基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、課程設(shè)計(jì)說明書題目：基于matlab的iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 姓 名： 院 （系）： 專業(yè)班級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 成 績(jī)： 時(shí)間： 年 月 日至 年 月 日課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書題目 基于matlab的iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 專業(yè)、班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等：主要內(nèi)容：利用四種模擬原型濾波器（巴特沃斯、切比雪夫i型、切比雪夫ii型、橢圓型）和兩種模/數(shù)轉(zhuǎn)換方法（脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法）分別進(jìn)行iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)?；疽螅焊鶕?jù)給定的各類濾波器的技術(shù)指標(biāo)，分別設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)字高通濾波器、數(shù)字帶通濾波器和數(shù)字帶阻濾波器，并據(jù)此進(jìn)行分析總結(jié)：1、在相同的技術(shù)

2、指標(biāo)要求下，用不同的模擬原型濾波器實(shí)現(xiàn)有何異同。2、在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，用不同的模/數(shù)轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)有何異同。主要參考資料：1、數(shù)字信號(hào)處理教程（第三版），程佩青著，清華大學(xué)出版社，2007。2、數(shù)字信號(hào)處理教程matlab釋義與實(shí)現(xiàn)（第2版），陳懷琛著，電子工業(yè)出版社，2008。完 成 期 限： 指導(dǎo)教師簽名： 課程負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日基于matlab的iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)摘 要利用matlab 設(shè)計(jì)濾波器,可以按照設(shè)計(jì)要求非常方便地調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù),極大地減輕了設(shè)計(jì)的工作量,有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。matlab因其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能被廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算,其豐富的工具箱為工程計(jì)算提供了

3、便利,利用matlab信號(hào)處理工具箱可以快速有效地設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器,設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單方便。本文介紹了在matlab r2009a 環(huán)境下濾波器設(shè)計(jì)的方法和步驟。關(guān)鍵詞 matlab iir數(shù)字濾波器 模擬濾波器目 錄摘 要i1數(shù)字濾波器11.1數(shù)字濾波器的概念11.2數(shù)字濾波器的分類11.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求32 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)42.1 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟42.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器52.3 雙線性變換法設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器73 iir濾波器的matlab設(shè)計(jì)103.1巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)113.1.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)123.1.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)1

4、43.1.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)173.2切比雪夫數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)193.2.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)203.2.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)243.2.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)293.3 橢圓形濾波器的設(shè)計(jì)333.3.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)343.3.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)363.3.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)38總 結(jié)41參考文獻(xiàn)421 數(shù)字濾波器1.1 數(shù)字濾波器的概念濾波器是指用來對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個(gè)計(jì)算程序或算法，將代表輸入信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號(hào)按預(yù)定的形式變化

5、。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因?yàn)樾盘?hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性: （式1-1）其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻

6、譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。1.2 數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。

7、現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地回復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖1-1 各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(iir)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(fir)數(shù)字濾波器。iir 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，其差分方程為： （式1-2）系統(tǒng)函數(shù)為： （式1-3）設(shè)計(jì)iir濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)，使其頻率響應(yīng)h(z)滿足所希

8、望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。1.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： （1-4）其中，|稱為幅頻特性函數(shù)，(w)稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。一般iir數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)|來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。iir濾波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，p和s分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用db數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大

9、衰減（db）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（db）分別為p和s表示： （式1-5） （式1-6）一般要求：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。圖1-2 低通濾波器的技術(shù)要求2 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.1 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)

10、字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(3

11、)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。(4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器 設(shè)計(jì)方法變換變換圖2-1 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。2.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波

12、器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nt) 式中,t是采樣周期。如果令ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，h(z)為h(n)的z變換，利用采樣序列的z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得 (式2-1)則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的s平面變換成數(shù)字濾波器的z平面，圖2-2 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系這個(gè)從s到z的變換z=est是從s平面變換到z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。由（2-1）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 (式2-2)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采

13、樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 (式2-3)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 (式2-4)但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖2-3脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t

14、)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（t=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。二、脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=t。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)

15、越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會(huì)進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。2.3 雙線性變換法設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺膕平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/t/t之間，再用z=est轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)s平面壓縮映射到s1平面的-/t

