中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之道：數(shù)形結(jié)合

1、中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之道：數(shù)形結(jié)合【摘要】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法, 貫穿于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支. 其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形聯(lián)系起來(lái)，使抽象思雄與形象思維相結(jié)合,在解題中借數(shù)解析形，以形表達(dá)數(shù)量關(guān)系. 有些數(shù)量關(guān)系，借助幾何圖形的直觀描述，可以使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化。數(shù)形有機(jī)的結(jié)合，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化抽象為具體,從而達(dá)到簡(jiǎn)潔、明了的解題效果。提高數(shù)形結(jié)合的靈活性,有助于思維能力的培養(yǎng), 有利于解題能力的提高. 數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用, 本文僅例舉說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想方法在方程問(wèn)題,不等式問(wèn)題,最值問(wèn)題,函數(shù)問(wèn)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題方面的應(yīng)用。【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)

2、合 方程問(wèn)題 不等式問(wèn)題 最值問(wèn)題 函數(shù)問(wèn)題 復(fù)數(shù)問(wèn)題1 引言數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想. 所謂數(shù)形結(jié)合, 就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái),一方面借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)量之間的聯(lián)系,另一方面是借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性. 華羅庚先生曾指出: “數(shù)缺形時(shí)少直觀, 形少數(shù)時(shí)難入微; 數(shù)形結(jié)合百般好, 隔裂分家萬(wàn)事非. ”數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化, 能夠變抽象思維為形象思維, 有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì). 注意這一思想方法的滲透,有利于解題能力的培養(yǎng),有利于優(yōu)化思維品質(zhì),并能在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有機(jī)地溝通數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系.在處理某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí), 我們可以從問(wèn)

3、題的結(jié)構(gòu)特征入手, 充分挖掘出問(wèn)題的幾何背景, 再利用數(shù)形結(jié)合的方法建立起幾何模型, 很多問(wèn)題便迎刃而解, 且解法簡(jiǎn)捷. 避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察力,聯(lián)想力,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力.數(shù)形結(jié)合的方法重點(diǎn)在以形助數(shù),貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué),本文僅例舉說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想方法在方程問(wèn)題,不等式問(wèn)題,最值問(wèn)題,函數(shù)問(wèn)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題方面的應(yīng)用。2 方程問(wèn)題方程是中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的學(xué)習(xí)、研究對(duì)象，尤其是二次方程，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。而方程、不等式、函數(shù)又有密切聯(lián)系 ，是知識(shí)的融匯點(diǎn)，這就使得這類問(wèn)題成為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。2.1 方程實(shí)根的正負(fù)情況用代數(shù)方法研究方程

4、根的情況,計(jì)算復(fù)雜.若用形結(jié)合的方法,利用方程與函數(shù)的關(guān)系,畫出函數(shù)圖象,將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)處理,則形象直觀,過(guò)程明了.例1 為何值時(shí),二次方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根?解：設(shè) 二次方程， a1.(1)當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，如圖方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根故此時(shí),不存在。 (2)當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，如圖 方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 故 綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根。例2 已知二次方程有一正根和一負(fù)根,求的取值范圍.解:設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)大于0,函數(shù)圖象開(kāi)口向上函數(shù)與軸的交點(diǎn)落在軸兩側(cè)只需.解之得:-或.例3 已知二次方程有兩個(gè)正根,求的取值范圍.解:設(shè).依題意二次函數(shù)的圖象與軸

5、的交點(diǎn)落在軸的正半軸.如下二圖所示.所以有 或分別解兩個(gè)不等式組,求交集得的取值范圍是.例4 已知方程有兩個(gè)正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范圍.解:由已知得:所得不等式組表示平面上一區(qū)域,如圖.看作點(diǎn)()與(1,2)連線的斜率.連接得最大斜率連接得最小斜率.利用函數(shù)圖像來(lái)研究二次方程，要注意拋物線開(kāi)口方向的討論。分析題意，提取作圖的限制條件，列出滿足條件的方程，做到不重不漏。2.2 求方程實(shí)根的個(gè)數(shù)有些方程并不需要求出實(shí)根,只要求方程的實(shí)根個(gè)數(shù).這就沒(méi)有必要按常規(guī)方法求解.利用數(shù)形結(jié)合,將方程實(shí)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).例5 求方程的實(shí)根個(gè)數(shù)。解：此題若直接解方程

