(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用訓(xùn)練文

1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考綱鏈接12 / 40(x)(v(x)W0).1 .了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2 .通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3 .能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y = q C為常1 23數(shù))，y=x, y=x，y = x, y=x, y=X的導(dǎo)4 .能利用以下給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常見的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(C)，=o(C 為常數(shù))；(xn) z =nxn1(nCN+ )；(sin x) = cosx; (cos x) = - sin x;(ex) = ex; ( ax) = axlna( a0,且 awi)；(lnx) =1； (logax)

2、 =1logae(a0,且xxa w 1).常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：法 則 1: u(x) v(x)=u，(x) V (x).法則 2 : u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x).法則3:u (x) v (x)u， (x) v (x) u (x) v v2 (x)5 . 了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次 ).6 . 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充 分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值 (其中 多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最 大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次 ).7 .會(huì)用導(dǎo)

3、數(shù)解決實(shí)際問題. 3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算Ax 之間的平均變化率，即f ( x0+ Ax) f (x0)A x.如果當(dāng)AyA x有極限，我們就說函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0處,并把這個(gè)極限叫做 f(x)在點(diǎn)x0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 或三，即,A yf (xo)=77= yf ( x0+ Ax) f (x0)A x.1 .導(dǎo)數(shù)的概念(1)定義如果函數(shù)y = f(x)的自變量x在x0處有增量 Ax,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量Ay=f(x+Ax)f (x。)，比值 廣就叫函數(shù) y = f (x)從xo到x。+ ZA X(2)導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x變化時(shí)，f (x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我 們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))

4、.y = f(x)的 導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y,即f (x) = y=國f ( x+ A x) f (x)A x.(3)用定義求函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)的方 法求函數(shù)的增量Ay=;求平均變化率 ；取極限，得導(dǎo)數(shù) (X0)=Ay二 T7.2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y= f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 就是曲線y=f (x)在點(diǎn)P(xo, f(xo)處的切線的斜 率.也就是說，曲線 y = f(x)在點(diǎn) Rx。，f(x。)處 的切線的斜率是.相應(yīng)的切線方程為.3 .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) c =( c 為常數(shù))，(x) = ( a C Q*);(2)(sin x) =(cos

5、x) =；(3)(ln x/=,(log ax) = ；(4)( ex) =(a、) =4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1) f(x) g(x) =(2) f(x)g(x) =當(dāng) g(x) = c(c 為常數(shù))時(shí)，即cf(x)=f (x) g (x)=(_ g(x)wo).自查自糾：1. (1)可導(dǎo)f (xo)(3) f(x。+Ax)一f( x。)f ( x0+ A x) f (x0)2.3.1xlna4. .f(x)gA xf(x。)yyo = f (xo)( xxo)(1)0 ax 1 (2)cos x sin x (3)- xeaxlna(1) f (x)g (x)(2)f (x)g(x) +(x)c

6、f (x)f( x) g (x) f (x) g ( x)g (x) 2若曲線y=x3在點(diǎn)P處的切線的斜率為3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(一1, 1)B.(一1, -1)C.(1 ，1)或(1, -1)D.(1 ，一 1)解:y= 3x2,令 3x2=3,得 x=1.當(dāng) x =1 時(shí)，y=1；當(dāng) x=1 時(shí)，y=1.故選 C.曲線y=sinx+ex在點(diǎn)(0 , 1)處的切線方程是()A. x-3y-3=0 B , x-2y+2=0C. 2x-y+ 1 = 0 D . 3x-y + 1 = 0解：. y = sinx+ex, y =cosx + ex, y | x= o=cos0+e=2,曲線 y

7、=sinx + ex 在點(diǎn)(0 , 1)處的切線方程為y1 = 2(x 0),即2xy+1=0.故選C.(2015 天津)已知函數(shù) f (x) = axlnx , x C (0 , + 8),其中 a為實(shí)數(shù)，f (x)為f(x)的導(dǎo)函 數(shù)，若f (1) =3,則a的值為:解：因?yàn)?f ( x) = a(1 + lnx ),所以 f (1) =a= 3.故填 3.（2015 保定調(diào)研）已知曲線 y=lnx的切線過原 點(diǎn)，則此切線的斜率為（）A. e B . - e C. 1 D. - 1 ee(2014 廣東)曲線y=- 5ex + 3在點(diǎn)(0 , 2)處 的切線方程為:解：由y = 5ex+3

