第10章結構動力學

1、普通高等學校土木工程專業(yè)精編系列規(guī)劃教材結構力學主編 丁克偉目錄下頁上頁 10 10 結構動力學結構動力學 目錄10.1 結構動力學計算基本概念10.2 自由度結構自由振動10.3 簡諧荷載作用下的單自由度體系受迫振動10.4 一般荷載作用下的單自由度體系受迫振動下頁上頁目錄 10.1.1 概述 前面各章討論的是結構的靜力計算問題，即結構在靜力荷載作用下的內(nèi)力和計算問題；現(xiàn)在我們進一步研究動力荷載對結構的影響。 由于動力荷載作用產(chǎn)生的內(nèi)力和位移，稱為動內(nèi)力和動位移，它們不僅是位移的函數(shù)，也是時間的函數(shù)。動內(nèi)力與動位移統(tǒng)稱為動力反應。學習結構動力學，就是為了確定結構的動力反應在動荷載作用下隨時間

2、改變的規(guī)律，從而求出最大值作為我們設計的依據(jù)。結構的動力反應與自身的特性有著密切的聯(lián)系，而結構的自振頻率、振型和阻尼系數(shù)等正是反映結構動力特性的指標。在接下來的本章學習中，我們將逐步學習幾種常見的結構動力反應。下頁上頁1010. .1 1 結構動力計算基本概念目錄10.1.2 動力荷載的分類 工程中常見的動力荷載有以下幾類： （1）周期荷載。這是指隨時間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦（或余弦）規(guī)律改變大小則稱為簡諧周期荷載，通常也稱為震動荷載，如圖10-1所示。例如具有旋轉部件的機器在等速運轉時其偏心質量產(chǎn)生的離心力對結構的影響就是這種荷載。圖10-1 周期荷載下頁上頁目錄 （2）沖擊荷

3、載。這是指很快地把全部量值加于結構而作用時間很短即行消失荷載，這種荷載在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小，如圖10-2。例如打樁機的樁錘對樁的沖擊、各種爆炸荷載等。圖10-2 沖擊荷載下頁上頁目錄 （3）突加荷載。在一瞬間施加于結構上并繼續(xù)留在結構上的荷載，如圖10-3。例如吊重物的起重機突然啟動時施加于鋼絲繩的荷載就是這種突加荷載。圖10-3 突加荷載下頁上頁目錄 （4）快速移動荷載。例如高速通過橋梁的列車、汽車等。（5）隨機荷載。例如風力的脈動作用、波浪對碼頭的拍擊、地震對建筑物的激振等。圖10-4 隨機荷載 下頁上頁目錄10.1.3動力計算的自由度 在動力荷載作用下，結構體系的質量

4、獲得加速度就產(chǎn)生了運動，如果我們能夠確定各質量在任意瞬時的位置，則該結構體系的變形形狀就完全被確定了。我們把確定結構體系全部質點的位置所需要的獨立參數(shù)的個數(shù)稱為該結構體系的動力自由度。圖10-5(a)所示為一簡支梁，跨中放有重物W。當梁本身質量遠小于重物的質量時，可取圖10-5(b)所示的結構計算簡圖。這時體系只有一個自由度，如圖10.5(b)所示。結構振動的自由度數(shù)目，在結構動力學中具有重要的意義。具有一個自由度的結構稱為單自由度結構，自由度大于1的結構則稱為多自由度結構。下頁上頁目錄圖10-5 單自由度體系梁 為了簡化計算可采用下列方法，把無限自由度體系簡化為有限自由度體系。 1. 集中質

5、量法 集中質量法，即將分布質量集中為有限個質點，集中質點的數(shù) 目可根據(jù)結構的具體情況和計算精度的要求確定。下頁上頁目錄 圖10-6 多個自由度梁 圖10-7 兩自由度鋼架 下頁上頁目錄 例如圖10-7（a）所示的兩層剛架，計算側向振動時，則可簡化為質量集中于樓層的兩個自由度體系，計算簡圖如圖10-7（b），在振動過程中，只要用 和 兩個獨立坐標就可以確定各質點所處的位置，這樣就把原來具有無限自由度的兩層剛架簡化為兩個自由度。 2.廣義位移法 對于具有連續(xù)分布質量，且比較簡單的結構可采用廣義位移法。如圖10-8(a)所示簡支梁，設在 時刻 點的位移將它用一組位移函數(shù)的線性和表示 （10-1）如取