6、則較為困難，若利用數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，則較為簡(jiǎn)單。即求兩曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。做出函數(shù)和的圖象，從圖中可以看出兩曲線的交點(diǎn)m只有一個(gè)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。例6 求方程的解的個(gè)數(shù).解:作出函數(shù)和的圖象.觀察圖象,兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn).原方程的解有3個(gè).例7 試判斷方程的解的個(gè)數(shù)。解：要解出方程是不可能的。但題目只需要知道方程解的個(gè)數(shù)。若能突破傳統(tǒng)的解方程的思想，利用圖形來(lái)處理，則輕而易舉。方程的解的個(gè)數(shù)實(shí)質(zhì)是與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。分別作出和時(shí)的圖象，由圖可知兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。例8 當(dāng)a為何值時(shí), 關(guān)于的方程無(wú)解?有一解?有兩解?解:由題意得 即 設(shè), ,則的圖象為過(guò)定點(diǎn)(1 ,0) 的

7、直線系, 如圖所示.直線:為切線,切點(diǎn)為(2 ,4).由圖可知(1) 方程(*)無(wú)解直線系斜率滿足。(2) 方程(*) 有一解直線系斜率滿足,此時(shí)符合條件。(3) 方程(*) 有兩解直線系斜率滿足.此時(shí)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足的條件。綜上所述,當(dāng)時(shí),原方程無(wú)解; 當(dāng)時(shí),原方程有一解;當(dāng)時(shí),原方程有兩解。例9 已知方程有四個(gè)實(shí)根,求的取值范圍。解:此方程含絕對(duì)值號(hào),并且有四個(gè)實(shí)根,若以代數(shù)方法求解,一時(shí)之間難以找到入手點(diǎn),分類討論難免繁冗復(fù)雜.而畫出,的圖象后,只須兩圖象有四個(gè)交點(diǎn)即可。即-1k 0,y 0,z 0 ,求證:. 解:這是個(gè)代數(shù)不等式的證明問(wèn)題,已知條件簡(jiǎn)單,難以下手.但由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想

8、到余弦定理,有.又 x 0,y 0,可以表示以x , y 為邊, 夾角為60的三角形的第三邊。同理也有類似的幾何意義. 于是構(gòu)造如圖所示的四面體,使.且,由余弦定理得:= 同理:= 在abc 中, ab + bc ca , 原不等式成立.無(wú)理不等式常需要平方升冪，此時(shí)要注意定義域不能改變。符合題意的圖像只是全部圖像中的部分。3.2 二元二次不等式組例16 解不等式組解:先考慮相應(yīng)的方程組如圖，它們分別表示雙曲線和圓由(3)知代入(4)得:.原不等式的解集為或熟悉代數(shù)式結(jié)構(gòu)，巧用幾何意義。3.3 高次不等式中學(xué)數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)一次不等式與二次不等式。高次不等式需轉(zhuǎn)化為低次不等式來(lái)求解。最常用的是數(shù)

9、軸標(biāo)根法。例17 解不等式.解:因最高次項(xiàng)系數(shù)為- 1 例20 下列不等式一定成立的是（ ）。解：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，(1)即同理 即,錯(cuò)誤.不等式中的絕對(duì)值號(hào)體現(xiàn)在圖像上就是曲線的翻折。3.5 含參數(shù)的不等式若對(duì)參數(shù)分類討論來(lái)求解,.過(guò)程煩瑣.利用數(shù)形結(jié)合可大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例21 若不等式+恒成立,求的取值范圍.解：要使不等式恒成立，只要+的最小值.若用常規(guī)的方法來(lái)求最小值則較為煩瑣。若考慮用絕對(duì)值的幾何意義，把+理解為到數(shù)軸上兩點(diǎn)(-1,0),(1,0)的距離的和，則較為簡(jiǎn)單。當(dāng)時(shí),有+最小值2. 的取值范圍是.例22 設(shè)函數(shù),其中,解不等式.解：此題是含字母的不等式，分類討論思路不清楚，且較

