第7章壽險保費的計算原理

1、第七章第七章 壽險保費的計算原理壽險保費的計算原理內(nèi)容介紹 價值方程 保費與凈保費 費 用 超常風(fēng)險 分 紅 保 險 價值方程 收入的預(yù)期現(xiàn)值支出的預(yù)期現(xiàn)值 對于設(shè)定的保險給付金額，我們可以找到一個適當?shù)耐侗Ｈ死U費標準，以支付此保險給付金額所需的成本和費用；同樣，如果設(shè)定了繳納的保費數(shù)額，我們就可以找到適當?shù)谋ｋU給付與其對應(yīng)。 保費 保險費即投保人買各種保險而向保險人（保險公司）一次性支付或多次支付的費用，簡稱保費。 保費的支付一般有以下幾種方式 在保單生效時一次付清保費(躉繳保費) 規(guī)定每年支付一定金額，保單生效時第一次支付，以后一直持續(xù)到被保險人死亡或達到約定的最大保費額度，常常即為保單約

2、定的繳費期限(每年支付保費保單)。 一年多次支付確定的保費，通常每月支付一次，在被保險人死亡或達到約定最大限額時停繳(月保費)。 凈保險費/純保費/風(fēng)險保費 凈保險費是指，在給定的假設(shè)死亡率與利率的情況下，為了實現(xiàn)保單中預(yù)期的生命保險或年金的給付需繳的金額。在這里不計公司的營業(yè)等費用（凈，這里指除去費用的凈） 計算公式： 凈保費收入的期望現(xiàn)值保險給付支出的期望現(xiàn)值 精算計算基礎(chǔ)：死亡率 假設(shè)、未來可實現(xiàn)利率 假設(shè)利潤 定義：保單終止時（死亡或保單到期）保費的價值減去保險給付與費用支出后的余值，包含保單終止時已產(chǎn)生的利息。 利潤的計算 利潤=凈保費收入的現(xiàn)值 保險給付支出的現(xiàn)值 凈保費價值方程應(yīng)

3、用舉例 例1 普通壽險保單的凈保費 (1)如果被保險人在保單開始時為x歲，實際利率假定為，保險金額為S，在保單有效期內(nèi)每年初支付保費額為P。求下面兩種保險保單的凈保費價值方程： (a) n年期定期壽險 (b) n年期生存保險 (2)采用A1967-1970終極表，計算上面(a)與(b)中的P，已知S10 000, x=39，n25，i4% (3)采用A1967-1970選擇表，計算上面(a)與(b)中的S，已知P1 000, x20，n20，i4% 解：(1)所求價值方程為 ：(a) = (b) = (2) (a) P20.14 (b) P219.13 (3) (a) S1 358 600 (

4、b) S31 279 Pnxa: S1:nxAPnxa: xnnpSv凈保費價值方程應(yīng)用舉例 例2 年金保單的凈保費 一個60歲的人投保延期年金保險，從70歲起每年年末得到5 000元的給付，60歲到70歲每年年初付一定金額的保費。已知：利率8；死亡率采用英國a(55)婦女選擇表，其中 6.965, 0.87333, 0.58947, =7.3077。 (1)求凈保費 (2)在不考慮費用的情況下，計算壽險公司因該保單而賺取利潤的概率。 解：(1)由 得: 2 122.1(元) (2)所交保費在70歲時的值為2 122.133 201.3元，假設(shè)在70歲之后又活了年，計算出使不等式5000 33

5、 201.3成立的最小整數(shù)為10,因此，80歲以后投保人的年金支付就超過了保費支付的值，公司獲利的可能性為:1 0.4105310:60a 6010p6020p70a10:60aP 105000v706010apP10s ta6020p每年多次支付保費 例3考慮一份保險金額為20 000元的兩全保險保單，被保險人現(xiàn)年40歲，保險期間為20年，保險金在死亡之年年末支付，或在保單期滿時支付；保費從現(xiàn)在起開始每月初支付直至期滿或被保險人死亡為止。已知設(shè)定年利率為4，死亡率采用英國A1967-1970選擇生命表。計算每月應(yīng)交納的凈保費。解：設(shè)P為所求應(yīng)繳月保費，則繳納保費的預(yù)期現(xiàn)值為12P 12P 1

