2723相似三角形的證明（3）

1、相似三角形的證相似三角形的證明明1. ABC中， BAC是直角，過斜邊中點M而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長線于E， 交AB于D，連AM. 求證： MAD MEAABCDEM分析：分析：已知中與線段有關的條件僅有已知中與線段有關的條件僅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考慮用兩個角對應相等去判定兩個三角形相似。所以首先考慮用兩個角對應相等去判定兩個三角形相似。證明：BAC=90 M為斜邊BC中點 AM=BM=BC/2 B= MAD又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又 DMA= AMEMAD MEA1. ABC中， BAC是直角，過斜邊中點M

2、而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長線于E， 交AB于D，連AM. 求證： AM2=MD MEABCDEM分析：分析：AM是是 MAD 與與 MEA 的公共邊，故是對應邊的公共邊，故是對應邊MD、ME的比例中項。的比例中項。 MAD MEA 即AM2=MDMEAMMD =MEAM 思考：證明等積式的一般方法是什么思考：證明等積式的一般方法是什么?2.如圖，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO EC.ABCDEFO分析：欲證 ED2=EOEC，即證：只需證DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO =ECED 證明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A

3、= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO ECEDEO =ECED 3.過ABCD的一個頂點A作一直線分別交對角線BD、邊BC、邊DC的延長線于E、F、G . 求證：EA2 = EF EG .ABCDEFG 分析：要證明 EA2 = EF EG ，即 證明 成立，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無法構成兩個三角形，此時應采用換線段、換比例的方法?？勺C明：AEDFEB， AEB GED.證明： ADBF ABBC AED FEB AEB GEDEAEG =ABDG EFEA =BEED= ABDG EAEG =EFEA EAEG =EF

4、EA 4.已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中點，ED交AB的延長線于F. 求證: AB:AC=DF:AF.ADEFBC分析：因ABCABD，所以要證 即證 ，需證BDFDAF.AFDFACABADBDACABAFDFADBD證明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中點，ED=EC EDC= C EDC = BDFAFDFADBD BDF= C= BAD又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ADBDACABAFDFACAB5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，

5、直線的延長線上一點，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求證：求證：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF與與 DCE不相似不相似因此，需作輔助線構造相似三角形因此，需作輔助線構造相似三角形BDBFCECD=5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，的延長線上一點，直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求求證證:BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 過點過點C作作CGAB,交交DF于于G 則則DCG DBF 故故再證再證CG=CE 即可即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：方法二： 過點過點C作作CG

6、DF,交交AB于于G 故故再證再證FG=CE 即可即可5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，直線的延長線上一點，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求證求證BDCE=CDBFBDBFFGCD=FEDCBAG5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點，直線的延長線上一點，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AF.求證：求證：BDCE=CDBF方法三：方法三： 過點過點B作作BGDF,交交DF的延長線于的延長線于G 故故再證再證BG=BF 即可即可則則DCE DBG DCCEBGDB=6.如圖：如圖： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ，EF是是AD的中垂線，

7、的中垂線，EF 交交BC的延長線于的延長線于F .求求證：證：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都都在同一直線上，無在同一直線上，無法利用相似三角形法利用相似三角形.由于由于FD=FA，替換后，替換后可形成相似三角形可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要證只要證FABFCA即可即可. 7.7.已知已知,ABCD,ABCDEF，（1）圖中有幾對相似的三角形？）圖中有幾對相似的三角形？（2）線段）線段AB、CD與與EF有怎樣的等量關系？有怎樣的等量關系？FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCDEFABAEACAECEEFCDABCDAEACEFCDAECEABCD1111證比例式（或乘積式）的常用方法證明乘積式時，可先將乘積式改為比例式證明乘積式時，可先將乘積式改為比例式(1)找相似三角形（或平行線）找相似三角形（或平行線）(2)沒有相似三角形（或平行線）沒有相