10、煩瑣。若運(yùn)用函數(shù)圖形的特點(diǎn)，則較為直觀清楚。由得。記,.則=1()。表示雙曲線的上半支.表示過(guò)(0,1)的直線系.從以上兩圖可以清楚地看出不等式的解。當(dāng)時(shí),不等式的解集為，當(dāng)時(shí),不等式的解集為。例23 解關(guān)于不等式 分析:按常規(guī)的解法,將不等式視為型.需分為:和兩類討論解,即將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為或即或然后對(duì)進(jìn)行討論,但是在對(duì)進(jìn)行討論時(shí),較難找到討論對(duì)象的分界點(diǎn)。若構(gòu)造圖形則具體、直觀、簡(jiǎn)潔,能避免繁冗的計(jì)算和討論.解:設(shè)=,則表示位于軸上方的拋物線的一段,其頂點(diǎn)為當(dāng)拋物線在平移時(shí),其開(kāi)口大小也在變化,如圖.(1)當(dāng)即時(shí),不等式解集為(,+),(2)當(dāng)即時(shí),不等式解集為()即,其中是方程的一個(gè)實(shí)

11、根.與含參數(shù)的方程同理，含參數(shù)的不等式的圖像也是動(dòng)態(tài)變化的，要注意“動(dòng)中求靜”，找出分界情況。當(dāng)然還需要按參數(shù)分情況作圖。3.6 特殊的不等式例24 已知是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖所示.那么不等式的解集是( ). 解：顯然，不能直接求解不等式。利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)可畫出在(-3,3)上的圖象。同一坐標(biāo)系中畫的圖象。找出圖象分別在軸上，下部分的對(duì)應(yīng)“數(shù)”的區(qū)間。答案選。像這類特殊的不等式，往往沒(méi)有常規(guī)解法，不能直接求解，探求捷徑是必須的。結(jié)合代數(shù)知識(shí)與函數(shù)性質(zhì)畫出圖像，作出判斷，方便快捷。四.最值問(wèn)題 最值問(wèn)題若采用代數(shù)方法求解,需要大量的計(jì)算,過(guò)程冗長(zhǎng),且較難找

12、到切入點(diǎn),一時(shí)之間難以入手.若能深刻挖掘題目的幾何背景,利用幾何意義將問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化,往往能簡(jiǎn)化過(guò)程,取得良好的解題效果.4.1 轉(zhuǎn)化為直線的截距將所求問(wèn)題看作直線的截距，即求滿足題目條件的直線系何時(shí)取得最值。例25 已知,求的最大值和最小值.解:已知等式可化為,它表示以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓.可看作是直線的截距.當(dāng)取得最值時(shí),直線恰是圓的切線.從而由距離公式可得:解得52.故 umax=5+2, umin=5-2.例26 設(shè)且.求的最小值. 解已知等式可化為它表示以點(diǎn)(1 ,1) 為中心,為漸近線的等軸雙曲線的右上支.顯然,當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí), 取得最小值.切點(diǎn)為 (2 ,2).

13、故umin = 4例27 已知滿足. 求的最大值與最小值. 解:令=則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為: 在橢圓上求一點(diǎn), 使過(guò)該點(diǎn)的直線斜率為3, 且在軸上的截距最大或最小. 由圖可知,當(dāng)直線與橢圓相切時(shí), 有最大截距與最小截距.聯(lián)立方程得 由得 b = 13, 故y - 3x 的最大值為13, 最小值為- 13.例28 對(duì)任意的有,求的最大值.解:設(shè),則.求的最大值即是求直線族在軸上截距的最大值.由條件畫出圖象,已知條件表示的是直線上方的一段圓弧.當(dāng)直線位于位置時(shí)截距的最大.求出交點(diǎn)坐標(biāo).則直線的截距是6.的最大值是6. 將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線系的截距，注意找出直線與曲線相切的情況。4.2 轉(zhuǎn)化為直線的斜率例2

