人教版2021年高一數(shù)學下學期期中模擬卷三（解析版）

1、人教版2021年高一數(shù)學下學期期中模擬卷三注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共22題答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1.已知直線a在平面外，則（）AaB直線a與平面至少有一個公共點CaAD直線a與平面至多有一個公共點【答案】D【分析】由直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交得答案【解答】解：空間中直線與平面的位置關系有兩種，即直線在平面外和直線在平面內(nèi)，而直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交，可知，若直

2、線a在平面外，則直線a與平面至多有一個公共點，故選：D【知識點】平面的基本性質(zhì)及推論 2.在ABC中，若點D滿足，則（）ABCD【答案】C【分析】由題意先求出，再求出【解答】解：在ABC中，；如圖；，又，（）；+（）+；故選：C【知識點】向量加減混合運算 3.設E為ABC所在平面內(nèi)一點，若2，則（）A+BC+D【答案】A【分析】直接利用向量的線性運算的應用和減法求出結(jié)果【解答】解：E為ABC所在平面內(nèi)一點，若2，根據(jù)向量的線性運算：，則故選：A【知識點】向量數(shù)乘和線性運算 4.復數(shù)z滿足z（1+i）1ai，且z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）A1，1B（，1）C（1，1）

3、D（1，+）【答案】C【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解【解答】解：由z（1+i）1ai，得z，z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，解得1a1實數(shù)a的取值范圍是（1，1）故選：C【知識點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 5.在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，點M為B1C1的中點，過點D作平面a使aBM，則平面a截正方體所得截面的面積為（）ABCD【答案】C【分析】先作出平面，進而求出截面的面積【解答】解：作出截面 CDEF，點 E，F(xiàn) 分別為 AA1，BB1中點，四邊形CDEF的面積為故選：C【知識點】平面的基本性質(zhì)及推論 6

4、.已知zx+yi，x，yR，i是虛數(shù)單位若復數(shù)+i是實數(shù)，則|z|的最小值為（）A0BC5D【答案】D【分析】利用復數(shù)的運算法則和復數(shù)為實數(shù)的充要條件可得xy+2，再利用復數(shù)模的計算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：復數(shù)+i是實數(shù)，0，得到xy+2|z|，當且僅當y1，x1取等號|z|的最小值為故選：D【知識點】復數(shù)的模 7.已知平面向量，滿足|2|2|2|2，則的取值范圍是（）A1，2BCD【答案】C【分析】建立平面坐標系，得出三向量的終點滿足的條件，用參數(shù)表示出，根據(jù)三角恒等變換化簡即可求出最小值【解答】解：設，則由題意可知PA2，AB1，PC1，BC1，以PA為x軸，以PA的中垂

5、線為y軸建立平面直角坐標系Oxy，則B點在圓A：（x1）2+y21上，C點在圓P：（x+1）2+y21上，設B（1+cos，sin），C（1+cos，sin），則（2+cos，sin），（cos，sin），2cos+coscos+sinsin，BC1，|1，+21，即（1+cos）2+sin2+（1+cos）2+sin22（1+cos）（1+cos）2sinsin1，整理可得：coscos+sinsin+2cos2cos，+2cos，|BC|1，以B為圓心，以1為半徑的圓B與圓P有公共點，故1|PB|2，即1（2+cos）2+sin22，22cos，1故選：C【知識點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其

6、運算 8.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AA1的上的一點，且A1E2EA2，M為側(cè)面ABB1A1上的動點若C1M面ECD1，動點M形成的圖形為線段PQ，則三棱錐B1PQC1的外接球的表面積是（）A27B11C14D17【答案】D【分析】若C1M面ECD1，則P、Q分別滿足B1Q2QB2，B1P2PA12；然后證明C1QD1E，PQD1C，根據(jù)面面平行的判定定理可推出平面C1PQ平面ECD1，故C1M面ECD1；于是以B1為頂點，B1P、B1Q、B1C1分別為長、寬、高構(gòu)造一個長方體，求得該長方體的體對角線即可得三棱錐B1PQC1外接球的直徑，再由球的表面積公式即可得解【解

7、答】解：若C1M面ECD1，則P、Q分別滿足B1Q2QB2，B1P2PA12理由如下：連接C1Q、C1P，A1E2EA2，B1Q2QB2，C1D1EQ，C1D1EQ，四邊形C1D1EQ為平行四邊形，C1QD1EB1Q2QB2，B1P2PA12PQA1BD1C又C1QPQQ，D1ED1CD1，C1Q、PQ平面C1PQ，D1E、D1C平面ECD1，平面C1PQ平面ECD1，C1M平面C1PQ，C1M面ECD1以B1為頂點，B1P2、B1Q2、B1C13分別為長、寬、高構(gòu)造一個長方體，則該長方體的體對角線為三棱錐B1PQC1外接球的直徑，2R，其中R為外接球的半徑，R，外接球的表面積S4R217故選

