高等數(shù)學-期中復習(1) 第8章空間解析幾何

1、高等數(shù)學 習題課一一、 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 二二、練習題、練習題空間解析幾何 第八八章 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 8.1 向量代數(shù) 8.2 數(shù)量積 向量積 混合積 8.3 空間曲面及其方程 8.4 空間曲線及其方程 8.5 平面及其方程 8.6 空間直線及其方程 8.7 綜合例題 21221221221zzyyxxMM 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）數(shù)量積、向量積、混合積 cos|baba (其

2、中其中 為為a與與b的夾角的夾角) sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程的求法.柱面的概念(母線、準線). 0),( zyxF8.3空間曲面及其方程平面中一條曲線平面中一條曲線C繞同一平面內(nèi)一條定直線繞同一平面內(nèi)一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線（生成曲稱為旋轉(zhuǎn)曲

3、面的母線（生成曲線），直線線），直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲線的軸。稱為旋轉(zhuǎn)曲線的軸。直線直線l沿給定的一條曲線沿給定的一條曲線C平行移動所形成的曲面稱為柱面，平行移動所形成的曲面稱為柱面，其中曲線其中曲線C稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的準線，動直線l中的每一條直線都叫做中的每一條直線都叫做是柱面的母線。是柱面的母線。二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面： 一平面曲線C繞同一平面上的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點）點M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中

4、的特征：如圖將 代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程平面內(nèi)的一條曲線，繞平面內(nèi)的一條曲線，繞是是設(shè)設(shè)問題：問題：yozzyf0 ),(曲面的方程。曲面的方程。軸旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)z , 0,22 zyxf表表示示yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程. 方程方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf同同理理：xoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲

5、線線0),( zxf繞繞z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf同同理理：xoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞x 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.CL定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.CL從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他

6、類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y【結(jié)論結(jié)論】柱面的方程是柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且與的二元方程，且與其準線方程相同其準線方程相同. . 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點

7、特點：8.4、空間曲線及其方程 )()()(tzztyytxx 當當給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程8.4 二、空間曲線的參數(shù)方程 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的投影柱面的特征特征：8.4 三、空間曲線在坐標面上的投

8、影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC,

9、 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx8.5平面及其方程&8.6空間曲線及其方程空間平面空間平面一般式一般式點法式點法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax三點式三點式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),(:000zyx點點0)()()(000 zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量法向量為直線的方向向量為直線的

10、方向向量.空間直線一般式一般式對稱式對稱式參數(shù)式參數(shù)式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000pzznyymxx000 ),(000zyx),(pnms 為直線上一點為直線上一點; 面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121 CCBBAA212121CCBBAA 平面平面平面平面垂直垂直: :平行平行: :夾角公式夾角公式: :2.線面之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA ),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA 021 nn021 nn2121cosnnnn ,1111111pzznyymxxL ：直線直

11、線0212121 ppnnmm,2222222pzznyymxxL ：212121ppnnmm 線與線的關(guān)系直線直線垂直垂直: :平行平行: :夾角公式夾角公式: :),(1111pnms ),(2222pnms 021 ss021 ss2121cosssss CpBnAm 平面平面:垂直：垂直：平行：平行：夾角公式：夾角公式：0 CpBnAm面與線間的關(guān)系直線直線:),(, 0CBAnDCzByAx 000,(,)xxzzyysm n pmnp 0 ns0 nsnsns sin練習例例1. 求與兩平面求與兩平面 x 4 z =3 和和 2 x y 5 z = 1 的的交交線平行，線平行，提示

12、提示: 所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程利用點向式可得方程43 x)1,3,4( 401 512 32 y15 z且且 過點過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程的直線方程. 21nns kji 241312 zyx例2. 求直線與平面與平面062 zyx的交點的交點 . . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得代入平面方程得 1t從而確定交點為從而確定交點為（1，2，2）. tztytx2432t 例3. 求過點( 2 , 1 , 3 ) 且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直

13、線交點先求二直線交點 P. 0)3()1(2)2(3 zyx化已知直線方程為參數(shù)方程化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入代入 式式, 可得交點可得交點),(7371372 P最后利用兩點式得所求直線方程最后利用兩點式得所求直線方程431122 zyx的平面的法向量為的平面的法向量為故其方程為故其方程為),(312),(011),(123過已知點且垂直于已知直線過已知點且垂直于已知直線, )1,2,3( P3. 相關(guān)的幾個問題(1) 過直線過直線 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA 0)(2222 DzCyBxA方程方程 0,21不全為不全

14、為 12例4. 求直線 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直線方程上的投影直線方程.提示提示：過已知直線的平面束方程過已知直線的平面束方程從中從中選擇選擇01)1(1)1(1)1( 得得 001zyxzy這是投影平面這是投影平面0)1()1()1()1( zyx0)1(1 zyxzyx 即即0 zyx使其與已知平面垂直：使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程從而得投影直線方程,1 (2)點的距離為的距離為DzCyBxA 000 222CBA 到平面到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxM d0M1MnnnMMd 01 kji),(0000zyxM到直線到直線的距離的距離pzznyymxxL111: 為為(3) 點2221pnm 010101 zzyyxx pnm d ssMMd 10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML例5. 設(shè)一平面平行于已知直線 0502zyxzx且垂直于已知平面且垂直于已知平面,0347 zyx求該平面法線的求該平面法線的的方向余弦的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直線的方向向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量取所求平面的法向量,503cos 504cos,505cos 1nsn )4,1,7(1