14、9 求函數(shù)的最大值和最小值分析：對(duì)于這種特殊的函數(shù)，應(yīng)注意觀察，利用其特殊的性質(zhì)，把函數(shù)看作是定點(diǎn)(-3,-2)與單位圓上的點(diǎn)連線的斜率。解:可以看作是定點(diǎn)(-3,-2)與單位圓上的點(diǎn)連線的斜率。因此,的最值就是直線與單位圓相切時(shí)的斜率.設(shè)切線方程為 即 .由點(diǎn)到直線的距離公式得 解得: ，。例30 如果實(shí)數(shù)滿足方程，求的最大值。解:不妨設(shè)點(diǎn)在圓上，圓心為,半徑等于,則所求表示的是點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng)與圓相切，且切點(diǎn)落在第一象限時(shí)，有最大值，即有最大值。,=1.=.將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的斜率問(wèn)題，要注意將原式正確變形，不同的變形，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像也不同。注意找出相切的情況。 4.3 轉(zhuǎn)化為距

15、離將所求問(wèn)題通過(guò)變形、構(gòu)造等方法巧妙地轉(zhuǎn)化為距離。即求點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與直線距離和與差。結(jié)合幾何知識(shí)，不難求得結(jié)果。若是直接采用代數(shù)方法求解，計(jì)算復(fù)雜，往往徒勞而難以求得結(jié)果。.例31 求函數(shù) 的最小值.解：y表示軸上點(diǎn)到a(1,1),b(3,2)兩點(diǎn)的距離之和，做出a關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（1，-1）。|=| 又兩點(diǎn)之間直線段最短|+|=|+| y的最小值為|=例32 已知,且,求的最大值和最小值.分析:本題可通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解.但較麻煩，然而轉(zhuǎn)換角度從解析幾何的角度來(lái)看:表示一條直線而就是直線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.解:滿足,的點(diǎn)集是線段.線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值是=1.最小值是.代入距離

16、公式得=. 的最大值是1,最小值是.例33 求函數(shù)的最大值.解：在直角坐標(biāo)系中,設(shè)定點(diǎn)a(3,2)與b(0,1)和動(dòng)點(diǎn).函數(shù)的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差.點(diǎn)在拋物線上，而=.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)（即圖中位置）上式取等號(hào).聯(lián)立直線與拋物線的方程解得:的橫坐標(biāo)時(shí), 有最大值例34 已知.求的最小值解:由得.這是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線方程.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)使它到兩定點(diǎn)(-2,4),(0,2)的距離之和最小.再由拋物線的定義轉(zhuǎn)化為尋找一點(diǎn)使它到定點(diǎn)和準(zhǔn)線距離之和最小.即為圖中的點(diǎn)時(shí)最小距離是=6. 例35 求的最小值.解:表達(dá)式使我們聯(lián)想到距離公式,由于為參數(shù).即要求兩動(dòng)點(diǎn)和所連線段長(zhǎng)

17、度的最小值,須求出動(dòng)點(diǎn)到直線的距離=的最小值, 所求值為.例36 如果實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足 求的最值.解:由已知得看作是圓上的點(diǎn)， 看作是圓上的點(diǎn),是兩點(diǎn),距離的平方.如圖過(guò)兩圓的圓心,做直線交兩圓于.則,例37 設(shè)lal,b0，試求的最小值.解:是圓上的點(diǎn),是等軸雙曲線上的點(diǎn),而解析式表示動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)距離的平方.利用圖象的對(duì)稱性可得,直線與兩曲線交點(diǎn)間距離最短.因此最小值為. 結(jié)合函數(shù)圖像找出最大或最小距離，利用幾何知識(shí)加以判斷。5 函數(shù)問(wèn)題 函數(shù)問(wèn)題與函數(shù)圖象密切相關(guān).結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，容易理解題意，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，結(jié)果直觀形象。5.1 比較函數(shù)值的大小函數(shù)解析式形式多樣，函數(shù)值形

18、式也多樣。作出函數(shù)圖像，在圖像上找出與函數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；作出符合題意的圖形及利用三角函數(shù)線都是簡(jiǎn)便快捷的解題方法，且結(jié)果直觀。例38 比較三個(gè)數(shù)的大小0.32,20.3.解:這三個(gè)數(shù)看成三個(gè)函數(shù):,在時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像, 從圖像可以直觀地看出當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)的位置, 從而可得出結(jié)論: 例39 比較大小arcsin_arccos解:若用代數(shù)方法則考慮利用函數(shù)單調(diào)性去解決,這就存在函數(shù)名稱同化的問(wèn)題，這正是該題之難點(diǎn).若將兩式理解為已知函數(shù)值對(duì)應(yīng)的銳角，則a= arcsin和b= arccos為圖形中兩個(gè)角.因此易得ba。 arcsinarccos.例40 若0xx