8、：D【知識點】球的體積和表面積 二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，選對得分，選錯、少選不得分） 9.ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A是單位向量BCD【答案】ABD【分析】根據(jù)條件可求出，從而判斷選項A正確；可得出，從而判斷選項B正確；對兩邊平方即可得出，從而判斷選項C錯誤；根據(jù)前面，可以得出，從而判斷選項D正確【解答】解：A，由得，是單位向量，該選項正確；B，該選項正確；C.，由得，即，該選項錯誤；D，由上面得，該選項正確故選：ABD【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算 10.四邊形ABCD中，ABCD，A90，AB

9、2AD2DC，則下列表示正確的是（）ABCD【答案】BD【分析】根據(jù)圖象以及三角形法則分別求出對應選項的向量，即可判斷選項是否正確【解答】解：由已知四邊形ABCD如圖所示：由圖可得：+，所以A錯誤，（+）+）+，B正確，C錯誤，D正確，故選：BD【知識點】平面向量的基本定理 11.如圖，直角梯形ABCD，ABCD，ABBC，BCCDAB1，E為AB中點，以DE為折痕把ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC則（）A平面PED平面EBCDB二面角PDCB的大小為CPCEDDPC與平面PED所成角的正切值為【答案】AB【分析】根據(jù)PC的長證明PE平面BCDE，分別計算線線角、線面角、面面角的大小即

10、可作出判斷【解答】解：ABCD，BCAB，CDBCABBE，四邊形BCDE是正方形，DEAE，DEBE，故翻折后DEPE，PEAE1，EC，PC，PE2+EC2PC2，故PEEC，又DEECE，PE平面BCDE，又PE平面PDE，平面PED平面BCDE，故A正確，由PE平面BCDE可得PECD，又CDDE，PEDEE，CD平面PDE，故CDPD，PDE為二面角PDCB的平面角，PEDE1，PEDE，PDE，故B正確；DEBC，PCB為異面直線PC與DE所成的角，DEPE，DEBE，PEBEE，DE平面PBE，DEPB，又DEBC，BCPB，PCB，故C錯誤；由CD平面PDE可得CPD為PC與平

11、面PDE所成角，tanCPD，故D錯誤故選：AB【知識點】二面角的平面角及求法、平面與平面垂直、直線與平面所成的角 12.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EFa，以下結(jié)論正確的有（）AACBEB點A到BEF的距離為定值C三棱錐ABEF的體積是正方體ABCDA1B1C1D1體積的D異面直線AE，BF所成的角為定值【答案】ABC【分析】由異面直線的判定判斷A；由二面角的平面角的定義可判斷B；運用三棱錐的體積公式可判斷C；運用三角形的面積公式可判斷D【解答】解：對于A，根據(jù)題意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，所以A正確；對

12、于B，A到平面CDD1C1的距離是定值，所以點A到BEF的距離為定值，則B正確；對于C，三棱錐ABEF的體積為V三棱錐ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱錐ABEF的體積是正方體ABCDA1B1C1D1體積的，正確；對于D，異面直線AE，BF所成的角為定值，命題D錯誤；故選：ABC【知識點】異面直線及其所成的角、棱柱、棱錐、棱臺的體積 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上） 13.已知平面向量，其中，則；若t為實數(shù)，則的最小值為【分析】根據(jù)條件可求出，然后根據(jù)進行數(shù)量積的運算即可求出的值；根據(jù)進行數(shù)量積的運算即可求出，然后配方即

13、可求出答案【解答】解：，；，t1時，取最小值故答案為：【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 14.在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP9若m+（m）（m為常數(shù)），則CD的長度是【分析】以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，求得B與C的坐標，再把的坐標用m表示由AP9列式求得m值，然后分類求得D的坐標，則CD的長度可求【解答】解：如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則B（4，0），C（0，3），由m+（m），得，整理得：2m（4，0）+（2m3）（0，3）（8m，6m9）由AP

14、9，得64m2+（6m9）281，解得m或m0當m0時，此時C與D重合，|CD|0；當m時，直線PA的方程為yx，直線BC的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得xm，y32m即D（，），|CD|CD的長度是0或故答案為：0或【知識點】向量的概念與向量的模 15.已知復數(shù)zx+yi（x，yR）滿足|z1|x，那么z在復平面上對應的點（x，y）的軌跡方程為；|z|min【分析】把zx+yi（x，yR）代入|z1|x，整理后可得z在復平面上對應的點（x，y）的軌跡方程，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得|z|min【解答】解：zx+yi（x，yR）且|z1|x，|（x1）+yi|x，即，整理得y22x1圖象如圖，|z|m