8、? y = 5ex,于是切線 方程為 y+ 2=5(x0),即 y=5x2.故填 y = -5x-2.解：y= In x的定義域?yàn)椋? , 十）,且y=1,_.1x，設(shè)切點(diǎn)（X0, 1nx0）,則回=后切線萬程為 y- ln Xo= r(x -Xo),因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0 , 0), x0所以一ln xo=- 1,解得xo=e,故此切線的斜率1 ,為一.故選C.e=1 + 2 A x+ A x2 2 2 A x 1 + 2= A x2, Ay Ax2所以國XT區(qū)回AX=0.故 f ( x)| x=i= 0.點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，首, 一，、一，、，- A y 一八一先寫出函數(shù)在

9、該點(diǎn)處的平均變化率再化簡平 x均變化率，最后判斷當(dāng)Ax-0時(shí)，孚無限趨近A x于哪一常數(shù)，該常數(shù)即為所求導(dǎo)數(shù)，這是定義法 求導(dǎo)數(shù)的一般過程.類型一導(dǎo)數(shù)的概念用定義法求函數(shù)f (x) =x2 2x 1在x= 1處的 導(dǎo)數(shù).解法一：A y=f(x+A x) f(x)=(x+ A x) 22(x+ A x) - 1 - (x2-2x- 1)= x2+2x A x+ A x2-2x-2A x- 1-x2+2x + 1=(2x-2) A x+ A x2,Ay(2x 2) Ax+Ax2所以丁=國 a=回(2 x-2) + Ax= 2x2.所以函數(shù)f(x) = x22x1在x= 1處的導(dǎo)數(shù)f (x)| x=

10、1 = 2X 1 2=0.解法二:A y=f(1 + A x) f(1)=(1 + A x)22(1 + A x) 1 (1 2 2X1 1)航天飛機(jī)發(fā)射后的一段時(shí)間內(nèi)，第 t s時(shí)的高 度 h(t) =5t3+30t2+45t+4(單位:m) .(1)求航天飛機(jī)在第1 s內(nèi)的平均速度；(2)用定義方法求航天飛機(jī)在第1 s末的瞬時(shí)速度.解：(1)航天飛機(jī)在第1 s內(nèi)的平均速度為h (1) h (0)5 + 30+45 + 4 41=1=80 m/s.(2)航天飛機(jī)第1 s末高度的平均變化率為h (1 + At) h A t5 (1+ t )3+30 (1 + t )2+45 (1+ t) 4-

11、84 t5At3 +45At2 +120At一A t=5A t2+45A t +120,當(dāng) At一0 時(shí)，5At2+45A t + 120- 120,所以航天飛機(jī)在第1 s末的瞬時(shí)速度為 120m s.類型二求導(dǎo)運(yùn)算 要注意在求導(dǎo)前對可以化簡或變形的式子進(jìn)行化 簡或變形，從而使求導(dǎo)運(yùn)算更簡單 .求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=(x+1)( x+2)( x+3)；x，八八X(2) y=sin 2 1 2cos24 ；(3) y=3xex2x+e；Inx片目.解：(1)解法一：= y= (x2+3x+2)( x+3)= x3 + 6x2+11x + 6,y =3x2+12x+11.解法二：y = (

12、 x+1)( x + 2) ( x+3)+(x+ 1)( x+2) (x + 3)= (x+1) ( x+2)+(x+1)( x + 2) ( x+3)+ (x+1) (x+2)=(x+2 + x+ 1)( x+ 3) + (x + 1)( x+ 2)= 3x2+12x+ 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y= excosx;11(2) y = xx2+；+3 %(3) y=* dx解：(1) y = (ex) z cosx + ex(cos x) ex(cos x sin x).31,22(2) . y=x + 1+2，=3x-x3.(3) y(lnx ) ex (ex) lnx1一 ex-e

13、xlnx x(ex) 21x nx1-xlnxx x 1(2) , y= sin 2 cos2 = 2sin x,111 y = -2sinx = 一 2(sin x) = -2 cosx.(3) y =(3xex) (2x) +e= (3x) ex+3x(ex) (2 x)，= 3、xln 3 + 3xex2xln 2= (ln 3+ 1)(3 e)x-2xln 2.(4) y=(lnx ) (x2+1) Inx (x2+1)(x2+1) 2(ex) 2exxexx2 (12lnx) + 1(x2+1) 2 x (x2+1) 2點(diǎn)撥：求導(dǎo)運(yùn)算，一是熟記公式及運(yùn)算法則，二是類型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義