19、sinx。例41 定義在上的函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，=2-|-4|，則 （ ）。 解：由知又時(shí)，=2-|-4|，時(shí)，時(shí)，作出圖象，則（-1，0）上是增函數(shù)，（0，1）是減函數(shù)。又故選例42 設(shè)，則與的大小關(guān)系是?解：設(shè)，則=由三角形兩邊之和大于第三邊，得。即 當(dāng)時(shí)，例43 在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)有（ ）個(gè)。解:(1)的函數(shù)圖象如圖。易得=，=。 即滿足不合題意。(2)同理分析的函數(shù)圖象。此函數(shù)滿足，符合題意。(3)畫出函數(shù)的圖象。不合題意.(4)畫出函數(shù)的圖象在(0,)內(nèi), 函數(shù)滿足在(，1)內(nèi), 函數(shù)滿足,不合題意.函數(shù)的個(gè)數(shù)只有1個(gè).比較不同名的函數(shù)值大小較為困難。若采用代數(shù)方法需有較

20、強(qiáng)的公式變形技巧及運(yùn)算技巧。將函數(shù)值在圖像上表示出來(lái)，不僅能化“不同”為“統(tǒng)一”，而且避免大量的計(jì)算。尤其是解選擇題的快捷途徑。5.2 函數(shù)的定義域例44 求函數(shù)的定義域.解：要使函數(shù)有意義，必須有：即 解法一:在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象.找出公共區(qū)間.解法二:利用三角函數(shù)線.由圖可知,函數(shù)的定義域?yàn)?)正確找出圖像的公共部分。5.3 函數(shù)的值域例45 求函數(shù)y=|x+3|-|x+1|的值域。解:就x的范圍討論去掉絕對(duì)值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖象，即可得y的范圍. 函數(shù)的圖象如圖，由圖象即可得y2，2.例46 對(duì)任意兩實(shí)數(shù),定義運(yùn)算“*”如下：*=.求函數(shù)*的值域。解：*=畫出

21、函數(shù)*圖象如圖。的值域?yàn)椋?，0。例47 求函數(shù)值域。解：=2可看作與單位圓上的點(diǎn)（）所連線段的斜率的2倍。設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為 ，即 由點(diǎn)到直線的距離公式得：解得：，即函數(shù)值域?yàn)椤＠?8 求y =在0, 5 上的值域.解: y =的對(duì)稱軸x= 2 0,5 .觀察圖象,當(dāng)=2時(shí),=-3.當(dāng)=5時(shí),=15.函數(shù)的值域是-3,15.例49 函數(shù)當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.解: 此題是二次函數(shù)問(wèn)題中典型的“軸變區(qū)間定”問(wèn)題.畫出圖形,分情況討論,思路清晰,不易出錯(cuò).函數(shù)的對(duì)稱軸為.(1) 當(dāng),即時(shí),在-2,2上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí),有 依題意, 解得, 此時(shí)不存在.(2) 當(dāng),即時(shí),在-2,-上單調(diào)遞減,在

22、,2上單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí), 依題意, 解得, .(3) 當(dāng),即時(shí), 在-2,2上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí),有 依題意, 解得, .綜上所述,.例50 求函數(shù)y =+的值域.解:根據(jù)所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,將函數(shù)變形=+它表示x 軸上的點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)(0,)和(,-)的距離之和. 從而求函數(shù)的值域問(wèn)題就等價(jià)于求距離和的最大、最小值問(wèn)題。如圖, 利用平面幾何知識(shí), 三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)可得, ym in = |ab| = 5, 而無(wú)最大值。函數(shù)的值域?yàn)?,+).例51 求函數(shù)的值域.解:聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式,建立直角坐標(biāo)系,并在軸上取兩定點(diǎn),.()是縱坐標(biāo)為的任意一點(diǎn).,由三角形兩邊之差小于第三邊可知