6、前三項疊加，1y2ytx1sin)(),(iilxitqtxy下頁上頁目錄 這樣就將無限自由度系統(tǒng)簡化為三個自由度的系統(tǒng)。圖10-8 簡支梁的廣義位移 （10-2）31sin)(),(iilxitqtxy下頁上頁目錄 3. 有限單元法 有限元法是將實際結構離散成有限個單元，對每個單元給定插值函數(shù)，然后疊加單元在各個相應結點的貢獻建立系統(tǒng)求解方程。有限單元法根據(jù)基本未知量選取的不同，分為位移有限元法、應力有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法應用最廣。 在確定結構震動自由度時，應注意不能根據(jù)結構有幾個集中質量就判定它有幾個自由度，而應該由確定集中質量位置所需的獨立參數(shù)數(shù)目來判定。下頁上頁目

7、錄圖10-9 兩自由度體系下頁上頁目錄 對于較為復雜的結構體系，可以采用集中質量處附加剛性鏈桿以限制集中質量運動的辦法來確定體系的自由度。首先將結構各個剛結點包括剛接基礎改為鉸接，然后添加剛性鏈桿使結構體系變成幾何不變體系，則所需添加的剛性鏈桿的最少數(shù)目就是結構的自由度。如圖10-10所示，至少需添加三個附加鏈桿才能使結構變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，因此，其自由度數(shù)為3。下頁上頁目錄圖10-10 復雜情況下自由度的確定（a）三個集中質量體系；（b）加鏈桿確定自由度下頁上頁目錄 自由振動是指結構在振動過程中不受外部干擾力作用的振動。產(chǎn)生自由振動是由于初始時刻的干擾，即通過對質量施加初位移或初速度而激發(fā)產(chǎn)生

8、。自由振動時規(guī)律反映了體系的動力特性，而體系在動荷載作用下的響應情況又是與其動力特性相關的。體系的自由振動分為有阻尼和無阻尼兩種情況。 單自由度體系的振動是工程中經(jīng)常遇到的實際問題之一。有時也可把復雜的工程問題簡化為單自由度體系進行估算。因此，單自由度體系的振動雖然比較簡單，卻十分重要，它是研究多自由度體系振動的基礎。下頁上頁1010. .2 2 單自由度結構自由振動目錄10.2.1單自由度體系自由振動微分方程的建立 10-11 單自由度體系振動模型圖 （a）模型1；（b）模型2；（c）隔離體圖10-11（a）所示懸臂柱在頂部有一質體，質量為 。設柱體本身質 量比 小得多，可以忽略不計。所以只

9、有一個自由度。mm下頁上頁目錄 由初始干擾，即初始位移或初速度和初始速度共同作用下所引起的振動稱為自由振動。 建立自由振動的微分方程有兩種方法：剛度法和柔度法。 （1）從質量 隔離體的動力平衡方程建立振動微分方程剛度法 根據(jù)達朗伯原理，可列出隔離體在任一瞬時的動力平衡方程如下： 0kyy m（10-3）m下頁上頁目錄 這種直接建立質量 在任意時刻 的動力平衡方程的方法，稱為剛度法。 （2）從結構的位移方程建立振動微分方程柔度法mt 圖10-12 單自由度體系振動模型（a）模型；（b）柔度系數(shù)；（c）剛度系數(shù)下頁上頁目錄 根據(jù)達朗伯原理，以靜力平衡位置為計算位移的起點，當質量 在任意時刻水平位移

