表示為圖9P 1M1M22PM2甲乙物體沿軌道下滑的加速度由于，故得：，欲t最小，則須“等時(shí)圓”的半徑r最小。顯然，半徑最小的“等時(shí)圓”在圖中與斜面相切于M2點(diǎn)，如圖9中乙所示。再根據(jù)幾何關(guān)系可知：。在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時(shí)間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時(shí)圓”，避免了用解析法求解的復(fù)雜計(jì)算。圖5 例4：如圖5所示，在傾角為

19、的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口A。為了使貨物從靜止開始，由A點(diǎn)沿光滑斜槽以最短的時(shí)間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多少？【解析】：如圖6所示，首先以發(fā)貨口A點(diǎn)為最高點(diǎn)作一個(gè)圓O與傳送帶相切，切點(diǎn)為B，然后過圓心O畫一條豎直線，而連接A、B的直線，就是既過發(fā)貨口A，又過切點(diǎn)B的惟一的弦。PHL圖10 根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律，貨物沿AB弦到達(dá)傳送帶的時(shí)間最短。因此，斜槽應(yīng)沿AB方向安裝。AB所對的圓周角為圓心角的一半，而圓心角又等于，所以。如圖3所示，在一個(gè)坡面與水平面成=40角的山坡AB的腳下A處有一個(gè)高塔，為防止意外，需要在塔頂O與山坡之間搭一個(gè)滑道，以便塔上的人能盡快沿滑道滑到山坡上.假

20、設(shè)滑道光滑，試求滑道與山坡坡面AB的夾角多大？解析 如圖4所示，過O點(diǎn)作一條水平線與山坡交于B點(diǎn)，過B點(diǎn)作ABO的角平分線，交過O點(diǎn)作的豎直線于點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心、OC為半徑作圓與山坡相切于點(diǎn)D，連接OD、CD.圖6根據(jù)上述結(jié)論可知：人從O點(diǎn)出發(fā)沿滑道到達(dá)圓上的時(shí)間是相等的，沿滑道O已到達(dá)山坡，沿其他滑道還要再走一段距離才能到達(dá)山坡，所以人沿滑道OD到達(dá)山坡所用時(shí)間最短，此時(shí)夾角=90=70.另解 如圖5所示，過點(diǎn)O作山坡的垂線OD，設(shè)其長度為x.過點(diǎn)O畫直線OE，作為滑道，設(shè)其與豎直方向的夾角為.由幾何知識可知滑道的長度OE=xcos（），由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得人運(yùn)動(dòng)的加速度為a=gsin（9

21、0），由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有xcos（）=12gcost2，解得t=2xgcoscos（），其中coscos（）=12cos+cos（2），所以當(dāng)2=40時(shí)，時(shí)間取得最小值，此時(shí)夾角=90=70.3、 “形似質(zhì)異”問題的區(qū)分如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（ ）圖1xymgA.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立

22、坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得， 再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 設(shè)下滑時(shí)間為，則 圖2由以上三式得， 可見下4滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：【例1】還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？aObcd圖3解析：

23、bd的長為2Rcos，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos-gsin，tbd=2?？梢妕與有關(guān)?！纠?】如圖3所示，Oa、Ob、Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c四點(diǎn)位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c為最低點(diǎn)，每根桿上套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)都從圖中O點(diǎn)無初速釋放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的時(shí)間，則A BcbadOefg圖4C D. 解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會(huì)落入“陷阱”，錯(cuò)選A。必須注意，“等時(shí)圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)（或終點(diǎn)）應(yīng)在“等時(shí)圓”的最高（或最低）點(diǎn)。題圖中O不是最高點(diǎn)，題設(shè)

24、圓不是“等時(shí)圓”?，F(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為最高點(diǎn)，取合適的豎直直徑Oe，作“等時(shí)圓”交Ob于b，如圖4所示，顯然，O到f、b、g、e才是等時(shí)的，比較圖示位移OaOf，OcOg，故可推知，正確的選項(xiàng)是B。C圖5D【例3】如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OD為水平線，圓周上有三根互成的光滑桿、，每根桿上套著一個(gè)小球（圖中未畫出）?，F(xiàn)讓一個(gè)小球分別沿三根桿頂端無初速下滑到O,所用的時(shí)間分別為、，則（ ）BCB/C/圖6DA B C D 無法確定解析：題設(shè)圖中O點(diǎn)不在圓的最低點(diǎn)，故不是“等時(shí)圓”。延長OA，過B作B/BBO，則O、B、B/在同一圓周上，B/處自由下落到O的時(shí)間和小球沿光滑桿由B無初速滑到O的時(shí)間相

25、同。同理，過C作C/CCO，則O、C、C/在同一圓周上，C/處自由下落到O的時(shí)間和小球沿光滑桿由C無初速滑到O的時(shí)間相同。C/、B/、A自由下落到O的時(shí)間依次遞減，故選項(xiàng)B正確。3 延伸如圖6所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點(diǎn)為圓周的圓心，A點(diǎn)不是圓的最高點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)光滑小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)B、C、D所用的時(shí)間，則三個(gè)時(shí)間的關(guān)系是什么？解析 A不在圓的最高點(diǎn)，前面的結(jié)論直接用是不行的.可以采用如下的方法解決.如圖7所示，過點(diǎn)A作豎直線交AB的垂直平分線于點(diǎn)O1，以