15、in故答案為：y22x1；【知識點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 16.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為【分析】該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為1，在棱長為1的正四面體SABC中，取BC中點D，連結(jié)SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，求出ADSD，OD，SO，該六

16、面體的體積V2VSABC；當該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時，球心為O，且該球與SD相切，過球心O作OESD，則OE就是球半徑，由此能求出該球體積的最大值【解答】解：該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為1，如圖，在棱長為1的正四面體SABC中，取BC中點D，連結(jié)SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，則ADSD，OD，SO，該六面體的體積：V2VSABC2當該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時，球心為O，且該球與SD相切，過球心O作OESD，則OE就是球半徑，SOODSDOE，球半徑ROE，該球體積的最大值為：V球故答案為：，【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

17、四、解答題（本大題共6小題，共70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17.已知向量（2sinA，1），（sinA+cosA，3），其中A是ABC的內(nèi)角（1）求角A的大??；（2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，0，求b+c的取值范圍【分析】（1）根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出，從而可求出；（2）根據(jù)即可得出，然后根據(jù)正弦定理即可得出，從而可得出，從而可得出b+c的取值范圍【解答】解：（1），0A，解得；（2）由，得B為鈍角，由正弦定理，得，bsinB，又，b+c的取值范圍為【知識點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算 18.如圖，在OAB

18、中，點P為直線AB上的一個動點，且滿足，Q是OB中點（）若O（0，0），A（1，3），B（，0），且，求的坐標和模？（）若AQ與OP的交點為M，又t，求實數(shù)t的值【分析】（）根據(jù)題意，代入可求，然后結(jié)合向量模長的坐標表示可求，（II）由，然后結(jié)合向量的線性表示可轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合tt（），結(jié)合平面向量基本定理可求【解答】解：（）根據(jù)題意，Q是OB中點，即OQ，又ON，且A（1，3），B（），若O（0，0），A（1，3），B（，0），且，可知（），（），（1，1），且|，（II）因為，所以，可以化簡為：，又tt（），不妨再設，即，所以（1）+，由Q是OB的中點，所以，即（1）+，由，可得1，聯(lián)立得t

19、【知識點】向量數(shù)乘和線性運算、平面向量的基本定理 19.已知復數(shù)z1+（a21）i，z22+2（a+1）i（aR，i是虛數(shù)單位）（1）若復數(shù)z1z2在復平面上對應點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；（）若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程4x24x+m0的根，求實數(shù)m值【分析】（1）由復數(shù)對應的點在第一象限得到實部大于0，虛部大于0，解不等式組即可；（）利用z1是實系數(shù)一元二次方程4x24x+m0的根，得到另一個根是復數(shù)z1的共軛復數(shù)，利用根與系數(shù)的關系得到a和m【解答】解：（由已知得到z1z22+（a22a3）i，因為在復平面上對應點落在第一象限，所以，解得，所以；（）因為虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次

20、方程4x24x+m0的根，所以1是方程的另一個根，所以1，所以a0，所以，所以，所以m5【知識點】復數(shù)的運算 20.已知復數(shù)z滿足z（1+3i）（1i）4（1）求復數(shù)z的共軛復數(shù)；（2）若z+ai，且復數(shù)對應向量的模不大于復數(shù)z所對應向量的模，求實數(shù)a的取值范圍【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則，求出復數(shù)z，再求z的共軛復數(shù)；（2）求出復數(shù)、z對應的向量、，利用|列出不等式求出a的取值范圍【解答】解：（1）復數(shù)z（1+3i）（1i）41+i+3i+342+4i，復數(shù)z的共軛復數(shù)為24i；（2）z+ai2+（4+a）i，復數(shù)對應向量為（2，4+a）；此時|，又復數(shù)z對應的向量（2，4），|2；|，2，即a（a+8）0，解得實數(shù)a的取值范圍是8a0【知識點】復數(shù)的模 21.如圖所示，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，ABAEBCAD1，BCAD，AE平面ABCD，BAD90，N為DE的中點（1）求證：NC平面EAB；（2）求二面角ACND的余弦值【分析】（1）取AE中點F，連接FN，BF，證明四邊形BCNF為平行四邊形，即可證得NCBF，進而得證；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量公式求解即可【解答】解：（1）證明：取AE中點F，連接FN，BF，易知，又，故，四邊形BCNF為平行四邊形，NCBF，又NC平面ABE，BF平面AB