10、為 時，作用在立柱質量 上只有慣性力 ， 圖10-12（a），則質量 的位移為： 即 式中： 立柱的柔度系數(shù)，即單位水平力 作用在柱頂?shù)乃轿灰苖)(tym1F)(1tymF m1)(Fty)()(tymty （10-4）1F下頁上頁目錄10.2.2 自由震動微分方程的解答 單自由度體系自由振動微分方程式（10- 3）可以寫成式中：式10-5為常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為 任一時刻的加速度 代入初始條件（10-5）（10-6）（b）（c）（10-7）02yy mk2tCtCtysincos)(21tCtCtycossin)(21tytytysincos)(00下頁上頁目錄 由此可知，體系的

11、自由振動由兩部分組成：一部分由初位移 引起，表現(xiàn)為余弦規(guī)律；另一部分由初速度 引起，變現(xiàn)為正弦規(guī)律圖10-13(a)、(b)，兩者疊加為簡諧振動圖10-13(c)。圖10-130y0y 下頁上頁目錄 令sin0Ay （d）cos0Ay（e） 則有22020yyA（10-8）00tanyy（10-9） 則(10-7)可寫成)sin()(tAty（10-10）下頁上頁目錄)cos()(tAty 且有（10-11） 之值可由式(10-6)確定stgmggmmk1（10-12）體系的自振頻率隨結構剛度 的增大和質量 的減小而增大，即體系的自振頻率只取決于它自身的質量和剛度，它反映了結構固有的動力特性，

12、故通常又稱為固有頻率。km下頁上頁目錄 例例10-110-1 如圖10-14（a）所示一等截面簡支梁，截面抗彎剛為 ，跨度為 。在梁的跨中處有一個集中質量塊 。忽略梁本身的質量，試求結構的自振周期 和圓頻率 。 圖10-14EIlmT下頁上頁目錄 解解：用柔度法，該梁只有豎向的一個自由度，在簡支梁跨中處作用一豎向單位力 ，作 圖如圖10-14（b）所示，由圖乘法可求出其柔度系數(shù)為： 因此，由式10-12可得 EIl483EImlmT482233481mlEIm1PM下頁上頁目錄圖10-15 例10-2 如圖10-15（a）所示為一等截面豎直懸臂桿，長度為 ,截面積為 ，截面抗彎剛度為 ，桿頂有

13、一質量為 的重物。設桿件本身質量不計，試分別求水平振動和豎直振動時的自振周期。lAEIW下頁上頁目錄 解：（1）水平振動 在柱頂處加一單位水平力如圖10-15（b），由圖乘法可求得EIl33當柱頂作用水平力 時，柱頂?shù)乃轿灰茷閃EIWlst33所以EIgWlgTst3223下頁上頁目錄 （2）豎向振動 在柱頂 處，加一豎向單位力如圖10-15（c），求得WEAl3當柱頂作用豎向力 時，柱頂?shù)呢Q向位移為WEAWlst所以EIgWlgTst22下頁上頁目錄圖10-16 例10-3 圖10-16（a）所示為一單層鋼架，橫梁抗彎剛度 ，柱的截面抗彎剛度為 。橫梁上總質量為 ，柱的質量可以忽略不計。求

14、鋼架的水平自振頻率。mbEIEI下頁上頁目錄 解解：用剛度法。 （1）求鋼架水平側移剛度系數(shù) （柱頂產(chǎn)生單位水平位移所需的力），如圖10-16（b）所示。由等截面直桿的轉角位移方程可得柱頂剪為 ， 以橫梁為隔離體如圖10-16（c）所示，由平衡條件可得 （ 2）鋼架的自振頻率為 312hEI3324122hEIhEIk324mhEImkk下頁上頁目錄10.2.3有阻尼自由振動 前面討論的自由振動都是無阻尼情況下的自由振動。由于沒有阻尼，振動也就不消耗系統(tǒng)的振動能量，那么，振動將按照周期函數(shù)的規(guī)律無休止的延續(xù)下去。這是一種理想的狀態(tài)，實際結構的振動總是有阻尼的?，F(xiàn)以一鋼結構模型和一鋼筋混凝土樓板