14、43，即 x33x0+4=0,x0 + x0-4x0 + 4=0, x0(x0+ 1)-4( x0+ 1)( x。一 1) = 0,2(x0+ 1)( x0 2) =0,解得 x0 = 1 或 x =2,故所求的切線方程為4x-y-4 = 0或x y +2= 0.即 y = x2x-切點(diǎn)(x, y),解方程組 y1 -y0x1 x0得=f(x0),已知曲線y= 1x3+3.(1)求滿足斜率為i的曲線的切線方程；(2)求曲線在點(diǎn)R2, 4)處的切線方程；(3)求曲線過點(diǎn)R2 , 4)的切線方程.解：(1)y =x2,設(shè)切點(diǎn)為(X。, yo),故切線的斜率為 k=x2=1,解得Xo= 土 1,故切

15、點(diǎn)為1, 1 , (1,1).3 5 一故所求切線方程為y = X 1和y1 = x+31,即 3x 3y+2 = 0 和 x y+ 2=0.(2) y = x2,且 P(2 , 4)在曲線 y=1x3+4 33，在點(diǎn)R2, 4)處的切線的斜率 k=y |x=2= 4.，曲線在點(diǎn)P(2 , 4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即 4x y 4= 0.(3)設(shè)曲線y=1x3+4與過點(diǎn)P(2, 4)的切線 3314相切于點(diǎn) Ax0, zx0+-,又切線的斜率k =33區(qū)=x2,、14切線方程為 y -x0+- =x2(xx0),3324-x3+33一 2點(diǎn) F(2 , 4)在切線上，4=2x0

16、-x0 +3點(diǎn)撥：曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(diǎn)(x, f(x)為切點(diǎn)的切線方 程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)；求切線的斜率f (x);寫出切線方程 yf (x0) =f (x)( xx0), 并化簡.(2)如果已知點(diǎn)(必，y1)不在曲線上，則設(shè)出y0=f (x0),切點(diǎn)(xo, y0),進(jìn)而確定切線方程.注意：求切線方程時(shí)，要注意判斷已知點(diǎn) 是否滿足曲線方程，即是否在曲線上.與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲 線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).已知函數(shù) f (x) = x3+ x- 16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, 6)處的切線方 程；(2)

17、直線l為曲線y=f(x)的切線，且經(jīng)過原 點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y =1-4x+ 3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的萬程解：(1)可判定點(diǎn)(2 , 6)在曲線 y= f(x)上. (x) =(x3+x16) =3x2+1. f (x)在點(diǎn)(2 , - 6)處的切線的斜率為k =f (2) = 13.，切線方程為 y=13(x2) + (6),即 y=13x 32.(2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0, yo),則直線l的斜率為f (x0) = 3x2+1,，直線l的方程為y= (3x0+ 1)( x-xo) + x3+xo- 16, 又.直線l過點(diǎn)(0 , 0

18、),(xo, yo),則斜率f (xo+ A x) - f (xo)A x的值; -0= (3x2+1)( xo) +x3 + xo-16,整理得，x3 = 8,xo= - 2, .yo=(-2)3+( -2)-16 = -26,k=3X( 2)2+1=13,，直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(一2, 26).解法二：設(shè)直線 l的方程為y=kx,切點(diǎn)為yo o x6 + xo 16k=xoo =x又 k=f (xo) =3x2+1,xS+xo-16，= 3x2 + 1 ,解得 xo = - 2, k xo=13.，直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(一3, 26).(3) ;切線與直線

19、y=%+3垂直，切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x。，yo),則 f (xo) = 3xo + 1=4,xo = 1.xo=1, xo= 1,或yo=- 14 yo= 18,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 14)或(一1, 18),切線方程為 y=4(x1)14 或 y=4(x+1) 18,即 y = 4x 18 或 y= 4x 14.1, “函數(shù)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)” “導(dǎo)函數(shù)” “導(dǎo) 數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在點(diǎn) xo處的導(dǎo)數(shù) f (xo)是一個(gè)常 數(shù)，不是變量.(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，是針對某一區(qū) 間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的.函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi) 每一點(diǎn)都可導(dǎo)，是指對于區(qū)間(a, b)