6、2P13.7720.4583(10.40902) 162.01P 而給付的預(yù)期現(xiàn)值為: 20 000 9 405.80得： P58.06（元） 1220:40a 406020:4012411DDa 20:40A費 用 常見的費用類型 保單費用。它不依賴于保費或保險金額的多少，是固定的費用，例如： 保單出立單據(jù)、每年更新信息的開支，及一些允許的一般辦公費用。保費比例費用，主要包括付給經(jīng)紀人或出售保單中間人的傭金，習(xí)慣上按保費百分比計算.保險金比例費用，包括稅收及在承保時發(fā)生的的費用如體檢費用。 按照發(fā)生順序可分為 初始費用，即在保單開始發(fā)生的費用，包括保單費用、保費比例費用和保險金比例費組合。

7、續(xù)保費用，即繼續(xù)維持保單的費用，包括發(fā)保費催單、更新記錄等等，及續(xù)保傭金的費用。續(xù)保費用一般被假定在未來的支付期間里會上漲。續(xù)保費用也包括每份保單費用，保費百分比的費用和（很少的）保險金百分比的費用。 理賠費用，應(yīng)支付保險金時發(fā)生的費用。其大小或者和保險金額大小有關(guān)，或者是每種類型的保單收取固定的金額。 通貨膨脹對費用的影響 每份保單的續(xù)期費用不會總保持它們開始時的水平，一般認為會上升，因為壽險部門的經(jīng)營費用會受物價和工資膨脹的影響。傭金占保費率的百分比，不會受通貨膨脹的影響。而核算每份保單保費的費用成本，很顯然，需要對未來通貨膨脹率作出準確的估計。如果我們假定一個固定的未來每年通貨膨脹率為j

8、,則有： ijji1隱含費用 保險金的支出和保費收入都是隨機變動的(保費數(shù)額不是任意的，而支付的偶然性取決于被保險人生存與否，所以是隨機的)，于是壽險公司的實際收入減去支出在某一年可能是正的或負的。公司要保證在每一年支出不能比收入大很多，以至部門資金短缺。為此，它必須建立額外的基金來平衡在現(xiàn)金流量上的隨機變動性。用最簡單的話而言，公司會通過向投保人收取稍多些的保費，比預(yù)期保險金和費用的現(xiàn)值多些，來建立額外基金，這意味著公司不得不在保費方面合并一筆附加費用或形成一筆額外的利潤。隱含費用的實現(xiàn)方式： 通常這種額外利潤是不允許的，一般采用調(diào)整精算計算基礎(chǔ)中某些假設(shè)的差異來代替隱含費用。較低的利率假定

9、死亡率、費用毛保費價值方程 毛保費的預(yù)期現(xiàn)值支出的保險金的預(yù)期現(xiàn)值 支出的費用的預(yù)期現(xiàn)值 即 收入的預(yù)期現(xiàn)值支出的預(yù)期現(xiàn)值收入的預(yù)期現(xiàn)值支出的預(yù)期現(xiàn)值 毛保費的價值方程舉例一個18歲的男性投保了一份養(yǎng)老金保險，按保單約定，在他60歲后可于每月初領(lǐng)取1 000元的保險金，為此，他將于1860歲期間的每月初繳納保費。已知保單的初始費用為月保費的60加10元，續(xù)保費用每月為保費的10；采用中國人壽保險經(jīng)驗生命表（19901993）（男），利率按7.5計算。計算他應(yīng)繳納的月保費。設(shè)應(yīng)繳月保費為P元。根據(jù)題意，保險給付在60歲時的預(yù)期現(xiàn)值為 100012應(yīng)繳保費在18歲時的預(yù)期現(xiàn)值為 P12發(fā)生的費用在