16、/t一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1t將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖2-4所示。圖2-4雙線性變換的映射關(guān)系為了將s平面的整個(gè)虛軸j壓縮到s1平面j1軸上的-/t到/t段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （式2-5）式中,t仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/t經(jīng)過0變化到/t時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將式（2-5）寫成 （式2-6）將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，則得 （式2-7）再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面 （式2-8）從而得

17、到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為： （式2-9） （式2-10）式（2-9）與式（2-10）是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（2-5）與式（2-9）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ej，可得 （式2-11）即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（2-11），得 （式2-12）因此 （式2-13）由此看出，當(dāng)0時(shí)，|z|0時(shí)，|z|1。也就是說，s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。二、雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響

18、應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)閟平面與z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。s平面整個(gè)j軸單值地對(duì)應(yīng)于z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（2-9）所示，重寫如下： （式2-14）上式表明，s平面上與z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖2-4所示。由圖2-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)得越來越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖2-5雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非

19、線性關(guān)系而得到的，如式（2-12）及圖2-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖2-5所示。圖2-6雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生

20、了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。3 iir濾波器的matlab設(shè)計(jì)用matlab進(jìn)行模擬原型的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，一般步驟如下:（1）按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù)n和固有頻率wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類型可分別用: buttord,cheblord，cheb2ord，ellipord等函數(shù)；（3）運(yùn)用最小階數(shù)n產(chǎn)生模擬濾波器原型，模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap,c

21、heb2ap,ellipap,besselap等；（4）運(yùn)用固有頻率wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs；（5）運(yùn)用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，分別用函數(shù)impinva和bilinear來實(shí)現(xiàn)。低通chebyshevl型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):設(shè)計(jì)中需要限定其通帶上限臨界頻率wp,阻帶臨界濾波頻率ws，在通帶內(nèi)的最大衰減rp，阻帶內(nèi)的最小衰減rs。其步驟如圖3-1所示。數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)參數(shù)變化模擬濾波器的參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器離散化標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計(jì)圖3-1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟3

22、.1巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （4.1）式中，n為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。n值越大，通帶和阻帶的近似特性就越好。在截止頻率處，幅度平方響應(yīng)為=0處的1/2，相當(dāng)于幅度響應(yīng)的3db衰減點(diǎn)。其系統(tǒng)函數(shù)為 （4.2）式中，為歸一化常數(shù)，一般；為s平面左半平面的極點(diǎn)。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 確定階數(shù)n。 取n=4（2） 求極點(diǎn)， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由n=4直接查表得到：極點(diǎn)： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，0.0000,0.0999,0.1914,0.0252（3） 將去歸一化最終得到通過計(jì)算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯(cuò)，結(jié)果不直觀。3.1.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶

23、最大衰減為1db，阻帶最小衰減為100db。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下：wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=butter(n,wn,high,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波

24、器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency/hz);ylabel(magnitude);圖3-2脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下： wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小

25、衰減 n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=butter(n,wn,high,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性變換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitu

26、de);圖3-3雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形3.1.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1db，阻帶最小衰減為100db。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：wp1=0.6*pi/t; wp2=0.7*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.8*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=b

27、utter(n,wn,bandpass,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-4脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序

28、如下：wp1=0.6*pi/t; wp2=0.7*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.8*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=butter(n,wn,bandpass,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w

29、); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性轉(zhuǎn)換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-5雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形 3.1.3數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1db，阻帶最小衰減為100db。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器，程序如下：wp1=0.2*pi/t; wp2=0.8*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.7*p

30、i/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=butter(n,wn,stop,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freq

31、z(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-6脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶阻濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器，程序如下：wp1=0.2*pi/t; wp2=0.8*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.7*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws

32、2;n,wn=buttord(wp,ws,ap,as,s);%調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)b,a=butter(n,wn,stop,s); %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性變換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitud

33、e);圖3-7雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶阻濾波器運(yùn)行波形3.2切比雪夫數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫型濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的。切比雪夫?yàn)V波器在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的。切比雪夫型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為： 上式結(jié)果是一個(gè)正實(shí)數(shù)，式中的是一個(gè)小于1的正數(shù)，它與通帶的波紋有關(guān)，越大，波紋越大，為通帶的截止頻率，時(shí)n階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為： 切比雪夫?yàn)V波器的傳遞函數(shù)參數(shù)確定：，n。當(dāng)n大于或等于1時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式遞推公式為：切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)n等于通帶內(nèi)等幅波動(dòng)的次數(shù)，即最大值和最小值的總數(shù)，可由下式確定， (4.6)其中均為與衰減有關(guān)的參數(shù)，ap為通帶內(nèi)的

34、最大衰減，as為阻帶內(nèi)的容許衰減，它們的單位為。因?yàn)闉V波器的幅度平方函數(shù)為： 進(jìn)而化簡(jiǎn)得到：，又因?yàn)?，由式上式得到：故濾波器的階數(shù)n為： 若要求阻帶截止頻率上的衰減越大，或過渡帶內(nèi)幅度特性越陡，則所需的階數(shù)n越高。從式中可知切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)也只有極點(diǎn)沒有零點(diǎn)，且只需求出左半平面的極點(diǎn)，所以一旦求出，n，就能確定。3.2.1數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1db，阻帶最小衰減為100db。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫1型高通濾波器，程序如下：wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周

35、期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 n,wc= cheb1ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)b,a=cheby1(n,ap,wc,high,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(fr

36、equency);ylabel(magnitude);圖3-8脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切播學(xué)府1型高通濾波器，程序如下：wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 n,wc= cheb1ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)b,a=cheby1(n,ap,wc,high,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段

37、頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性變換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-9雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型濾波器運(yùn)行波形用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期

38、倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 n,wc= cheb2ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫2濾波器階數(shù)b,a=cheby2(n,ap,wp,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫2數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequ

39、ency);ylabel(magnitude);圖3-10脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：wp=0.6*pi/t; ws=0.4*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減 n,wc= cheb2ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫2濾波器階數(shù)b,a=cheby2(n,ap,wp,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 h

40、f=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性變換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫2數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-11雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形3.2.2數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，通帶最大衰減為1db，阻帶最小衰減為100db。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫1型帶通濾波器，程序如下:wp1=0.5*pi/t; wp2=0.6*pi/t; ws1=0.

41、3*pi/t;ws2=0.7*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; %設(shè)置采樣周期為1fs=1/t; %采樣頻率為周期倒數(shù)ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;n,wc= cheb1ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)b,a=cheby1(n,ap,wc,bandpass,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用

42、脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-12脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型帶通濾波器濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫1型帶通濾波器，程序如下:wp1=0.5*pi/t; wp2=0.6*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.7*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; fs=1/t; wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;ap=1;as=100; n,wc=

43、cheb1ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫?yàn)V波器階數(shù)b,a=cheby1(n,ap,wc,bandpass,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器w=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=bilinear(b,a,fs); %調(diào)用雙線性變換法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); %繪出切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude); %設(shè)置通

44、帶最大和最小衰減圖3-13雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型帶通濾波器濾波器運(yùn)行波形用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫2型帶通濾波器，程序如下：wp1=0.5*pi/t; wp2=0.6*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.7*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; fs=1/t; ap=1;as=100; %設(shè)置通帶最大和最小衰減wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;n,wc= cheb2ord(wp,ws,ap, as,s);%調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫2濾波器階數(shù)b,a=cheby2(n,ap,wc,bandpass,s); %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器w=lins

45、pace(0,pi,1000*pi); %指定一段頻率值 hf=freqs(b,a,w); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) d,c=impinvar(b,a,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 hz=freqz(d,c,w); %返回頻率響應(yīng) plot(w/pi,abs(hz); grid on;xlabel(frequency);ylabel(magnitude);圖3-14脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型帶通濾波器濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型帶通濾波器，程序如下：wp1=0.6*pi/t; wp2=0.7*pi/t; ws1=0.3*pi/t;ws2=0.8*pi/t; %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率t=1; fs=1/t; wp=wp1,wp2;ws=ws1,ws2;ap=1;as=100; n,wc= cheb2ord(