20、內(nèi)的每一個(gè)確定的值xo,都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f (xo),根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，也就是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x).(3)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)就 是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x= xo處的函數(shù)值.2 ,函數(shù)y=f(x)在x = xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)的 兩種常用求法(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義，即求(2)求導(dǎo)函數(shù)在xo處的函數(shù)值：先求函數(shù) y = f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) f (x),再將 xo(xoC (a, b)代入導(dǎo)函數(shù) f (x),得 f ( xo).3 .關(guān)于用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題(1)圓是一種特殊的封閉曲線，注

21、意圓的切線 的定義并不適用于一般的曲線.(2)求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程，這里的某 一點(diǎn)即是切點(diǎn)，求解步驟為先求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo) 數(shù)，即曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式 寫出直線的方程.(3)求過某點(diǎn)的曲線的切線方程，這里的某點(diǎn) 可能是切點(diǎn)(點(diǎn)在曲線上的情形)，也可能不是切 點(diǎn)，即便點(diǎn)在曲線上，切線也不一定唯一，如本 節(jié)例3(3),就極易漏掉切線 x-y+2=o.C. sin x+cosx D . sin x+cosx解：f 1(x) = sin x + cosx, ，f2(x) = f 1( x) =cosx sin x ,f 3(x) = f 2(x) = sin x cosx,，f4(

22、x)=f 3(x) = cosx+ sin x, . fs(x) =f 4( x) = sin x + cos x = f 1( x),而 2016 = 504X4, . f 2016( x) =f 4( x) = cosx+sin x.故選 B.兀6 ,右函數(shù) f(x) = cosx + 2xf -6 ,則兀 1兀， ，一f -3-與f -3的大小關(guān)系是()兀兀兀兀A- f=f T B f -互 f 互兀兀、C. f - 0, .f(x)f (x) =x-1 .函數(shù) f(x)=x3+sinx 的導(dǎo)數(shù) f (x)=()22A. x2 cosxB. 3x2cosxC. x2+ cosxD. 3x

23、2+cosx解：f ( x) = 3x2+cosx.故選 D.x22. (2015關(guān)B州檢測)已知曲線 y = y-3lnx 的一條切線的斜率為2,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()1A. 3B. 2 C . 1 D.-3解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x(b y(0 ,且x0 0,由y = x彳導(dǎo) k= xo = 2, 解得 x0= 3.故選 A.xx03,已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且滿 足 f (x) = 2xf (1) + Inx ,則 f (1)等于()A. - e B.1 C . 1 D.e解：由 f (x) = 2xf (1) + lnx ,得 f (x)= 2(1) + -.x f (1) =2

24、f (1) + 1,則 f (1) = 1.故 選B.4.函數(shù)f (x) = excos x的圖象在點(diǎn)(0, f(0) 處的切線的傾斜角為()兀-兀A. 0 B. 1 C . 1 D.解： 由 f (x) = excosx,得 f (x) = excosx一 exsin x.所以 f (0) = ecos0 esin0 = 1,即傾斜 角a滿足tan a = 1.根據(jù)a 0 ,兀)，得 a =兀 .故選B.45.已知 f 1(x) = sin x+cosx, fn+1(x)是 fn(x) 的導(dǎo)函數(shù)，即 f 2(x) = f 1(x) , f3(x)= f 2(x),，f n + 1(x) =

25、f n(x) , nCN：則 f 2016( x) 等于()A. sin x cosx B . sin x cosx, 兀兀,-f = - sin+2f ?1 f (x) = sin x+ 1,兀 兀,當(dāng) xC ,時(shí)，f兀 兀兀= cosx+x在 一萬,萬 上是增函數(shù)，又 -兀 兀 兀兀兀 I1- f - 0,貝U a=x+12. xx故填2, +8) .8 .已知曲線 C： f(x) = x3-ax+a,若過曲線 C外一點(diǎn)A(1 , 0)引曲線C的兩條切線，它們的傾 斜角互補(bǔ)，則實(shí)數(shù) a的值為:解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t, t3at+a).切線的斜率為k = y |x=t = 3t2a,所以切線方