23、=1即即即函數(shù)的值域?yàn)?-1,1). 中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)的值域求解有近10種方法，其中很多方法都能與數(shù)形結(jié)合這一思想方法巧妙結(jié)合。5.4 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)圖像最為直觀形象地反映函數(shù)的單調(diào)性。例52 設(shè)函數(shù).指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間并說(shuō)明在各個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，=即 根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，作出函數(shù)圖象.單調(diào)區(qū)間為-3,-1),-1,0),0,1),1,3.由圖可知:函數(shù)在-3,-1),0,1)上為減函數(shù),在-1,0),1,3上為增函數(shù)。例53 求函數(shù)=的單調(diào)區(qū)間和值域。解: =,將看作是動(dòng)點(diǎn)()到直線的距離.而動(dòng)點(diǎn)()的軌跡為單位圓的上半部分,由圖可知函數(shù)=在上是減函數(shù)

24、，在-，1上是增函數(shù).函數(shù)的值域?yàn)?。從函數(shù)圖像能直接觀察出單調(diào)區(qū)間。本小節(jié)的后一例題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，充分發(fā)揮了圖像的圖形功能。5.5 函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性 根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性質(zhì)：“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?！奔霸鰷p性質(zhì)畫出圖像求解，不僅能提高解題效率，而且有助于全面分析解決問(wèn)題。例54 已知是定義在( - ,0) (0 ,+ ) 上的偶函數(shù),并且在( - ,0) 上是增函數(shù), 若= 0 ,求0的解集.解:是偶函數(shù),圖像關(guān)于軸對(duì)稱,由= 0 ,可知圖像過(guò)點(diǎn)( - 3 ,0),(3 ,0) . 又函數(shù)在( - ,0) 是增函數(shù),則在(0 , + ) 是減函數(shù)

25、,可畫出符合題意的圖形,如圖由0 或解集為( - 3 ,0) (3 , + ) . 例55 設(shè)定義在一2,2上的偶函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:利用偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，以及偶函數(shù)的定義:=，有.畫出圖象,根據(jù)已知條件,得: 解得:-1。利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性對(duì)畫出函數(shù)的精確圖，粗略圖有很大幫助。六.復(fù)數(shù)問(wèn)題將復(fù)數(shù)在平面內(nèi)表示出來(lái)，復(fù)數(shù)就有了幾何表示，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，與向量對(duì)應(yīng)，從而建立了復(fù)平面，復(fù)數(shù)成為幾何中的重要部分。復(fù)數(shù)是對(duì)實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，將三角、幾何等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，不僅能更好地理解、把握復(fù)數(shù)問(wèn)題，為解題帶來(lái)方便，而且能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和綜合運(yùn)用的能力。6.

26、1 復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義 利用復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)加，減，乘，除運(yùn)算的幾何意義是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本方法，貫穿與中學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)問(wèn)題的始終，應(yīng)用于各個(gè)方面。若是直接假設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式帶入求解，計(jì)算復(fù)雜。例56 設(shè)|=|=1,|+|=,求|-|. 解:|=|=1,|+|=,由勾股定理知此平行四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,它的兩條對(duì)角線都是.|-|.=.例57 設(shè)復(fù)數(shù),z2滿足|=|=1,且+ =+i,求,的值.解:|=|=1且+ =+i,|-|=1., +,所對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成等邊三角形。=()= (-+i)+ =+i + (-+i)=+i (+i) =+i=1, =-+i又, 具有對(duì)稱性另一種情況

27、是=-+i , =1.例58 關(guān)于的二次方程,都是復(fù)數(shù).設(shè)方程兩根為,且滿足.求的最大值和最小值.解:由韋達(dá)定理知,= . 又 得即復(fù)數(shù)是在以為圓心,7為半徑的圓上.原點(diǎn)在圓內(nèi).連結(jié)延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)與點(diǎn)則 .例59 非零復(fù)數(shù),滿足|+|=|-|,求證:一定是負(fù)數(shù).證明: 設(shè)復(fù)數(shù),+分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),則四邊形是平行四邊形 |+|=|-|得|=|. 平行四邊形是矩形 ,即有 一定是負(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算都有幾何意義，模也有幾何意義。數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用與實(shí)數(shù)類似。6.2 輻角主值輻角主值是復(fù)數(shù)的重要概念，對(duì)于理解復(fù)數(shù)的幾何意義和進(jìn)行運(yùn)算都起著重要的作用。復(fù)數(shù)沒(méi)有大小，但復(fù)數(shù)的模與輻角主值有大小