15、在自由振動實驗中所得位移時間曲線的大致形狀來說明阻尼，如圖10-17所示。由于阻尼的存在，使得振動過程的能量逐漸耗散，最終衰減為零?，F(xiàn)在討論阻尼對結構自由振動的影響。下頁上頁目錄 圖10-17 位移時間曲線（a）鋼結構；（b）鋼筋混凝土樓板下頁上頁目錄 振動中的阻尼來自各個不同方面，主要分為兩種：一種是外部介質的阻力；另一種則來源于物體內(nèi)部的作用。這些力統(tǒng)稱為阻尼力。由于阻尼力的來源不同，且與材料特性有著密切關系，因而計算很復雜。為了簡化計算，人們提出了許多理論來近似模擬阻尼力，最為常用的是采用福格第假定，即假定阻力與振動速度成正比，且方向與質點速度方向相反，這也就是我們常說的粘滯阻尼力，即y

16、ctR)( 式中 稱為阻尼常數(shù)，負號表示阻尼力與速度方向相反。c（10-13）下頁上頁目錄圖10-18 有阻尼振動模型（a）模型；（b）隔離體 mkc圖10-19（a）所示為一具有阻尼的單自由度振動模型。體系的質量為 ，體系的彈性性質用彈簧表示，彈簧剛度為 ；阻尼性質用阻尼器表示，阻尼常數(shù)為 。下面來建立體系的動平衡方程。下頁上頁目錄取質量塊為隔離體，如圖10-19（b）所示。作用在隔離體上的力有彈性力 、慣性力 ，還有阻尼力 ，因此，動平衡方程如下kyym yc0kyycym （10-14）同樣，我們還令同樣，我們還令mk并令mc2（10-15）下頁上頁目錄 這里 稱為阻尼比，它表示阻尼系數(shù)

17、與臨界阻尼之比。由此，式10-14可改寫為022yyy （10-16）這是一個線性常系數(shù)齊次微分方程，設其通解為tCety)(代入原微分方程式（10-16）可確定 的特征方程0222下頁上頁目錄 其兩個根為122, 1由上式可知，當 、 、 時，會有三種不同的運動形態(tài)，具體如下。111 （1） 即低阻尼比情況 1 為了后面表達方便，我們令21r（10-17） 這里， 表示低阻尼體系的自振圓頻率。則有rri2, 1下頁上頁目錄 引入初始條件確定積分常數(shù) 和 ，可得1C2Ctyytyetyrrrtsincos)(000（10-18） 上式也可改寫成上式也可改寫成tAetyrtsin)(（10-19

18、） 式中20020ryyyA000tanyyyr根據(jù)上述解答過程可知低阻尼自由振動有如下特性：下頁上頁目錄圖10-19 低阻尼自由振動曲線 1）低阻尼的自由振動是一衰減的簡諧振動。由式（10-18）可畫出低阻尼體系自由振動 的曲線，如圖10-19所示，這是一條衰減曲線。ty 下頁上頁目錄 2）低阻尼對自振頻率的影響。 3）低阻尼對振幅的影響。 4）阻尼比的測定。 nkkyynln21（10-20）（2） 即臨界阻尼情況。此時12,1為二重根，因此，微分方程（10-16）的通解可設為tetCCty21)(下頁上頁目錄再引入初始條件，求出未知系數(shù) 和 ，得1C2Ctetytyty00)1 ()(1

19、0-21) 阻尼作用比較大時，體系受干擾后偏離平衡位置所積蓄的初始能量在回復到平衡位置的過程中全部耗散于克服阻尼的影響，沒有多余的能量來引起振動，這種情況稱為臨界阻尼。這時的阻尼常數(shù)稱為臨界阻尼常數(shù)，記為 。在式（10-15）中令 ，可得rc1mkmcr22下頁上頁目錄圖10-20 臨界阻尼狀態(tài)曲線 （3） ，即過阻尼情況。此時 、 為兩個負實數(shù)，微分方程（10-16）通解為 112tCtCetyt1cosh1sinh)(2221下頁上頁目錄 10.3.1 受迫振動微分方程的建立 結構在動力荷載下的振動稱為受迫振動或強迫振動，例如固定在基礎上的電機轉動使基礎產(chǎn)生的振動。圖10-21 單自由度體