26、程為y- (t3at +a) = (3t2-a)( x-1),將點(diǎn)(1 , 0)代入式得一(t3at + a) =(3t23a)(1 t),解之得t = 0或t =2.分別將t = 0一 3, 一 ,、 ，r八 27一和t= 2代入式，得 k= a或 k= a,由匕們互為相反數(shù)得 a = 27.故填27. 889 .求函數(shù)f(x)=x34x+4圖象上斜率為一1的切線的方程.解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, yo),f (xo) = 3x0 -4=一1,，xo=1.，切點(diǎn)為(1 , 1)或(1, 7).切線方程為 x + y2= 0或x+y 6= 0.110 . (2015 浙江聯(lián)考)已知點(diǎn)M是曲線y

27、=-3x3-2x2+3x+ 1上任意一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)M處的切線為l ,求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角a的取值范圍.解：(1) y =x2-4x+3 = (x-2)2-1- 1, 當(dāng)x=2時(shí)，y = 1為斜率最小值，此時(shí) y=3，5斜率最小的切線過2, 3 ,斜率k= 1, 所求切線方程為x+y1=0.3(2)由(1)得 k- 1, tan a - 1, 1 a 0, -2 U 今，兀.11 . f (x) = ax-x, g(x) = Inx , x0,常數(shù)aC R(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)P(1 , g(1)處的切線 l.(2)是否存在常數(shù) a,使(1)中的切線l也是 曲

28、線y=f(x)的一條切線，若存在，求出 a的 值；若不存在，請說明理由.解：(1)由題意知，g(1) =0,又g (x) =1一，g (1) =1,所以直線l的方程為y=x-1.x一，1(2) f (x) = a十萬 x2設(shè)y=f(x)在x = x0處的切線為l,則有1ax0 區(qū)=x0- 1,a+x0=2,解得 3 此日f (2) a=4，=1,r ,3 ,，一即當(dāng)a=4時(shí)，l是曲線y= f (x)在點(diǎn)Q2 , 1)(2014 安徽)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條 件：(1)直線l在點(diǎn) Rx。，y。)處與曲線 C相切; (2)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直 線l在點(diǎn)P處“切過”曲線

29、C下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號 ).直線l ： y=0在點(diǎn)R0 , 0)處“切過”曲 線 C： y = x3直線l : x=- 1在點(diǎn)R 1 , 0)處“切 過曲線 C： y= (x+ 1)2直線l ： y = x在點(diǎn)R0 , 0)處“切過”曲 線 C： y= sin x直線l ： y = x在點(diǎn)R0 , 0)處“切過”曲 線 C： y= tan x直線l ： y=x-1在點(diǎn)P(1 , 0)處“切過” 曲線 C： y= lnx解：對于，y = (x3) = 3x2, y |x=0 = 0,所以l ： y=0是曲線C： y = x3在點(diǎn)F(0 , 0)處 的切線，畫圖可知曲線 C：

30、y=x3在點(diǎn) R0, 0)附 近位于直線l的兩側(cè)，正確；對于，l： x=- 1顯然不是曲線 C： y=(x + 1)2在點(diǎn)P(- 1, 0)處的切線，錯(cuò)誤；對于， v = (sin x) = cosx, y | x =0 = 1,曲線在點(diǎn) R0 , 0)處的切線為l: y=x,畫圖 可知曲線 C： y=sin x在點(diǎn)R0 , 0)附近位于直線 l的兩側(cè)，正確；對于，y = (tan x)sinxcosx-At，y |x=0=R = 1,曲線在點(diǎn) R0, 0)處 cos2xcos20的切線為l : y=x,畫圖可知曲線 C： y = tanx在點(diǎn)P(0, 0)附近位于直線l的兩側(cè)，正確；對于，v

31、 = (lnx) = , y | x=1= 1,在 x點(diǎn)P(1 , 0)處的切線為l： y=x1,令h(x)=x一一 ,1 x 1 -1 - lnx (x 0),可得 h (x) = 1=,所x x以h(x)me h(1) = 0,故x Qlnx,可知曲線 錯(cuò) 誤 故 填.C： y=lnx在點(diǎn)R1 , 0)附近位于直線l的下方，3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)求f(x)在(a, b)內(nèi)的極值；將f( x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值, 進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是,最小的一個(gè)是:自查自糾：1. 單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2. (1)f (x) 0(2)f (x)=0極大值 極小值3. (2) f(a) f(b)