10、18歲時的預(yù)期現(xiàn)值為 10P12 +50 P10價值方程為：應(yīng)繳保費預(yù)期現(xiàn)值=發(fā)生的費用預(yù)期現(xiàn)值+保險給付在60歲時的預(yù)期現(xiàn)值求得 P33.87487,即月繳保費33.88元。)12(60a )12(42:18a )12(42:18a 超常風(fēng)險 含義: 壽險公司在同意承保某被保險人之前，應(yīng)合理確認被保險人的健康水平符合可承保的標準。如果一個人身體有缺陷或從事危險性高的工作，就表明他比普通人有更大的死亡風(fēng)險，那么對這些人按標準生命表計收的保費，就不能足以平衡支付給被保險人的死亡給付。 處理方法 為既定的給付水平，征收更高的保費以彌補額外死亡風(fēng)險帶來的費用。 被保險人在保單期內(nèi)提前死亡，則削減保險

11、金給付。 拒絕對超常風(fēng)險承保。 超常風(fēng)險模型 年齡遞增法 :是在計算保費時將弱體被保險人的投保年齡提高。比如，對一個40歲的弱體按50歲健康人的水平收費。 增加死亡力 :指在分析、計算超常風(fēng)險時將死亡力增加一個固定值。 其他方式 :包括用一個固定常數(shù)或變化的系數(shù)乘以標準生命表的各年齡死亡率。 分紅保險的概念 保單持有人與保險公司分享投資利潤，這種保單稱為含利潤保單或分紅保單。 分紅保單和不分紅保單的主要區(qū)別 :于給定的保費分紅保單所承諾的保險給付是較低的。保險公司希望所收取的保險費在保險期間內(nèi)通過投資能積累成更多的金額，除了足以支付較低的保險給付(基本保額)和一些費用外，還可以把公司的期末紅利

12、分配給保單持有人。 紅利的類型 單利 復(fù)利 超復(fù)利單利形式的期末紅利 原理：一個以單利計算的紅利只適用于保險金額。如果我們設(shè)定b為固定水平的單利形式的紅利，基本保險金額為S。那么一個保險合同期內(nèi)死亡的第1,2,年支付的保險金額分別是:S+bs，S+2bS，S+3bS，這里假設(shè)第一次分到的紅利加在保單第一年的初始。例子：一家壽險公司為一個35歲的人承保年繳保費的分紅終身壽險，死亡時給付保險金15 000元，保費繳納期限為30年。為了計算被保險人每年應(yīng)交的保費，公司假定在承保第一年的初始給予一個以3%計算的單利形式的期末紅利。死亡率假定按生命表A1967-1970終極表計算，利率為4%。初始費用為

13、第一年保費的60%，續(xù)保費用為以后各年(包括第一年)保費的5%。試計算被保險人每年應(yīng)交保費。解：保費減費用后的預(yù)期現(xiàn)值為: P -0.05P -0.55P=15.956P給付的預(yù)期現(xiàn)值: 假定按平均水平，死亡發(fā)生在各年的中點 15 0001.03 1.06 1.09 1.12 解得 P445.4830:35a 30:35a 2135vq5 . 1351vq5 . 2352vq5 . 3353vq復(fù)利形式的期末紅利 原理：到期支付的保險給付總額也包括那些紅利再投資而獲得的紅利一份40歲開始的延期年金，從60歲起每半年期末支付一次，紅利自一開始就有，按復(fù)利2%計入，直至60歲。計算基礎(chǔ)為A1967-1970終極表和利率4%、費率3%。若年金開始前死亡則返還保費(無利息)，計算每年1 000元年金應(yīng)付的年保費。解：紅利在60歲即停止增加，即紅利只影響年金，令P為每年1元年金應(yīng)收 的保費。 0.97P P解得 P0.571 所以1 000元的年金所應(yīng)收保費為571元 2