20、系振動模型 （a）模型1； （b）模型2； （c）隔離體下頁上頁1010. .3 3簡諧荷載作用下的單自由度體系受迫振動目錄可建立動力平衡方程如下)(tFkyym 將 代入上式，可得mkmtFyy)(2 （10-22）簡諧荷載的一般表達式為tFtPsin)(（a）簡諧荷載下的結構體系的動平衡方程如下tmFyysin2 （b）下頁上頁目錄先求方程的特解，設特解為tAtysin)(（c）代入，特解為tmFtysin)1()(222（d）令FmFyst2（e）則 可稱為最大靜位移sty下頁上頁目錄tytystsin11)(22（f）微分方程的通解為tytCtCtystsin11cossin)(222

21、1（g）將其帶入)sin(sin11)(22ttytyst（10-23） 最大動位移 與最大靜位移 的比值稱為動力系數(shù)，用 表示，即max)(tysty22max11)(styty（10-24）下頁上頁目錄 由此看出，動力系數(shù) 與頻率比值 的關系如圖10-22所示，橫坐標為 ，縱坐標為 的絕對值。圖10-22 動力系數(shù)下頁上頁目錄10.3.2 阻尼對受簡諧荷載受迫振動的影響圖10-23 有阻尼的受迫振動模型 （a）模型；（b）隔離體 下頁上頁目錄 建立質量塊的動力平衡方程如下)(tFkyycym （10-25） 將 代入式(10-25)，即得簡諧荷載作用下有阻尼單自由度體系強迫振動的運動方程t

22、FtFsin)(tmFyyysin22 （10-26）設方程的特解為tAtAycossin21下頁上頁目錄代入式(10-26)，經(jīng)整理可得22222222222222214)(24)(mFAmFA疊加方程的齊次解，即得方程(10-26)的全解如下：)cossin()sincos()(2121tAtAtCtCetyrrt平穩(wěn)振動任一時刻的動力位移可用下式來表示)sin()(tAty（10-27a）下頁上頁目錄 其中221222222212tan4)1 (1stymFA（10-27b）由式(10-27b)可知動力系數(shù) 為2222224)1 (1（10-28）下頁上頁目錄圖10-24 有阻尼時簡諧荷

23、載的動力系數(shù)相應的 與 之間的關系曲線，如圖10-24所示。下頁上頁目錄由圖10-24和以上的討論，可得簡諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)振動的主要特點：(1) 阻尼比 對簡諧荷載下的動力系數(shù) 的影響，與頻率比值 有關 1) 動力系數(shù) 隨阻尼比 的增大而迅速減小。 2) 在 和 時，對 的影響不大，可以不考慮 的影響。11 3) 在 ，即在 的附近，這時 對 值的影響很大。由于阻尼的存在，使 峰值下降較為顯著。11下頁上頁目錄在 時，即共振的情形，動力系數(shù) 可由式(10-28)得到121（10-29） 4)由式(10-28)通過求極值可得動力系數(shù)的最大值2max121(2) 有阻尼時質量的動位移比動力荷

24、載滯后一個相位角 ，其值與 值有關，可由式(10-27b)求出。在共振時慣性力與彈性力平衡而動荷載與阻尼力平衡。由此可知，在共振情況下，阻尼力起重要作用，它的影響是不容忽視的。下頁上頁目錄 10.4.1不考慮阻尼時的杜哈梅積分 在一般荷載 作用下所引起的動力反應，我們分兩步討論：先討論瞬時沖量下的動力反應，然后可以將一般荷載看成無數(shù)瞬時荷載連續(xù)作用。圖10-25 一般荷載作用計算（a） 時沖量； （b） 時沖量；（c） 沖量計算)(tF0tt下頁上頁1010. .4 4一般荷載作用下的單自由度體系受迫振動目錄如果在 時作用瞬時沖量 如圖10-29（b)所示，則在其后任一時刻 （ ）的位移可用下式表示tStttmStdysin)(（10-30）得到總反應如下dtmFtyto)(sin)()(（10-31）如果初始位移 和初始速度 不為零，則位移反應為 0y0y dtFmtytytyt)(sin)(1sincos)(000（10-32）下頁上頁目錄10-25 突加長期荷載（a）突加長期荷載；（b）位移時程曲線下面