28、，所以復(fù)數(shù)的模與輻角主值常與最值問(wèn)題相結(jié)合。例60 設(shè)a rg (z + 2) =, arg (z - 2) =求復(fù)數(shù)z.解:利用復(fù)數(shù)的幾何意義,可作出圖.可表示為,可表示,可表示為.aob =且點(diǎn)是的中點(diǎn)|=|=|=2.即|= 2.=/軸cob= b =-=-= =-1+.例61 設(shè)復(fù)數(shù),求復(fù)數(shù)的輻角主值的最大值和最小值.解:復(fù)數(shù)表示以為圓心,1為半徑的圓(包括圓周).復(fù)數(shù)表示以(對(duì)應(yīng)于-2)為圓心,1為半徑的圓(包括圓周).過(guò)作圓切線.為切點(diǎn)。在和中,=2=2則輻角主值的最大值210,最小值150.例62 已知復(fù)數(shù)滿足= ,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值,由復(fù)數(shù)模的幾何意義知即

29、求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和的最小值。滿足=復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)的軌跡是以(0,-1)為端點(diǎn)，傾斜角為的射線。由圖可知，最小值為=,故的最大值是=。例63 設(shè)復(fù)數(shù)滿足. (1) 求|的取值范圍; (2) 求取得最值時(shí)的復(fù)數(shù).解:表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z在圓心為原點(diǎn),半徑為15的圓上(包括邊界) .(1) | z - 25 i | 表示圓上的點(diǎn)z到點(diǎn)的距離,由圖可知|= 25 + 15 = 40 ,|= 25 - 15 = 10 ,10| z - 25 i |40.(2) 過(guò)作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為, ,則,分別為 取最大值,最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 設(shè)=, 由圖可知,.由平面幾何知識(shí)可知:,于是可得=

30、15 () =.由對(duì)稱性知z2 =在復(fù)平面內(nèi)畫出函數(shù)圖像，分析求解方法與其在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)類似。7 總結(jié) 由此可見(jiàn),數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想方法,在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中,注意這一思想的滲透,方法的應(yīng)用,不僅能開(kāi)辟解題新捷徑,還能培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),提高綜合運(yùn)用的能力.通過(guò)寫畢業(yè)論文,我突破了自已很多方面?，F(xiàn)在知道利用各種辦法去搜集,整理資料,把以前所學(xué)的知識(shí)和掌握的方法應(yīng)用到了論文中。衷心感謝老師耐心細(xì)致的指導(dǎo)，正是老師耐心細(xì)致的指導(dǎo)才有了這篇論文的產(chǎn)生。參考文獻(xiàn)：1羅仲華.高考總復(fù)習(xí)金版專輯(1)數(shù)學(xué)m.北京:北京教育出版社,2005.35-39.2李許令.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

31、j.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2005,(9)：19-21.3周友良，鄧升平.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用j .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，（9）：46-47.4杜英麗.走向高考數(shù)學(xué)（b本理科）m.北京:人民日?qǐng)?bào)出版社，2006.201-205.5李志春.百匯大課堂數(shù)學(xué)（理科）m.吉林:延邊人民出版社,2006.78.6任志鴻.高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)m.北京:西苑出版社,2007.52-55.7李盤喜.高中數(shù)學(xué)解題題典m.吉林:東北師范大學(xué)出版社.2007.221-223.8曹翠玲.談數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)j .湖北三峽學(xué)院學(xué)報(bào),1998,（1）:29-31.9周平.用數(shù)形結(jié)合解題舉例j .數(shù)學(xué)教學(xué),2005,（7-8