26、O1為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長線于C1、D1.在圓ABC1D1中用前面的結(jié)論可知 ，所以t1t2.不可以根據(jù)CC1另解 假設(shè)圓的半徑為R，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系.連接AO并假設(shè)其與x軸的夾角為，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（Rcos，Rsin）.設(shè)直線AB與x軸的夾角為，則直線AB的斜率為k=tan，直線AB的方程為ysin=tan（xcos），整理變形有xtany+sintancos=0，由數(shù)學(xué)知識可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為OE=|sintancos|1+tan2，由幾何知識解得BE2=R2（1sin2+tan2cos22sincostan1+tan2），整理得B

27、E=（coscos+sinsin）R，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2BE=12gsint2，解得小環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=4R（coscos+sinsin）gsin=4Rg（coscot+sin），所以增大，時(shí)間減小，t1t2t3.當(dāng)式中=90時(shí)，t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，就是前面推導(dǎo)的等時(shí)圓規(guī)律.說明2 如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為.環(huán)處于加速下滑的條件是2BE=12（gsingcos）t2，解得環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=4R（coscos+sinsin）gsingcos，變形為t=4Rg（costan+sin1tan），圖9由此式可知：增大，時(shí)間t減小，即t1

28、t2t3.當(dāng)式中=90或=90、=0時(shí)，時(shí)間t=2Rg.可見等時(shí)圓規(guī)律適用的條件是：細(xì)桿光滑、A點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)或最低點(diǎn). 四、比較應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題圖10如圖9，底邊為定長b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需要多少時(shí)間？答案：用作圖求解。如圖10，以b為半徑、O為圓心作一個(gè)圓，作出圓的一條豎直切線MN，于圓切于D點(diǎn)。A點(diǎn)為所作圓的最低點(diǎn)。由圖可看出：從MN上不同的點(diǎn)由靜止滑到A點(diǎn)，以DA時(shí)間為最短。（由“等時(shí)圓”可知，圖中E/、D、C/各點(diǎn)到達(dá)A的時(shí)間相等。）所以小球從底邊b為定長的光滑直角斜面上滑下時(shí)以45的時(shí)間為最少，而且此時(shí)間與球從P點(diǎn)自由下落到圓最低點(diǎn)的時(shí)

29、間相等。所以。2. 有三個(gè)光滑斜軌道1、2、3，它們的傾角依次是600，450和300，這些軌道交于O點(diǎn)現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個(gè)小物體甲、乙、丙，分別沿這3個(gè)軌道同時(shí)從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點(diǎn)的先后順序是 BA.甲最先，乙稍后，丙最后 B.乙最先，然后甲和丙同時(shí)到達(dá)C.甲、乙、丙同時(shí)到達(dá) D.乙最先，甲稍后，丙最后解析：設(shè)斜面底邊長為，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為，物體的位移為。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，得， 、一定，所以當(dāng)時(shí)， 2、如圖9，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊

30、與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則 （ ） aObcA、a處小孩最先到O點(diǎn) B、b處小孩最先到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn) D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsint2，t2=，當(dāng)=450時(shí)，t最小，當(dāng)=300和600時(shí)，sin2的值相等。 例3：如圖3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（2l）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨

31、水流下的最短時(shí)間是多少？圖3【解析】：方法一：如圖所示，設(shè)斜面底邊長為，傾角為，則雨滴沿光滑斜面下淌時(shí)加速度為，雨滴的位移為。雨滴由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，得， 、一定，所以當(dāng)時(shí)， 圖4方法二（等時(shí)圓）：如圖4所示，通過屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫一個(gè)圓與AC、BC相切。然后，畫傾角不同的屋頂、從圖4可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時(shí)圓”規(guī)律，雨水沿運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為而屋頂?shù)膬A角則為【例6】在豎直平面內(nèi)，固定一個(gè)半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為O，在圓內(nèi)與圓心O同一水平面上的P點(diǎn)搭一光滑斜軌道PM到

32、大環(huán)上，如圖13所示，=dR。欲使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時(shí)間最短，求M點(diǎn)位置（用OM與水平面的夾角的三角函數(shù)表達(dá)）。OPMd圖13解析：若用解析法求解，軌道長度由余弦定理求得設(shè)軌道PM與水平面夾角為，則物體沿軌道下滑的加速度由正弦定理得：OPMdO/r圖14又 聯(lián)立以上四個(gè)方程，有、a和t五個(gè)變量，可以建立起下滑時(shí)間t與OM傾角之間的函數(shù)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。如果改用“等時(shí)圓”作圖求解，以定點(diǎn)P為最高點(diǎn)，可作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”， 所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上。其中，剛好與大環(huán)內(nèi)切的“等時(shí)圓”半徑最小，如圖14所示，該“等時(shí)圓”的圓心O