32、 f(a) f(b)(3)f (a) f(b)最大值 最小值1,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a, b)內(nèi)，如果f (x)0,那么 函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)；如果f (x) 0 ,右側(cè) f (x)0, f(x)為增一、.，1 3函數(shù)f (x) =,x34x + 4在0 , 3上的最大值為 3?在0, 3上的最小值為.2解：f (x) =x -4= (x- 2)( x+ 2),令 f (x)0,得 x2 或 xv2;令 f (x)0在(1 , +oo) X 1上恒成立，即 k-在(1 , +8)上恒成立 ; x X1,0-0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?一 00, +

33、 00 ), f2(x) =x ax+ b,由題意得f (0) =1,f (0) =0,c=1,b = 0.(2)由(1)得，f (x)=x2ax=x( x - a)( a 0),當(dāng) xC(8, 0)時(shí)，f (x) 0,當(dāng) xC(0,a)時(shí),f (x)0.所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8,0), (a, + 8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0, a).點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.類型三導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值問題, ,ex 2(2014 山東)設(shè)函數(shù) f (x)=3k -+lnxX2 x(k0, 所以當(dāng)x

34、(0, 2)時(shí)，f (x)0,函數(shù) y= f (x) 單調(diào)遞增. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 2),單調(diào)遞 增區(qū)間為(2 , +8).xa3(2014 重慶)已知函數(shù) f(x)lnx4x2其中aCR,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切1 線垂直于直線 y= -x.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值.1 a 1解：(1)對f(x)求導(dǎo)得f (x)=7 一不一 4 x2 x,， 1由f (x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線垂直于直線y = -x-,3-5知 f (1)= 一:一a= 2,解得 a = .44，一 x 5 .3(2)由(1)知 f (x) =4

35、 + 4;lnx 2, 4 4x 2,x2 4x5(x)=x.令 f (x) = 0,解得 x= 1 或 x= 5. 因?yàn)閤 = - 1不在f(x)的定義域(0 , +8)內(nèi)，故舍去.當(dāng) xC(0, 5)時(shí),f (x)0,故 f(x)在(5 , +0)上為增函數(shù).由此知函數(shù)f(x)在x= 5時(shí)取得極小值 f(5)=-ln5.點(diǎn)撥：找函數(shù)的極值點(diǎn)，即先找導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，但并不是說導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)就是極值點(diǎn) (如y=x3),還要保 證該零點(diǎn)為變號零點(diǎn).類型四導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值問題一 1 3已知函數(shù)f ( x) = X + cx在x= 1處取得極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的極值.

36、一,32斛：(1) f (x)=/x + c,當(dāng) x = 1 時(shí)，f(x)取得極值，33則 f (1) =0,即2+c=。，得 c= -2.生1 33故 f (x) =x 2x.一 3 2 3 3 23(2)f (x)=2x 2=2(x D =2(x1)( x +1),令 f (x) = 0,得 x= 1 或 1.x, f (x) , f (x)的變化情況如下表:x(一oo,-1)1(-1, 1)1(1, 十OO)f,(x)十0一0十f (x)/極 大 值極 小 值/因此，f (x)的極大值為 f ( 1) = 1 ,極小值 為 f (1) = - 1.已知函數(shù) f(x)=ax2+2, g(x

37、) = x3+bx.若曲線 y=f(x)與曲線y=g(x)在它們白交點(diǎn)(1 , c)處具 有公共切線.(1)求a, b的值；(2)求函數(shù)f(x) + g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其 在區(qū)間(一8, 1上的最大值.解：(1) f (x) =2ax, g (x) = 3x2 + b,- f(1) =g(1) , f (1) =g (1),，a+2=1+b,且 2a=3+b,解得 a=4, b =5.(2)設(shè) h(x) =f(x)+g(x) =x3 + 4x2+5x+2, 2則 h (x) = 3x+8x+5=(3x+5)( x+1).x, h (x), h(x)的變化情況如下表:x錯(cuò)誤！535 -131-1(-1, + OO)h (x)十0一0十h( x)/極大 值極小 值/5所以f (x)在-8, - , ( -1,+8)上單3調(diào)遞增，在 一5, T 上單調(diào)遞減.3h 5 =74, h(1) = 12, 12=32 72 7.f(x)+g(x)在(8, 1上的最大值為 12.點(diǎn)撥：函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)最大值和一 個(gè)最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般 是在端點(diǎn)或極大值點(diǎn)取得，最小值一般是在端點(diǎn)