32、）:88.10吳國(guó)秀.數(shù)形結(jié)合在解題中的巧妙應(yīng)用j .中學(xué)理科,2001,（7）：17-18.11(美)jacqueline g. brooks. the construction principle classroom instruction case elementary education reform and develops translates the clump of educational model and the method series m. beijing: light industry publishing house. 2005.28-3112賈鴻玉.高考捷徑測(cè)試

33、評(píng)估大考卷數(shù)學(xué)m.北京:中國(guó)致公出版社，2007.121-122.気持今flying get！dou都斗豆逗陡抖痘兜讀蚪竇篼蔸乧侸兠凟剅吺唗投斣枓梪橷毭氀浢瀆瀆瞗窬竇脰艔豆讀逾郖酘酡鈄鋀鈄閗闘阧餖饾斗鬦鬪鬬鬭du讀度毒渡堵獨(dú)肚鍍賭睹杜督都犢妒頓蠹篤嘟瀆櫝牘黷髑芏儥凟剢剫匵厾噣土涂妬嬻剬塅媏彖斷毈瑖碫篅籪緞專腶葮褍踹躖鍛鍴mr najib met search crews at pearce raaf base near perth on thursday morning, before their planes left for the day, and then later held tal

34、ks with mr abbott.the disappearance of mh370 has tested our collective resolve, he told a news conference.faced with so little evidence, and such a herculean task, investigators from malaysia, the us, the uk, china, australia and france have worked without pause to reveal the aircrafts movements.he

35、thanked both search teams and the australian government for their efforts in recent weeks, and said the search would go on.continue reading the main storymh370 - facts at a glance 8 march:malaysia airlines kuala lumpur-beijing flight carrying 239 people disappears planes transponder, which communica

36、tes with ground radar, was switched off as it left malaysian airspace satellite pings indicate plane was still flying seven hours after satellite contact was lost 24 march:based on new calculations, malaysian pm says beyond reasonable doubt that plane crashed in southern indian ocean with no survivo

37、rs what we know the search for flight mh370i know that until we find the plane, many families cannot start to grieve. i cannot imagine what they must be going through. but i can promise them that we will not give up, he said.malaysian authorities have come in for heavy criticism over their managemen

38、t of the search, especially from relatives of the planes 153 chinese passengers.on thursday, eight military planes and nine ships were due to take part in the search.weather conditions were fair, with visibility of approximately 10km (6 miles), the joint agency coordination centre (jacc) - which is

39、overseeing the search - said.the british submarine hms tireless is also in the southern indian ocean and is due to be joined by royal navy ship hms echo.the australian navy ship ocean shield is heading to the region and has equipment for detecting the planes black-box flight recorder.experts say tim

40、ing is critical as the flight recorder may only have enough battery power to send out a signal until 7 april.air chief marshall angus houston, head of the jacc, warned that the search operation faced multiple difficulties.this is one of the most demanding and challenging search and rescue operations

41、, or search and recovery operations, that i have ever seen and i think probably one of the most complex operations of this nature that the world has ever seen, he told mr najib and mr abbott.on wednesday malaysian police chief khalid abu bakar said investigators had cleared all passengers of possibl

42、e involvement in hijacking, sabotage or having personal or psychological problems that could have been connected to the disappearance.but he said that the criminal investigation could go on and on and on. we have to clear every little thing.at the end of the investigations, we may not even know the

43、real cause. we may not even know the reason for this incident, he added.the police chief said that more than 170 interviews had been conducted with family members of the pilots and crew members, and that even cargo and food served on the plane were being investigated in case ofdui對(duì)隊(duì)堆兌敦鐓碓懟憝兊兌垖埻塠奪奪対對(duì)嵟憞懟捶杸濧濻瀢瀩痽磓祋綐膭薱謉譈譵追鈗銳銳錞鎚鐓鐜銳陮隊(duì)頧鴭dul乧dun噸頓蹲墩敦鈍盾囤遁不躉沌盹鐓礅燉砘伅俊噸墪壿庉忳敦憞撉撴楯橔潡燉犜獤碷腞腯蜳豚踲蹾躉逇遯鈍鐓鐜頓驐duo多朵奪舵剁垛跺惰墮掇哆馱度躲踱沲咄鐸裰哚綞亸仛兊兌兌凙刴剟剫吋喥